山东省济钢高级中学2025-2026学年高三下学期3月学情检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 山东省济钢高级中学2025-2026学年高三下学期3月学情检测数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 106.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-24 00:00:00 | ||
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文档简介
山东省济钢高级中学 2025-2026 学年高三下学期 3 月学情检 测数学试题
2026.3
一、单选题选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 若复数 满足 ,则 的虚部为( )
A. -1 B. 1 C. -i D. i
2. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 与 是方程 的两根,则 ( )
A. 41 B. 42 C. 43 D. 44
4. 已知 ,则
A. B. C. D.
5. 已知向量 满足 ，且 在 上的投影向量为单位向量，则 ( )
A. 1 B. C. 3 D. 2
6. 设 是两个随机事件,已知 ,记 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 设函数 ,若 ,则 ( )
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
8. 设椭圆 的左右焦点分别为 ,椭圆 上点 满足 ,直线 和直线 分别和椭圆 交于异于点 的点 和点 ,若 , 则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9. 下列说法中正确的有( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
10. 已知 ，则下列说法正确的是( )
A. 上一点到直线 距离的最小值是
B. 和圆 的相交弦长是 4
C. 和圆 有且只有两条公切线
D. 和曲线 交于 两点,则 的面积为
11. 已知函数 的函数值等于 的正因数的个数. 例如 . 则下列选项正确的是 ( )
A.
B.
C.
D. 设 ,则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 某流水线上生产的一批零件,其规格指标 可以看作一个随机变量,且 , 对于 的零件即为不合格,不合格零件出现的概率为 0.05,现从这批零件中随机抽取 500 个,用 表示这 500 个零件的规格指标 位于区间 的个数,则随机变量 的方差是_____.
13. 一条直线与函数 和 的图象分别相切于点 和点 ,则 的值为_____.
14. 已知三棱锥 的各顶点均在半径为 2 的球 表面上， ，
，则三棱锥 的内切球半径为_____；若 ，则三棱锥 体积的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 为边 的中点， ，求 .
16. 如图,四边形 是等腰梯形, 是 的中点, 是 与 的交点，将 沿 折到 的位置.
(1)证明: 平面 ；
(2)若 平面 ,求二面角 的正弦值.
17. 为培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某学校每月都会开展学农实践活动. 已知学农基地前 10 个月的利润数据如下表,月份用 表示, ,利润用 (单位: 万元) 表示,已知 与 的经验回归方程为 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4.683 4.819 3.282 1.486 1.082 2.441 4.314 4.979 3.824 1.912
0.841 0.909 0.141 -0.757 -0.959 -0.279 0.657 0.989 0.412 -0.544
(1)求 的值(结果精确到 1
(2)某班班主任和农学指导教师分别独立从该班 5 名班级干部名单中各随机选择 2 人作为组长,设被选出的组长构成集合 ,集合 中元素的个数记为随机变量 .
(i) 求 的分布列及数学期望;
(ii) 规定: 进行多轮选择,每轮出现 记为 ,出现 记为 ,先出现 为甲胜, 先出现 为乙胜. 记 表示“第一轮为 且最终甲胜的概率”, 表示“第一轮为 且最终甲胜的概率”,求 及甲胜的概率.
参考数据: .
参考公式: 对于一组数据 . 其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式为: .
18. 已知 是双曲线 上两个不同的点， 为坐标原点，点 .
(1)若点 在 上，求 的渐近线方程.
(2)当 四点共线时， ，点 .
(i) 求 的方程;
(ii) 若 三点共线, 两点均不在 轴上, 分别为 的左、右顶点,直线 与 交于点 ,证明: 动点 在一条定直线上.
19. 已知函数 .
(1)求 在 处的瞬时变化率；
(2)若 恒成立，求 的值；
(3) 求证: .
1. B
因为 ,所以 ,所以 的虚部为 1 . 故选: B
2. A
由题意可得: ,则 . 故选: A.
3. D
由于 与 是方程 的两根,故 ,
即 ,得 ,
因此 ,
故选: D
4. B
,
所以 ,
所以 ,
故选:B.
5. D
因为 在 上的投影向量为单位向量,所以 ,
所以 ,所以 ,
设 ,可得 ,
两边平方得 ,所以 ,
令 ,则 ,解得 或 ,
当 时,这时 ,此时 ,此时 ,不符合题意,
当 时,即 ,
此时 .
故选: D.
6. C
由已知得 ,
注意到 ,所以 相互独立,
故 ,
又因为 ,故 ,
所以 .
故选: C.
7. D
因为 ,所以 , 即 ,
令 ,所以 在 上为单调递增的奇函数,
由于 ,
所以 ,则 ,
故选: D.
8. D
由题设,令 ,故 , 所以 ,故 ①,
由 ,令 ,则 ,
由 ,则 ,
所以 ,整理得 ,
由 ,则 ,
所以 ,整理得 ,
所以 ,整理得 ,
联立①②，得 ，故 ，即 ，
所以 .
故选: D
9. ABD
对于 选项,因为 ,则 ,
由不等式的基本性质可得 ,则 , A 对;
对于 选项，因为 ，不等式的两边同时除以 可得 ，
因为 ,由不等式的基本性质可得 , B 对;
对于 选项,因为 ,则 ,
由不等式的基本性质可得 错;
对于 选项，因为 ， ，由不等式的基本性质可得 ，则 ， 由不等式的基本性质可得 , D 对.
故选: ABD.
10. BD
对于 ,圆心 的坐标为 ,半径为 2,
圆心 到直线 的距离为 ,所以直线 与圆 是相离的,
所以 上一点到直线 距离的最小值是 ,所以 错误;
对于 ,圆 的标准方程为 ,所以 ,半径为 3,
所以 ,因为 ,所以两圆相交,
两圆方程相减得 ,化简得 . 所以两圆的相交弦的直线方程为 ,圆心 到直线 的距离为 , 所以 和圆 的相交弦长是 正确；
对于 ,圆 的标准方程为 ,所以 ,半径为 3,
所以 ,所以两圆外切,
所以 和圆 有三条公切线, 错误;
对于 ,联立 ,得 ,解得 (舍去) 或 .
所以 ,所以 ，D 正确.
11. ACD
对于 的正因数为1,2,3,6共 4 个,所以 ,故 正确;
对于 ,它的因数形如 ,其中 ,
所以不同的因数有 个,即 ,故 不正确.
对于 ,因为 ,所以 ,
所以
,故 C 正确;
对于 ,则
,故 D 正确. 故选: ACD.
12. 45
由正态分布的性质得质量指标在区间 的概率为 , 即 1 件产品的质量指标位于区间 的概率为 , 故 .
故答案为: 45
13. -2
因为 ,所以 , 则 在点 处的切线方程为 ,即 ; 在点 处的切线方程为: ,即 , 由已知 ,由 得 ,故 , 故 ,解得 , 所以 ,因此 . 故答案为: -2 .
14.
如图,根据题意, , ,
所以 ,设 的中点为 ,则 是 外接圆的圆心,则 平面 ,则 ,
设三棱锥 内切球的半径为 ,则
即 .
由 ，由于 ，
所以当点 到平面 的距离最大时,三棱锥 的体积最大，
如图,以 为坐标原点, 为 轴建立空间直角坐标系,则 ,
设点 ,因为 ,
所以 ,即 ,
两式相减解得 ,
代回上式可得 ,所以 ,即 ,
又平面 的一个法向量为 ,
所以点 到平面 的距离为 ,
所以点 到平面 的最大距离为 ,
所以三棱锥 的体积最大值为 .
故答案为: ； .
15.
(2)
(1)因为
所以 ,故 ,所以 .
(2)由于
故 ,由余弦定理又有 ,而
,故有
.
所以 .
16.(1)如图,连接 .
为 的中点， ，
又 且 ， 四边形 为菱形， .
,又 平面 .
与四边形 为菱形同理,可知四边形 为菱形,
平面 .
(2)由(1)可知 即 是边长为 2 的等边三角形，又 平面 ，
所以 两两互相垂直,以 为坐标原点,
以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系,
已知 ，
则 ,
.
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,取 .
设平面 的一个法向量为 ,
则 取 .
,
故二面角 的正弦值为 .
17.(1) 由已知公式得 ,
所以 ,
所以 .
(2)(i)由题意知， 的可能取值为2,3,4，
其分布列为
2 3 4
3 5
当第一轮为 时,若第二轮为 ,则甲胜; 若第二轮为 ,则乙胜,
所以 ;
当第一轮为 时,若第二轮为 ,则最终甲胜的概率为 ,若第二轮为 ,则最终甲胜的概率为 ;
所以 ,解得 .
故甲胜的概率 .
18.
(2)(i) ；(ii)动点 在定直线 上.
(1) 因为点 在 上,所以 .
又 ,所以 ,
故 的渐近线方程为 .
(2)(i)直线 的方程为 .
由 ,得 .
因为 ,所以 ,
所以 ,
解得 ,
故 的方程为 .
(ii) 证明: 因为 两点均不在 轴上,所以直线 的斜率不为 0,则可设直线 的方程为 .
由 得 ,
则 .
设 ,则 .
直线 ,直线 ,
由 ,得
解得 , 故动点 在定直线 上.
19.(1) ,则 , 故 在 处的瞬时变化率为
(2)设 .
由条件可知 恒成立,
由于 ,且 的图象在定义域内是连续不间断的,
所以 是 的一个极大值点,则 ,
又 ,所以 ,解得 ,
下证当 时, 对任意的 恒成立,
令 ,则 ,
由 ,
故函数 在 单调递增,在 单调递减,
所以 ,即 ,而 ,
所以当 时, ,
综上,若 恒成立,则 ,
(3)由(2)可知 ， ，
所以
先证 ,
令 ,则 ,故 在 单调递增,
故 ,故 ,
所以 ,
再证 ,
设 ，
则当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
故当 ,故 ,当且仅当 时取等号,
故令 ,则 ,故 ,
因此 ,
故
,
综上可知:
2026.3
一、单选题选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 若复数 满足 ,则 的虚部为( )
A. -1 B. 1 C. -i D. i
2. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 与 是方程 的两根,则 ( )
A. 41 B. 42 C. 43 D. 44
4. 已知 ,则
A. B. C. D.
5. 已知向量 满足 ，且 在 上的投影向量为单位向量，则 ( )
A. 1 B. C. 3 D. 2
6. 设 是两个随机事件,已知 ,记 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 设函数 ,若 ,则 ( )
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
8. 设椭圆 的左右焦点分别为 ,椭圆 上点 满足 ,直线 和直线 分别和椭圆 交于异于点 的点 和点 ,若 , 则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9. 下列说法中正确的有( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
10. 已知 ，则下列说法正确的是( )
A. 上一点到直线 距离的最小值是
B. 和圆 的相交弦长是 4
C. 和圆 有且只有两条公切线
D. 和曲线 交于 两点,则 的面积为
11. 已知函数 的函数值等于 的正因数的个数. 例如 . 则下列选项正确的是 ( )
A.
B.
C.
D. 设 ,则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 某流水线上生产的一批零件,其规格指标 可以看作一个随机变量,且 , 对于 的零件即为不合格,不合格零件出现的概率为 0.05,现从这批零件中随机抽取 500 个,用 表示这 500 个零件的规格指标 位于区间 的个数,则随机变量 的方差是_____.
13. 一条直线与函数 和 的图象分别相切于点 和点 ,则 的值为_____.
14. 已知三棱锥 的各顶点均在半径为 2 的球 表面上， ，
，则三棱锥 的内切球半径为_____；若 ，则三棱锥 体积的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 为边 的中点， ，求 .
16. 如图,四边形 是等腰梯形, 是 的中点, 是 与 的交点，将 沿 折到 的位置.
(1)证明: 平面 ；
(2)若 平面 ,求二面角 的正弦值.
17. 为培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某学校每月都会开展学农实践活动. 已知学农基地前 10 个月的利润数据如下表,月份用 表示, ,利润用 (单位: 万元) 表示,已知 与 的经验回归方程为 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4.683 4.819 3.282 1.486 1.082 2.441 4.314 4.979 3.824 1.912
0.841 0.909 0.141 -0.757 -0.959 -0.279 0.657 0.989 0.412 -0.544
(1)求 的值(结果精确到 1
(2)某班班主任和农学指导教师分别独立从该班 5 名班级干部名单中各随机选择 2 人作为组长,设被选出的组长构成集合 ,集合 中元素的个数记为随机变量 .
(i) 求 的分布列及数学期望;
(ii) 规定: 进行多轮选择,每轮出现 记为 ,出现 记为 ,先出现 为甲胜, 先出现 为乙胜. 记 表示“第一轮为 且最终甲胜的概率”, 表示“第一轮为 且最终甲胜的概率”,求 及甲胜的概率.
参考数据: .
参考公式: 对于一组数据 . 其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式为: .
18. 已知 是双曲线 上两个不同的点， 为坐标原点，点 .
(1)若点 在 上，求 的渐近线方程.
(2)当 四点共线时， ，点 .
(i) 求 的方程;
(ii) 若 三点共线, 两点均不在 轴上, 分别为 的左、右顶点,直线 与 交于点 ,证明: 动点 在一条定直线上.
19. 已知函数 .
(1)求 在 处的瞬时变化率；
(2)若 恒成立，求 的值；
(3) 求证: .
1. B
因为 ,所以 ,所以 的虚部为 1 . 故选: B
2. A
由题意可得: ,则 . 故选: A.
3. D
由于 与 是方程 的两根,故 ,
即 ,得 ,
因此 ,
故选: D
4. B
,
所以 ,
所以 ,
故选:B.
5. D
因为 在 上的投影向量为单位向量,所以 ,
所以 ,所以 ,
设 ,可得 ,
两边平方得 ,所以 ,
令 ,则 ,解得 或 ,
当 时,这时 ,此时 ,此时 ,不符合题意,
当 时,即 ,
此时 .
故选: D.
6. C
由已知得 ,
注意到 ,所以 相互独立,
故 ,
又因为 ,故 ,
所以 .
故选: C.
7. D
因为 ,所以 , 即 ,
令 ,所以 在 上为单调递增的奇函数,
由于 ,
所以 ,则 ,
故选: D.
8. D
由题设,令 ,故 , 所以 ,故 ①,
由 ,令 ,则 ,
由 ,则 ,
所以 ,整理得 ,
由 ,则 ,
所以 ,整理得 ,
所以 ,整理得 ,
联立①②，得 ，故 ，即 ，
所以 .
故选: D
9. ABD
对于 选项,因为 ,则 ,
由不等式的基本性质可得 ,则 , A 对;
对于 选项，因为 ，不等式的两边同时除以 可得 ，
因为 ,由不等式的基本性质可得 , B 对;
对于 选项,因为 ,则 ,
由不等式的基本性质可得 错;
对于 选项，因为 ， ，由不等式的基本性质可得 ，则 ， 由不等式的基本性质可得 , D 对.
故选: ABD.
10. BD
对于 ,圆心 的坐标为 ,半径为 2,
圆心 到直线 的距离为 ,所以直线 与圆 是相离的,
所以 上一点到直线 距离的最小值是 ,所以 错误;
对于 ,圆 的标准方程为 ,所以 ,半径为 3,
所以 ,因为 ,所以两圆相交,
两圆方程相减得 ,化简得 . 所以两圆的相交弦的直线方程为 ,圆心 到直线 的距离为 , 所以 和圆 的相交弦长是 正确；
对于 ,圆 的标准方程为 ,所以 ,半径为 3,
所以 ,所以两圆外切,
所以 和圆 有三条公切线, 错误;
对于 ,联立 ,得 ,解得 (舍去) 或 .
所以 ,所以 ，D 正确.
11. ACD
对于 的正因数为1,2,3,6共 4 个,所以 ,故 正确;
对于 ,它的因数形如 ,其中 ,
所以不同的因数有 个,即 ,故 不正确.
对于 ,因为 ,所以 ,
所以
,故 C 正确;
对于 ,则
,故 D 正确. 故选: ACD.
12. 45
由正态分布的性质得质量指标在区间 的概率为 , 即 1 件产品的质量指标位于区间 的概率为 , 故 .
故答案为: 45
13. -2
因为 ,所以 , 则 在点 处的切线方程为 ,即 ; 在点 处的切线方程为: ,即 , 由已知 ,由 得 ,故 , 故 ,解得 , 所以 ,因此 . 故答案为: -2 .
14.
如图,根据题意, , ,
所以 ,设 的中点为 ,则 是 外接圆的圆心,则 平面 ,则 ,
设三棱锥 内切球的半径为 ,则
即 .
由 ，由于 ，
所以当点 到平面 的距离最大时,三棱锥 的体积最大，
如图,以 为坐标原点, 为 轴建立空间直角坐标系,则 ,
设点 ,因为 ,
所以 ,即 ,
两式相减解得 ,
代回上式可得 ,所以 ,即 ,
又平面 的一个法向量为 ,
所以点 到平面 的距离为 ,
所以点 到平面 的最大距离为 ,
所以三棱锥 的体积最大值为 .
故答案为: ； .
15.
(2)
(1)因为
所以 ,故 ,所以 .
(2)由于
故 ,由余弦定理又有 ,而
,故有
.
所以 .
16.(1)如图,连接 .
为 的中点， ，
又 且 ， 四边形 为菱形， .
,又 平面 .
与四边形 为菱形同理,可知四边形 为菱形,
平面 .
(2)由(1)可知 即 是边长为 2 的等边三角形，又 平面 ，
所以 两两互相垂直,以 为坐标原点,
以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系,
已知 ，
则 ,
.
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,取 .
设平面 的一个法向量为 ,
则 取 .
,
故二面角 的正弦值为 .
17.(1) 由已知公式得 ,
所以 ,
所以 .
(2)(i)由题意知， 的可能取值为2,3,4，
其分布列为
2 3 4
3 5
当第一轮为 时,若第二轮为 ,则甲胜; 若第二轮为 ,则乙胜,
所以 ;
当第一轮为 时,若第二轮为 ,则最终甲胜的概率为 ,若第二轮为 ,则最终甲胜的概率为 ;
所以 ,解得 .
故甲胜的概率 .
18.
(2)(i) ；(ii)动点 在定直线 上.
(1) 因为点 在 上,所以 .
又 ,所以 ,
故 的渐近线方程为 .
(2)(i)直线 的方程为 .
由 ,得 .
因为 ,所以 ,
所以 ,
解得 ,
故 的方程为 .
(ii) 证明: 因为 两点均不在 轴上,所以直线 的斜率不为 0,则可设直线 的方程为 .
由 得 ,
则 .
设 ,则 .
直线 ,直线 ,
由 ,得
解得 , 故动点 在定直线 上.
19.(1) ,则 , 故 在 处的瞬时变化率为
(2)设 .
由条件可知 恒成立,
由于 ,且 的图象在定义域内是连续不间断的,
所以 是 的一个极大值点,则 ,
又 ,所以 ,解得 ,
下证当 时, 对任意的 恒成立,
令 ,则 ,
由 ,
故函数 在 单调递增,在 单调递减,
所以 ,即 ,而 ,
所以当 时, ,
综上,若 恒成立,则 ,
(3)由(2)可知 ， ，
所以
先证 ,
令 ,则 ,故 在 单调递增,
故 ,故 ,
所以 ,
再证 ,
设 ，
则当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
故当 ,故 ,当且仅当 时取等号,
故令 ,则 ,故 ,
因此 ,
故
,
综上可知:
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