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分课时教学设计
第二课时《21.1.2 多边形及其内角和》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是人教版八年级下册第21章《四边形》的第2课时，承接上一课时四边形内角和的内容，是从四边形到一般多边形的拓展．它以四边形内角和推导方法为基础，引导学生探究多边形内角和与外角和公式，既是对“化未知为已知”转化思想的深化，也是构建多边形知识体系的核心环节．多边形内角和公式是后续计算多边形角度、解决几何证明与实际问题的重要工具，同时为高中阶段空间多边形、立体几何的学习奠定基础．本节课通过归纳推理、类比迁移，帮助学生建立从特殊到一般的数学思维模式，完善平面图形的认知结构，在整个章节中起到承上启下、拓展延伸的关键作用，是培养学生逻辑推理与几何建模能力的重要载体．
学习者分析 学生已掌握四边形内角和定理及分割转化的推导方法，具备初步的归纳推理与类比迁移能力，对多边形的概念有直观认知．但学生对“从特殊到一般”的数学思想理解不深，在推导多边形内角和公式时，易出现分割方法混乱、归纳规律不准确的问题．同时，学生对多边形外角和的本质理解薄弱，容易混淆内角和与外角和的适用范围，需要通过动手操作、小组探究等活动，逐步突破抽象思维的障碍，为后续学习特殊平行四边形积累方法与经验．
教学目标 1．了解多边形的定义，区分凸多边形与凹多边形； 2．掌握多边形内角和公式与外角和定理； 3．能运用公式解决多边形内角、外角的计算问题．
教学重点 掌握多边形内角和公式与外角和定理，并能运用公式进行角度计算．
教学难点 理解多边形内角和公式的推导过程，体会从特殊到一般的归纳思想．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．了解多边形的定义，区分凸多边形与凹多边形； 2．掌握多边形内角和公式与外角和定理； 3．能运用公式解决多边形内角、外角的计算问题．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．什么是四边形？什么是凸四边形？ 预设：在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形． 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形． 2．什么是四边形的对角线？四边形的内角和与外角和分别是多少？ 预设：连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线． 四边形的内角和等于360°． 四边形的外角和等于360°． 导言：同学们，我们已经掌握了四边形内角和的计算方法，也体会到了把复杂图形转化为三角形来研究的巧妙思路．那如果把边数继续增加，变成五边形、六边形甚至更多边的多边形，它们的内角和又有什么规律呢？今天这节课，就让我们一起走进多边形及其内角和的世界，去探索更一般的平面图形规律！学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习四边形的相关知识，为类比学习多边形的相关知识做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 提问：多边形在生活中也很常见，观察图中的图片，你能从中找出一些多边形的形象吗？ 预设： 五边形，六边形，八边形 讲解：与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n（n≥3）条线段A1A2，A2A3，…，An-1An，AnA1首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形． 多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的概念与四边形相应的概念类似． 多边形有几条边就叫作几边形． 多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图中的六边形，记作“六边形ABCDEF”． 追问1：请类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义． 预设：组成多边形的各线段叫作多边形的边． 多边形相邻两条线段的公共端点叫作多边形的顶点． 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角． 多边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作多边形的外角． 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 追问2：指出图中六边形的边、顶点、内角和外角，画出它的全部对角线． 预设：边：AB、BC、CD、DE、EF、FA 顶点：A、B、C、D、E、F 内角：∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F 外角：如∠EDM 与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形． 凸六边形 不是凸六边形 今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形． 我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等．像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形． 下图是正多边形的一些例子． 探究：类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？ 分析：观察图，可以发现： 从五边形的一个顶点出发，可以作________条对角线，它们将五边形分为________个三角形，五边形的内角和等于________×180°； 答案2，3，3 从六边形的一个顶点出发，可以作________条对角线，它们将六边形分为________个三角形，六边形的内角和等于________×180°． 答案3，4，4 归纳：一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作________条对角线，它们将n边形分为__________个三角形，n边形的内角和等于______________． 答案：（n－3），（n－2），（n－2）×180° 这样就得出了多边形的内角和公式： n边形的内角和等于（n－2）×180°． 追问：把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？ 探究2：与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和．多边形的外角和等于多少度？请你说明理由． 预设：与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°，外角和等于 n×180°－（n－2）×180°＝360°． 归纳：多边形的外角和等于360°． 追问：你还有其它方法吗？ 预设：也可以这样理解为什么多边形的外角和等于360°：如图所示，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向．在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°． 例：一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形？ 解：设这个多边形的边数为n．因为它的内角和等于（n－2）×180°，外角和等于360°，所以 （n－2）×180°＝2×360°． 解得 n＝6． 因此这个多边形是六边形．学生活动3： 学生认真听老师的讲解，并在老师的指导下小组合作探究活动意图说明： 通过讲解与学生小组合作探究，通过类比的方法掌握多边形的相关概念、内角和与外角和，再通过例题提高学生运用所学知识解决问题的能力环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：21.1.2多边形及其内角和一、多边形及其相关概念 二、多边形的内角和 三、多边形的外角和教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．已知一个多边形的内角和与外角和之比是，则这个多边形的边数为________． 答案：5 3．求出下面图形中的值． 解：由图可知， ∴． 选做题： 4．连结多边形任意两个不相邻顶点的线段叫多边形的对角线。如图，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，七边形有14条对角线，……，则十三边形的对角线条数为（ ） A．54 B．60 C．65 D．72 答案：C n边形的对角线条数 【综合拓展类练习】 5．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为． 小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角． (1)这个“多加的锐角”是______度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 解：（1）∵多边形内角和公式为， ∴多边形的内角和能被整除， ∵， ∵加了一个锐角， ∴这个“多加的锐角”是； （2）设多边形为n边形， ∴， ∴， ∴小明求的是12边形的内角和； （3）正十二边形的每一个内角为． ∴这个正多边形的一个内角是．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 答案：D 2．从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 答案：27 3．如下图，，，，，是五边形的外角，且．求的度数． 解：， ， ． 选做题： 4．如果一个正多边形的每个外角都等于，那么它是（ ） A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形 答案：D 【综合拓展类作业】 5．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 解：（1）张明的说法不正确．理由如下： 由多边形内角和定理可知，多边形的内角和为， 即任意多边形的内角和一定能被整除． 不能被整除， 张明的说法不正确． （2）设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为， 根据题意，得， ． ． 为整数， 这个正多边形为正八边形 如答图，将正八边形剪去一个角后，得到的多边形的边数增加1或不变，或减少1，则得到的多边形边数为9或8或7，即得到的新多边形是九边形或八边形或七边形．
教学反思 本课通过类比四边形分割法，引导学生自主推导多边形内角和公式，多数学生能掌握公式并进行基础计算．但在推导过程中，部分学生对辅助线的添加思路不清晰，对“n边形内角和=(n-2)×180°”的规律归纳不够严谨．后续需加强对归纳推理的引导，通过对比不同边数的多边形分割方法，强化学生对公式本质的理解，同时增加外角和实际应用的练习，提升知识迁移能力．
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同步探究学案
课题 21.1.2 多边形及其内角和 单元 第二十一章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．了解多边形的定义，区分凸多边形与凹多边形； 2．掌握多边形内角和公式与外角和定理； 3．能运用公式解决多边形内角、外角的计算问题．
重点 掌握多边形内角和公式与外角和定理，并能运用公式进行角度计算．
难点 理解多边形内角和公式的推导过程，体会从特殊到一般的归纳思想．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．什么是四边形？什么是凸四边形？ 2．什么是四边形的对角线？四边形的内角和与外角和分别是多少？
新知探究 本节课来研究： 本节我们类比三角形、四边形，研究多边形的相关知识。 问题：多边形在生活中也很常见，观察图中的图片，你能从中找出一些多边形的形象吗？ 与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n（n≥3）条线段A1A2，A2A3，…，An-1An，AnA1首尾顺次相接，组成的图形叫作__________． 多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的概念与四边形相应的概念类似． 多边形有几条边就叫作_________． 多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图中的六边形，记作“六边形_______________”． 问题：请类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义． 组成多边形的各线段叫作多边形的______． 多边形相邻两条线段的公共端点叫作多边形的________． 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的________，简称多边形的________． 多边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作多边形的________． 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的________． 试一试：指出图中六边形的边、顶点、内角和外角，画出它的全部对角线． 与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形． 凸六边形 不是凸六边形 今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形． 我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等．像正方形这样，各个角都________、各条边都________的多边形叫作正多边形． 下图是正多边形的一些例子． 探究1：类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？ 分析：观察图，可以发现： 从五边形的一个顶点出发，可以作________条对角线，它们将五边形分为________个三角形，五边形的内角和等于________×180°； 从六边形的一个顶点出发，可以作________条对角线，它们将六边形分为________个三角形，六边形的内角和等于________×180°． 归纳：一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作________条对角线，它们将n边形分为__________个三角形，n边形的内角和等于______________． 这样就得出了多边形的内角和公式： n边形的内角和等于______________________． 想一想：把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？ 探究2：与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和．多边形的外角和等于多少度？请你说明理由． 与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是________，因此n边形的内角和与外角和的总和等于______×180°，外角和等于 n×180°－（n－2）×180°＝_________． 归纳：多边形的外角和等于360°． 想一想：你还有其它方法吗？ 也可以这样理解为什么多边形的外角和等于360°：如图所示，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向．在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于________． 例：一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形？
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（ ） A． B． C． D． 2．已知一个多边形的内角和与外角和之比是，则这个多边形的边数为________． 3．求出下面图形中的值． 选做题： 4．连结多边形任意两个不相邻顶点的线段叫多边形的对角线。如图，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，七边形有14条对角线，……，则十三边形的对角线条数为（ ） A．54 B．60 C．65 D．72 【综合拓展类练习】 5．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为． 小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角． (1)这个“多加的锐角”是______度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 3．如下图，，，，，是五边形的外角，且．求的度数． 选做题： 4．如果一个正多边形的每个外角都等于，那么它是（ ） A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形 【综合拓展类作业】 5．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？
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第二十一章 四边形
21.1.2 多边形及其内角和
1．了解多边形的定义，区分凸多边形与凹多边形；
2．掌握多边形内角和公式与外角和定理；
3．能运用公式解决多边形内角、外角的计算问题．
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形．
画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形．
1．什么是四边形？什么是凸四边形？
连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线．
四边形的内角和等于360°．
四边形的外角和等于360°．
2．什么是四边形的对角线？四边形的内角和与外角和分别是多少？
同学们，我们已经掌握了四边形内角和的计算方法，也体会到了把复杂图形转化为三角形来研究的巧妙思路．那如果把边数继续增加，变成五边形、六边形甚至更多边的多边形，它们的内角和又有什么规律呢？今天这节课，就让我们一起走进多边形及其内角和的世界，去探索更一般的平面图形规律！
多边形在生活中也很常见，观察图中的图片，你能从中找出一些多边形的形象吗？
五边形
六边形
八边形
与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n（n≥3）条线段A1A2，A2A3，…，An-1An，AnA1首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形．
多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的概念与四边形相应的概念类似．
多边形有几条边就叫作几边形．
多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图中的六边形，记作“六边形ABCDEF”．
请类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义．
组成多边形的各线段叫作多边形的边．
多边形相邻两条线段的公共端点叫作多边形的顶点．
多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角．
多边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作多边形的外角．
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
试一试：指出图中六边形的边、顶点、内角和外角，画出它的全部对角线．
边：AB、BC、CD、DE、EF、FA
顶点：A、B、C、D、E、F
内角：∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F
外角：如∠EDM
M
与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形．
今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形．
凸六边形
不是凸六边形
我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等．像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形．
下图是正多边形的一些例子．
探究1：类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？
观察图，可以发现：
从五边形的一个顶点出发，可以作________条对角线，它们将五边形分为________个三角形，五边形的内角和等于________×180°；
2
3
3
探究1：类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？
观察图，可以发现：
从六边形的一个顶点出发，可以作________条对角线，它们将六边形分为________个三角形，六边形的内角和等于________×180°．
3
4
4
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作________条对角线，它们将n边形分为__________个三角形，n边形的内角和等于______________．
这样就得出了多边形的内角和公式：
n边形的内角和等于（n－2）×180°．
（n－3）
（n－2）
（n－2）×180°
把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？
探究2：与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和．多边形的外角和等于多少度？请你说明理由．
与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°，外角和等于
n×180°－（n－2）×180°＝360°．
于是得到：
多边形的外角和等于360°．
探究2：与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和．多边形的外角和等于多少度？请你说明理由．
也可以这样理解为什么多边形的外角和等于360°：如图所示，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向．在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．
例：一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形？
解：设这个多边形的边数为n．因为它的内角和等于（n－2）×180°，外角和等于360°，所以
（n－2）×180°＝2×360°．
解得
n＝6．
因此这个多边形是六边形．
【知识技能类练习】必做题：
A
【知识技能类练习】必做题：
5
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
C
n边形的对角线条数
【综合拓展类练习】
多边形
多边形的外角和
多边形及其相关概念
多边形的内角和
正多边形
【知识技能类作业】必做题：
D
【知识技能类作业】必做题：
27
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
D
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】
