山东省潍坊市青州第一中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 山东省潍坊市青州第一中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 147.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-24 00:00:00 | ||
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文档简介
高三普通部下学期开学考试一数学
一、单选题
1. 若复数 满足 ,则 的虚部为( )
A. -1 B. 1 C. -i D. i
2. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 与 是方程 的两根,则
( )
A. 41 B. 42 C. 43 D. 44
4. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知向量 满足 ，且 在 上的投影向量为单位向量，则 ( )
A. 1 B. C. 3 D. 2
6. 双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 是以 为直径的圆与双曲线 的一个交点,若 ,则双曲线 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 的定义域为 ,且 ,记 ,则 ( )
A. B.
C. D.
8. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ， . 则 面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下列说法中正确的有( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
10. 已知抛物线 的焦点为 为 上一点，下列说法正确的是( )
A. 的准线方程为
B. 直线 与 相切
C. 若 ，则 的最小值为
D. 若 ，则 的周长的最小值为 11
11. 如图圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等， ， 为圆柱上下底面的圆心， 为球心， 为底面圆 的一条直径，若球的半径 ，则()
A. 球与圆柱的体积之比为2:3
B. 四面体 的体积的取值范围为
C. 平面 截得球的截面面积最小值为
D. 若 为球面和圆柱侧面的交线上一点,则 的取值范围为
三、填空题
12. 在 的展开式中, 的系数是_____.
13. 某流水线上生产的一批零件,其规格指标 可以看作一个随机变量,且 ,
对于 的零件即为不合格,不合格零件出现的概率为 0.05,现从这批零件中随机抽取 500 个,用 表示这 500 个零件的规格指标 位于区间 的个数,则随机变量 的方差是_____.
14. 已知 ,若 ,不等式 恒成立,则 的取值范围为_____.
四、解答题
15. 已知数列 的首项 ,前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2) 设 ,求数列 的前 项和 .
16. 如图,四边形 是等腰梯形, 是 的中点, 是 与 的交点，将 沿 折到 的位置.
(1)证明: 平面 ；
(2)若 平面 ，求二面角 的正弦值.
17. 为培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某学校每月都会开展学农实践活动. 已知学农基地前 10 个月的利润数据如下表,月份用 表示, ,利润用 (单位: 万元) 表示,已知 与 的经验回归方程为 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4.683 4.819 3.282 1.486 1.082 2.441 4.314 4.979 3.824 1.912
0.841 0.909 0.141 -0.757 -0.959 -0.279 0.657 0.989 0.412 -0.544
(1)求 的值(结果精确到 1 ；
(2)某班班主任和农学指导教师分别独立从该班 5 名班级干部名单中各随机选择 2 人作为组长,设被选出的组长构成集合 ,集合 中元素的个数记为随机变量 .
(i) 求 的分布列及数学期望;
(ii) 规定: 进行多轮选择,每轮出现 记为 ,出现 记为 ,先出现 为甲胜, 先出现 为乙胜. 记 表示“第一轮为 且最终甲胜的概率”, 表示“第一轮为 且最终甲胜的概率”,求 及甲胜的概率.
参考数据: .
参考公式: 对于一组数据 . 其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式为: .
18. 如图,已知椭圆 的离心率为 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 为顶点的三角形的周长为 . 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 和 与椭圆的交点分别为 和 .
(I) 求椭圆和双曲线的标准方程;
(II) 设直线 的斜率分别为 ,证明 ;
(III) 是否存在常数 ,使得 恒成立 若存在,求 的值; 若不存在, 请说明理由.
19. 若函数 与函数 的图象在公共点处有相同的切线.
(1)当 时，求函数 与 在公共点处的切线方程；
(2)求a的最小值；
(3)求证:当 时， .
1. B
因为 ,所以 ,所以 的虚部为 1 . 故选: B
2. A
由题意可得: ,则 . 故选: A.
3. D
由于 与 是方程 的两根,故 ,
即 ,得 ,
因此 ,
故选: D
4. B
,
所以 ,
所以 ,
故选:B.
5. D
因为 在 上的投影向量为单位向量,所以 ,
所以 ,所以 ,
设 ,可得 ,
两边平方得 ,所以 ,
令 ,则 ,解得 或 ,
当 时,这时 ,此时 ,此时 ,不符合题意,
当 时,即 ,
此时 .
故选: D.
6. D
如图,设 点在 轴右侧,则 ,
因为 ,
所以 ,
因为点 在以 为直径的圆上,
所以 是直角三角形, ,
即 ,化简得 ,
所以离心率 .
故选: D
7. A
由 可得,
令 ,代入可得 ,即 ,
令 ,代入可得 ,即 ,
令 ,代入可得 ,即 ;
由 可得 ,
显然可得 .
故选: A
8. A
因为 ,可得 ,
即 ,
整理可得 ,
即 ,
在三角形中 ,
即 ,可得 ;
由余弦定理可得 ,当且仅当 时取等号,
而 ,
所以 ,
所以 .
即该三角形的面积的最大值为 .
故选: A.
9. ABD
对于 选项,因为 ,则 ,
由不等式的基本性质可得 ,则 , 对;
对于 选项，因为 ，不等式的两边同时除以 可得 ，
因为 ,由不等式的基本性质可得 , B 对;
对于 选项,因为 ,则 ,
由不等式的基本性质可得 错;
对于 选项，因为 ， ，由不等式的基本性质可得 ，则 ， 由不等式的基本性质可得 , D 对.
故选: ABD.
10. BCD
解: 抛物线 ,即 ,所以焦点坐标为 ,准线方程为 ,故 A 错误;
由 ,即 ,解得 ,所以直线 与 相切,故 正确;
设点 ,所以 ,
所以 ,故 正确;
如图过点 作 准线,交于点 ,
所以 ,
当且仅当 三点共线时取等号,故 正确;
故选: BCD
11. AD
对于 ,球的体积为 ,圆柱的体积 ,则球与圆柱的体积之比为 , A 正确;
对于 ,设 为点 到平面 的距离, ,而平面 经过线段 的中点 , 四面体 的体积 , B 错误; 对于 ,过 作 于 ,如图,而 ,则 ,
又 ，于是 ，设截面圆的半径为 ，球心 到平面 的距离为 ,则 ,
又 ，则平面 截球的截面圆面积 ， 错误;
对于 ,令经过点 的圆柱的母线与下底面圆的公共点为 ,连接 ,
当 与 都不重合时,设 ,则 ,当 与 之一重合时, 上式也成立,
因此 ,
则 ,
令 ,则 ,而 ,即 , 因此 ,解得 ,所以 的取值范围为 , D 正确.
故选: AD
12. 160
的展开式的通项为 ,
令 ,解得 ,
所以 的系数是 .
故答案为: 160 .
13. 45
由正态分布的性质得质量指标在区间 的概率为 , 即 1 件产品的质量指标位于区间 的概率为 ,
故 .
故答案为: 45
14.
令 ,则 ,
令 在区间 上单调递增,且 ,
在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
,
令 ,易知 在区间 上单调递增,
又 .
故答案为:
15. (1) ;
(2) .
(1)由题意得
两式相减得 ,
因为
所以, ,对任意正整数成立,
所以数列 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,
所以 .
(2) ，
所以 ,
.
所以数列 的前 项和 为 .
16.(1)如图,连接 .
为 的中点， ，
又 且 ， 四边形 为菱形， .
,又 平面 .
与四边形 为菱形同理,可知四边形 为菱形,
平面 .
(2)由(1)可知 即 是边长为 2 的等边三角形，又 平面 ，
所以 两两互相垂直,以 为坐标原点,
以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系,
已知 ，
则 , , , , ,
.
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,取 .
设平面 的一个法向量为 ,
则 取 .
,
故二面角 的正弦值为 .
17.(1) 由已知公式得 ,
所以 ,
所以 .
(2)(i)由题意知， 的可能取值为2,3,4，
其分布列为
2 3 4
3 5
当第一轮为 时,若第二轮为 ,则甲胜; 若第二轮为 ,则乙胜,
所以 ;
当第一轮为 时,若第二轮为 ,则最终甲胜的概率为 ,若第二轮为 ,则最终甲胜的概率为 ;
所以 ,解得 .
故甲胜的概率 .
18. (I) 椭圆的标准方程为 ; 双曲线的标准方程为 (II) . (III) 存在常数 使得 恒成立,
(1)设椭圆的半焦距为 ,由题意知: ,
,所以 .
又 ,因此 . 故椭圆的标准方程为 .
由题意设等轴双曲线的标准方程为 ,因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点,所以 ,因此双曲线的标准方程为 .
(2)设 ，则 .
因为点 在双曲线 上,所以 .
因此 ,即 .
(3)由于 的方程为 ，将其代入椭圆方程得 ，
显然 ，显然 . 由韦达定理得 .
所以
.
同理可得 .
则 ,
又 ,
所以 .
故 .
因此存在 ,使 恒成立.
考点:本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系
点评:对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解; 而对于最值问题,则可将该表达式用直线斜率 表示,然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式
19.(1) 当 时, ,设 为 与 的一个公共点
与 在公共点处的切线方程为 .
(2)设 为 与 的一个公共点，
代入①,
令
当 时, 在区间 单调递增;
当 时, 在 单调递减,当 时, ,
,
当且仅当 时取 “ ”, .
(3)由(2)知，
证: 时, ,
即证: 对 恒成立
令 ,
当 时, 在 上单调递减; 当 时, 在
单调递增,
当 时, ,故函数在 时取最小值 ,
,证毕!
一、单选题
1. 若复数 满足 ,则 的虚部为( )
A. -1 B. 1 C. -i D. i
2. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 与 是方程 的两根,则
( )
A. 41 B. 42 C. 43 D. 44
4. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知向量 满足 ，且 在 上的投影向量为单位向量，则 ( )
A. 1 B. C. 3 D. 2
6. 双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 是以 为直径的圆与双曲线 的一个交点,若 ,则双曲线 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 的定义域为 ,且 ,记 ,则 ( )
A. B.
C. D.
8. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ， . 则 面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下列说法中正确的有( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
10. 已知抛物线 的焦点为 为 上一点，下列说法正确的是( )
A. 的准线方程为
B. 直线 与 相切
C. 若 ，则 的最小值为
D. 若 ，则 的周长的最小值为 11
11. 如图圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等， ， 为圆柱上下底面的圆心， 为球心， 为底面圆 的一条直径，若球的半径 ，则()
A. 球与圆柱的体积之比为2:3
B. 四面体 的体积的取值范围为
C. 平面 截得球的截面面积最小值为
D. 若 为球面和圆柱侧面的交线上一点,则 的取值范围为
三、填空题
12. 在 的展开式中, 的系数是_____.
13. 某流水线上生产的一批零件,其规格指标 可以看作一个随机变量,且 ,
对于 的零件即为不合格,不合格零件出现的概率为 0.05,现从这批零件中随机抽取 500 个,用 表示这 500 个零件的规格指标 位于区间 的个数,则随机变量 的方差是_____.
14. 已知 ,若 ,不等式 恒成立,则 的取值范围为_____.
四、解答题
15. 已知数列 的首项 ,前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2) 设 ,求数列 的前 项和 .
16. 如图,四边形 是等腰梯形, 是 的中点, 是 与 的交点，将 沿 折到 的位置.
(1)证明: 平面 ；
(2)若 平面 ，求二面角 的正弦值.
17. 为培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某学校每月都会开展学农实践活动. 已知学农基地前 10 个月的利润数据如下表,月份用 表示, ,利润用 (单位: 万元) 表示,已知 与 的经验回归方程为 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4.683 4.819 3.282 1.486 1.082 2.441 4.314 4.979 3.824 1.912
0.841 0.909 0.141 -0.757 -0.959 -0.279 0.657 0.989 0.412 -0.544
(1)求 的值(结果精确到 1 ；
(2)某班班主任和农学指导教师分别独立从该班 5 名班级干部名单中各随机选择 2 人作为组长,设被选出的组长构成集合 ,集合 中元素的个数记为随机变量 .
(i) 求 的分布列及数学期望;
(ii) 规定: 进行多轮选择,每轮出现 记为 ,出现 记为 ,先出现 为甲胜, 先出现 为乙胜. 记 表示“第一轮为 且最终甲胜的概率”, 表示“第一轮为 且最终甲胜的概率”,求 及甲胜的概率.
参考数据: .
参考公式: 对于一组数据 . 其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式为: .
18. 如图,已知椭圆 的离心率为 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 为顶点的三角形的周长为 . 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 和 与椭圆的交点分别为 和 .
(I) 求椭圆和双曲线的标准方程;
(II) 设直线 的斜率分别为 ,证明 ;
(III) 是否存在常数 ,使得 恒成立 若存在,求 的值; 若不存在, 请说明理由.
19. 若函数 与函数 的图象在公共点处有相同的切线.
(1)当 时，求函数 与 在公共点处的切线方程；
(2)求a的最小值；
(3)求证:当 时， .
1. B
因为 ,所以 ,所以 的虚部为 1 . 故选: B
2. A
由题意可得: ,则 . 故选: A.
3. D
由于 与 是方程 的两根,故 ,
即 ,得 ,
因此 ,
故选: D
4. B
,
所以 ,
所以 ,
故选:B.
5. D
因为 在 上的投影向量为单位向量,所以 ,
所以 ,所以 ,
设 ,可得 ,
两边平方得 ,所以 ,
令 ,则 ,解得 或 ,
当 时,这时 ,此时 ,此时 ,不符合题意,
当 时,即 ,
此时 .
故选: D.
6. D
如图,设 点在 轴右侧,则 ,
因为 ,
所以 ,
因为点 在以 为直径的圆上,
所以 是直角三角形, ,
即 ,化简得 ,
所以离心率 .
故选: D
7. A
由 可得,
令 ,代入可得 ,即 ,
令 ,代入可得 ,即 ,
令 ,代入可得 ,即 ;
由 可得 ,
显然可得 .
故选: A
8. A
因为 ,可得 ,
即 ,
整理可得 ,
即 ,
在三角形中 ,
即 ,可得 ;
由余弦定理可得 ,当且仅当 时取等号,
而 ,
所以 ,
所以 .
即该三角形的面积的最大值为 .
故选: A.
9. ABD
对于 选项,因为 ,则 ,
由不等式的基本性质可得 ,则 , 对;
对于 选项，因为 ，不等式的两边同时除以 可得 ，
因为 ,由不等式的基本性质可得 , B 对;
对于 选项,因为 ,则 ,
由不等式的基本性质可得 错;
对于 选项，因为 ， ，由不等式的基本性质可得 ，则 ， 由不等式的基本性质可得 , D 对.
故选: ABD.
10. BCD
解: 抛物线 ,即 ,所以焦点坐标为 ,准线方程为 ,故 A 错误;
由 ,即 ,解得 ,所以直线 与 相切,故 正确;
设点 ,所以 ,
所以 ,故 正确;
如图过点 作 准线,交于点 ,
所以 ,
当且仅当 三点共线时取等号,故 正确;
故选: BCD
11. AD
对于 ,球的体积为 ,圆柱的体积 ,则球与圆柱的体积之比为 , A 正确;
对于 ,设 为点 到平面 的距离, ,而平面 经过线段 的中点 , 四面体 的体积 , B 错误; 对于 ,过 作 于 ,如图,而 ,则 ,
又 ，于是 ，设截面圆的半径为 ，球心 到平面 的距离为 ,则 ,
又 ，则平面 截球的截面圆面积 ， 错误;
对于 ,令经过点 的圆柱的母线与下底面圆的公共点为 ,连接 ,
当 与 都不重合时,设 ,则 ,当 与 之一重合时, 上式也成立,
因此 ,
则 ,
令 ,则 ,而 ,即 , 因此 ,解得 ,所以 的取值范围为 , D 正确.
故选: AD
12. 160
的展开式的通项为 ,
令 ,解得 ,
所以 的系数是 .
故答案为: 160 .
13. 45
由正态分布的性质得质量指标在区间 的概率为 , 即 1 件产品的质量指标位于区间 的概率为 ,
故 .
故答案为: 45
14.
令 ,则 ,
令 在区间 上单调递增,且 ,
在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
,
令 ,易知 在区间 上单调递增,
又 .
故答案为:
15. (1) ;
(2) .
(1)由题意得
两式相减得 ,
因为
所以, ,对任意正整数成立,
所以数列 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,
所以 .
(2) ，
所以 ,
.
所以数列 的前 项和 为 .
16.(1)如图,连接 .
为 的中点， ，
又 且 ， 四边形 为菱形， .
,又 平面 .
与四边形 为菱形同理,可知四边形 为菱形,
平面 .
(2)由(1)可知 即 是边长为 2 的等边三角形，又 平面 ，
所以 两两互相垂直,以 为坐标原点,
以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系,
已知 ，
则 , , , , ,
.
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,取 .
设平面 的一个法向量为 ,
则 取 .
,
故二面角 的正弦值为 .
17.(1) 由已知公式得 ,
所以 ,
所以 .
(2)(i)由题意知， 的可能取值为2,3,4，
其分布列为
2 3 4
3 5
当第一轮为 时,若第二轮为 ,则甲胜; 若第二轮为 ,则乙胜,
所以 ;
当第一轮为 时,若第二轮为 ,则最终甲胜的概率为 ,若第二轮为 ,则最终甲胜的概率为 ;
所以 ,解得 .
故甲胜的概率 .
18. (I) 椭圆的标准方程为 ; 双曲线的标准方程为 (II) . (III) 存在常数 使得 恒成立,
(1)设椭圆的半焦距为 ,由题意知: ,
,所以 .
又 ,因此 . 故椭圆的标准方程为 .
由题意设等轴双曲线的标准方程为 ,因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点,所以 ,因此双曲线的标准方程为 .
(2)设 ，则 .
因为点 在双曲线 上,所以 .
因此 ,即 .
(3)由于 的方程为 ，将其代入椭圆方程得 ，
显然 ，显然 . 由韦达定理得 .
所以
.
同理可得 .
则 ,
又 ,
所以 .
故 .
因此存在 ,使 恒成立.
考点:本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系
点评:对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解; 而对于最值问题,则可将该表达式用直线斜率 表示,然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式
19.(1) 当 时, ,设 为 与 的一个公共点
与 在公共点处的切线方程为 .
(2)设 为 与 的一个公共点，
代入①,
令
当 时, 在区间 单调递增;
当 时, 在 单调递减,当 时, ,
,
当且仅当 时取 “ ”, .
(3)由(2)知，
证: 时, ,
即证: 对 恒成立
令 ,
当 时, 在 上单调递减; 当 时, 在
单调递增,
当 时, ,故函数在 时取最小值 ,
,证毕!
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