山东滨州实验中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题（含答案）

滨州实验中学 2024 级数学
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 数列 满足 ,则 等于 ( )
A. B. -1 C. 2 D.
2. 下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 已知向量 ，则 ( )
A. B. C. D.
4. 若曲线 在点 处的切线方程为 ,则曲线 在点 处的切线斜率为( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 10
5. 已知函数 在 上可导,其部分图象如图所示,则下列不等式正确的是 ( )
A. B.
C. D.
6. 若一动圆的圆心在抛物线 上,且与直线 相切,则此圆恒过定点( )
A. B. C. D.
7. 已知点 ，点 在圆 上运动，则线段 的中点 的轨迹方程是 ( ) .
A. B.
C. D.
8. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现:如果一个动点 到两个定点的距离之比为常数 ( ，且 )，那么点 的轨迹为圆,这就是著名的阿波罗尼斯圆. 若点 到 ， 的距离之比为 ， 则点 到直线 的距离的最小值为( )
A. B. C. 1 D. 3
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.
9. 已知 是椭圆 的左、右焦点, 是左、右顶点, 为 上异于 的一点,延长 交椭圆于点 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 椭圆 的离心率 B. 的最小值为
C. 的周长为 D. 的面积的最大值为 1
10. 已知数列 的前 项和为 ,数列 的前 项和为 ,则下列选项正确的是 ( )
A. 数列 是等差数列
B. 数列 是等比数列
C. 数列 的通项公式为
D.
11. 如图,正方体 的棱长为 2,点 在侧面 的边界及其内部运动. 下列说法正确的是( )
A. 若点 为线段 上的动点,当 时,
B. 若点 为线段 上的动点,当 时,点 到平面 的距离为
C. 若点 为底面 的中心,且 ,则 面积的最大值为
D. 若 ，则点 的轨迹的长度为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 抛物线 的准线方程为_____.
13. 已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 等于_____.
14. 圆 与圆 的公共弦长为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 已知圆 的圆心在直线 上,且经过点 和 .
(1)求圆 的标准方程；
(2)若过点 的直线 与圆 交于 两点,且 ,求直线 的方程.
16. 已知函数 与函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求曲线 与曲线 在公共点处的公切线方程.
17. 如图,在四棱锥 中,底面 是矩形,平面 平面 ,
(1)证明: ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
18. 如图,已知直线与抛物线 交于 两点,且 交 于点 ,点 的坐标为 ,求 的值.
19. 设 是等差数列, 是等比数列,公比大于 0,已知 , .
(I) 求 和 的通项公式;
(II) 设数列 满足
1. A
因为 ,
所以 , 所以数列 是周期数列,周期为 3,所以 ,
所以 .
故选: A.
2. C
由于 为常数,故 ,故 A 错误;
而 ，故 B 错误；
而 ,故 C 正确;
而 ,故 错误.
3. A
故选: A.
4. D
由曲线 在点 处的切线方程为 可知 , 设函数 ,则 ,则 ,故曲线 在点 处的切线斜率为 10 .
故选: D
5. B
设 为点 为点 .
由题图可知函数 的图象在 处的切线的斜率比在 处的切线的斜率大,
且均为正数,所以 .
直线 的斜率为 ,其比在 处的切线的斜率小,
但比在 处的切线的斜率大,所以 .
6. B
如图,作出符合题意的图形,
抛物线 的焦点坐标为 ,准线方程为 .
动圆的圆心在抛物线 上,且与直线 相切,
则动圆圆心到 的距离等于到准线 的距离,
由抛物线定义可知,动圆恒过定点 .
7. C
由题意, ,
在圆 中,点 在圆上,线段 的中点为 ,
设 ,则 ,
,即: ,
故选: C.
8. B
设 ,因为 ,所以 ,即
所以 点的轨迹为以 为圆心,半径为 的圆.
则点 到直线 的距离 ,
故点 到直线 的距离的最小值为 .
故答案为:
9. AC
对于 ,由题意可得 ,所以 ,故 正确;
对于 ,由椭圆焦点弦性质可知, 的最小值为椭圆的通径长 ,故 错误;
对于 ,由椭圆的定义可得 的周长为 ,
故 C 正确;
对于 ,因为 ,当三角形的高最大时面积最大,即点 为短轴端点时面积最大, 所以 的面积的最大值为 ,故 D 错误;
故选: AC.
10. BCD
对 : 由 ,则 ,
故 ,又 ,
故数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，故 A 错误、B 正确；
对 ,则 ,故 正确;
对 D: ,
则 ,故 正确.
故选: BCD.
11. ACD
以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系, 如图所示:
则 ,
对于 选项,由 知:
则 ,
正确；
设平面 的法向量为 ,
则 ,
取 ,得 ,
故平面 的一个法向量为 ,
又 ,则点 到平面 的距离为:
，故 B 错误；
对于 ,取 的中点 ,
连接 ,
如图所示，
因为正方体 的棱长为 2,
所以 ,
平面 平面 平面 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
由 可得 平面 ,
所以 ,所以点 的轨迹为线段 ,
又 ,
所以 面积的最大值:
,故 C 正确;
对于 平面 平面 ,
所以 都是直角三角形.
又 ,
所以 ,
因为 ，所以 ，
在侧面 中以点 为坐标原点,
以 所在的直线分别为 轴建立如图所示的平面直角坐标系,
则 ,设 ,
则 ,
整理得到,圆 ,
所以点 在以 为圆心,以 为半径的圆上,
又因为 在侧面 (含边界)上运动，
所以点 的轨迹是圆上的一段劣弧 ( 分别是圆 与 的交点),
因为 ,
所以 ,
则点 的轨迹长度为 ,故 正确,
故选: ACD.
12.
抛物线的标准方程是 ,所以准线方程是 考点: 抛物线方程
13.
,
令 得 ,解得 .
故答案为: .
14.
将圆 与圆 的方程作差可得 ,
所以,两圆相交弦所在直线的方程为 ,
圆 的圆心为原点 ,半径为 ,
原点 到直线 的距离为 ,
所以，两圆的公共弦长为 .
故答案为: .
15.
(2) 或
(1)点 和 的中点为 ， ，所以中垂线的 ，利用点斜式得方程为 ,联立方程 得圆心坐标为 所以圆 的标准方程为 .
( 2 )当过点 的直线 斜率不存在时，直线方程为 ，此时弦长 ，符合题意.
当过点 的直线 斜率存在时,设直线方程为 ,化简得 ,弦心距 ,所以 ,解得 ,所以直线方程为
. 综上所述直线方程为 或 .
16.
(2)
(1) .
在 点处的切线方程为: ;
(2)设曲线 与曲线 的公切点为 ，
,
令 ,即 ,
或 (舍),
,
所求公切线方程: ,即 .
17.(1)取 的中点 ，连接 ， ，因为 ，所以 .
因为平面 平面 ,且平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,因为 平面 ,所以 ,
由 ,所以在 和 中
，所以 ，因此 ，
因为 平面 ,所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 .
(2)以 为坐标原点， 所在直线为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .
由题设得 ,
则 .
设 是平面 的一个法向量,则 ,即 ,可取 .
所以 .
因此 与平面 所成角的正弦值为 .
18.
,
，则直线 的方程为: ，即 ，
设 两点的坐标分别为 ,
联立 ,消 得: ,
,
, .
19. (1) ;
(II)
(I) 解: 设等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为 ,
依题意,得 ,解得 ,
故 ,
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 ；
(II)
记 ①
则 ②
②- ① 得， , 所以