山东济南市商河弘德中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题（含答案）

高二下学期第一次月考数学试题
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 设 是可导函数,且 ,则 ( )
A. 2 B. C. -1 D. -2
2. 已知函数 在 上可导,其部分图象如图所示,则下列不等式正确的是 ( )
A. B.
C. D.
3. 若直线 是曲线 的一条切线,则实数 的值为 ( )
A. -3 B. 3 C. -2 D. 2
4. 已知函数 ，则 “ ” 是 “ 有极值”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知函数 在 处取得极大值,则 的值为( )
A. 1 B. 3 C. 1 或 3 D. 2 或 -2
6. 设函数 在 上可导,其导函数为 ,且函数 的图象如图所示, 则下列结论中一定成立的是( )
A. 有极大值 B. 有极小值
C. 有极大值 D. 有极小值
7. 已知函数 在 内不是单调函数，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8. 已知函数 在定义域内存在单调递减区间,则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.
9. 设函数 的导函数为 ,则( )
A. B. 是函数 的极值点
C. 存在两个零点 D. 在 上单调递增
10. 已知函数 在 上是单调函数，则实数 的值可以是( )
A. B. -1 C. D. 2
11. 已知函数 ，则( )
A. B.
C. 在 上单调递增 D. 不等式 的解集为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 等于_____.
13. 已知函数 ，求过点 且与曲线 相切的方程_____.
14. 已知函数 在 处取极值，且 ，则 的值为_____. 四、解答题:本题共 3 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 求下列函数的导数:
(1) ;
(2) ;
(3) .
16. 已知函数 是函数 的一个极值点.
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)当 ，求函数 的最小值.
17. 已知函数 ,曲线 在 处的切线斜率为 2 .
(1)求 的值；
(2)求不等式 的解集.
18. 已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性.
19. 已知函数 ,曲线 在点 处的切线 的斜率为 4 .
(1)求切线 的方程；
(2)若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
1. B
由题设, .
故选: B
2. B
设 为点 为点 ,
由题图可知函数 的图象在 处的切线的斜率比在 处的切线的斜率大,且均为正数,
所以 ,而直线 的斜率为 ,其比在 处的切线的斜率小,
但比在 处的切线的斜率大,所以 .
3. C
,则 ,
设直线 与曲线 的切点 ,则直线 的斜率 ,
由于直线 斜率为 -1,则 ,解得 ,
所以 ,即切点为 ,
故 ,解得 .
故选: C.
4. A
,
函数 的图象关于直线 对称,
则 有极值的充要条件是 ,解得 .
于是 “ ” ，是 “ 有极值” 的充分不必要条件.
故选: A
5. B
由题意得: ,因为在 处取得极大值,
所以 ,解得 或 ,
当 时, ,
令 ,解得 或 ,
当 时, 为增函数,
当 时, 为减函数,
所以在 处取得极小值,不符合题意,故舍去,
当 时, ,
令 ,解得 或 ,
当 时, 为增函数,
当 时, 为减函数,
所以在 处取得极大值,故 满足题意
综上 .
故选: B
6. A
函数 的图象如图所示,
当 时, ; 当 时, ; 当 时, ,
函数 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递减,
有极大值 ,无极小值,
故选: A.
7. D
由于函数 在 不是单调函数,
则 在 内存在极值点,所以 在 内有解,
即 在 内有解,
.
故选: D
8. C
的定义域为 ,令 ,得 , 因为 在 内存在单调递减区间,所以 在 上有解,所以
设 ,则 的图象是开口向下的抛物线,所以 , 所以 的取值范围是 ,
故选: C.
9. AD
,所以函数 在 上单调递增,所以函数不存在极值点,故 错误, 正确; ,故 正确;
,得 中, ,
所以 恒成立,即方程只有一个实数根,即 ,故 错误.
故选: AD
10.
因为 为二次函数,开口向下,必存在负值,
由题意得 在 上恒成立,
则 ,解得 .
故选: ABC.
11. ACD
已知函数 ,则 ,
所以 ,
当且仅当 时,即当 时等号成立,所以函数 在 上为增函数;
由 ,得 .
因为函数 在 上为增函数,由 可得 .
故不等式 的解集为 ，ACD 都对，B 错.
12.
,
令 得 ，解得 .
故答案为: .
13. 和
,设切点为 ,则切线方程为 ,
由该直线过点 ,则 ,整理得 ,
即为 ,解得 或 ,
则切线方程为 与 ,
即为 与 .
14. -7
因为 ,所以 ,
因为函数 在 处取极值,且 ,
所以 ,解得 或 ,
当 时, ,此时函数 有极值点;
当 时, ,此时函数 在 上为增函数,无极值点.
所以 ,故 .
15.
(2)
(3)
( 1 )解:根据导数的运算法则,可得 ;
(2)解:根据导数的运算法则，可得
(3)解:根据导数的运算法则，可得 .
16. (1) 和 ；(2)-1
(1) 由题意
,则
,当 时, ;
当 时, ; 当 时, .
所以,函数 的单调递增区间为 和
( 2 )当 时， ， 的变化情况如下表
-1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2
+ 0 - 0 +
增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
当 .
当 .
所以当 时,函数 的最小值为 -1 .
17.
(2)
(1) ,
所以 ,
由题意可得 ,所以 ,
所以 ,所以 .
所以 .
(2)由(1)知 ，所以 ，
所以 在 上单调递增,
所以 为奇函数,
,即 ,
即 ,
所以 ,即 ,
即 ,解得 ,
所以不等式 的解集为 .
18. (1) 当 时 ,则 ,
所以 ,
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,即 ;
( 2 )函数 的定义域为 ，
又 ,
当 时, 恒成立,所以当 时 ,当 时 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减;
当 ,即 时 恒成立,所以 在 上单调递增;
当 ,即 时,当 或 时 ,当 时 ,
所以 在 和 上单调递增,在 上单调递减;
当 ,即 时,当 或 时 ,当 时 ,
所以 在 和 上单调递增,在 上单调递减;
综上可得,当 时 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ;
当 时 的单调递增区间为 ,无单调递减区间;
当 时 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
当 时 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
19. (1)
(2)
(1) 解: 函数 的定义域为 ,
由题意知, ,所以 ,
故 ,所以 ,切点坐标为
故切线 的方程为 .
(2)解:由(1)知， ，
所以 ,可化为: ,
即 在 上恒成立,
令 ,则 ,
当 时, 在 上单调递增,
当 时, 在 上单调递减,
所以当 时,函数 取得最大值 ,
故当 时, 在 上恒成立,
所以实数 的取值范围是 .