山东省烟台第三中学2025-2026学年高二下学期开学自主检测数学试题（含答案）

高二数学开学考
一、单选题
1. 某校开设 类选修课 3 门, 类选修课 4 门,若要求从两类课程中选一门,则不同的选法共有( )
A. 3 种 B. 4 种 C. 7 种 D. 12 种
2. 某影城有一些电影新上映, 其中有 2 部文艺片、 3 部喜剧片、 2 部科幻片, 小明从中任选 1 部电影观看, 则不同的选法共有 ( )
A. 12 种 B. 8 种 C. 7 种 D. 6 种
3. 已知 ,则 可表示不同的点的个数是( )
A. 1 B. 3 C. 6 D. 9
4. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城 2》、《狂野时代》、《得闲谨制》、及 《开心岭》四部电影中任选一部, 则不同的选法种数为( )
A. 61 B. 62 C. 63 D. 64
5. 甲、乙、丙、丁、戊、己 6 名同学相约体育馆一起坐一排看村 BA 篮球比赛，若甲和乙相邻，丙不坐在两端，不同的排列方式共有( )种
A. 144 B. 192 C. 216 D. 288
6. 将 4 名医生和 5 名护士安排到 A，B 两个社区义诊，要求每个社区至少有 1 名医生和 2 名护士，每名医生和护士都要参加且只能到一个社区义诊，则不同的分配方案有( )
A. 110 种 B. 140 种 C. 220 种 D. 280 种
7. 若将 5 名男生和 3 名女生排成一排，则 3 名女生相邻的不同排法种数为( )
A. 4680 B. 4320 C. 3640 D. 3860
8. 某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的 4×100m 接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有( )
A. 8 种 B. 14 种 C. 18 种 D. 24 种
9. 甲、乙、丙、丁、戊五人排成一列，丙不在排头，且甲和乙相邻的排列情况有()种
A. 18 B. 36 C. 48 D. 60
10. 给图中五个区域染色，有 4 种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有( )
A. 216 种 B. 192 种 C. 180 种 D. 168 种
11. 某中学 4 位任课老师和班上 10 名学生站成一排, 则 4 位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为( )
A. B. C. D.
12. 在某颁奖仪式上，队员12人(其中1人为队长))，教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组要求相邻并站在边上，不同的站法种数共有( )
A. B. C. D.
13. 可表示为排列数( )
A. B. C. D.
14. 甲、乙、丙、丁、戊 5 人站成一排，若甲和乙之间恰好有 1 人，且丙和丁不相邻，则不同排法共有( )
A. 16 种 B. 20 种 C. 24 种 D. 28 种
15. 甲、乙、丙、丁四名高三毕业生和一名老师站成一排拍照留念, 则在甲不站最左端, 乙不站最右端的条件下，老师站在最中间的概率为( )
A. B. C. D.
16. 若 ,则 ( )
A. 2 或 6 B. 2 或 3 C. 3 D. 6
17. 二项式 的展开式中，第四项的系数为( )
A. B. -30 C. 30 D.
18. 展开式中 的系数为( )
A. 56 B. 42 C. 84 D. 120
19. 若 能被 7 整除,则 的一个值可能为( )
A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027
20. 若 ,则 ( )
A. -56 B. -28 C. 28 D. 56
21. 若 的二项展开式中,有且仅有第 5 项是二项式系数最大的项,则 ( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
22. 的展开式中的常数项是( )
A. 352 B. -352 C. 1120 D. -1120
23. 的展开式中, 的系数是 ( )
A. -2 B. 2 C. 12 D. 16
24. 的展开式中 的系数为( )
A. 30 B. -30 C. 60 D. -60
25. 某学校开设 三类选修课程,现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加学习，每位同学仅报一类课程，每类课程至少有一位同学参加，其中甲同学只选择 类课程，则不同的报名方法有( )
A. 24 种 B. 36 种 C. 50 种 D. 72 种
26. 某学校在读书节活动中，甲，乙，丙 3 个班各有 2 名同学获奖，现将这 6 人站成一排拍照, 其中甲班的 2 名同学相邻, 且乙班的 2 名同学不相邻的站法种数共有 ( )
A. 36 种 B. 72 种 C. 144 种 D. 288 种
27. 为了协调城乡教育资源的平衡, 政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教(每所学校至少安排一名教师). 受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有( )种.
A. 144 B. 260 C. 320 D. 540
28. 某教学楼三楼楼道里有 5 盏灯，为了节约用电，需关掉 2 盏灯，则关灯方案有( )
A. 20 种 B. 10 种 C. 12 种 D. 6 种
29. 5 个相同的球, 放入 8 个不同的盒子中, 每个盒里至多放一个球, 则不同的放法有 ( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
30. 某国际旅行社现有 11 名对外翻译人员，其中有 5 人只会英语，4 人只会法语，2 人既会英语又会法语，现从这 11 人中选出 4 人当英语翻译，4 人当法语翻译，则共有( )种不同的选法
A. 225 B. 185 C. 145 D. 110
31. 六艺，是我国周朝教育体系中的六种技能，即:礼、乐、射、御、书、数. 在周朝官学中开设这六门课程，从这六门课中选 5 门，连排 5 节课，每门排一节，要求每天必须学“礼、乐、 数”，并要求“礼”与“乐”相邻排课，但均不与“数”相邻排课，且“御”不能排在第一节，则不同的排课方案种数为 ( )
A. 24 B. 48 C. 64 D. 128
二、解答题
32. 有 4 名男生, 5 名女生.
(1)从中选 5 名代表，要求男生 2 名，女生 3 名，且某女生必须在内，有多少种选法？
(2)从中选 5 名代表，要求男生不少于 2 名，有多少种选法？
(3)分成甲、乙、丙三组，每组 3 人，有多少种分法？
33. 8 个人排队:
(1)排成一排共有多少种不同的排法？
(2)排成两排，前后两排各 4 人共有多少种不同的排法？
(3)排成两排，前排 3 人，后排 5 人，共有多少种不同的排法？
34. 已知 的展开式中,第 6 项为常数项.
(1)求 ；
(2)求含 的项；
(3)求展开式中所有的有理项.
35. 若 ,且 .
(1)求 的展开式中二项式系数最大的项；
(2)求 的值.
1. C
选择课程的方法有 2 类: 从 类课程中选一门有 3 种不同的方法,
从 类课程中选 1 门有 4 种不同的方法, 共有不同选法 (种).
故选: C.
2. C
根据分类加法计数原理得不同的选法共有 种.
故选: C.
3. D
这件事可分为两步完成: 第一步,在集合 中任取一个值 有 3 种方法; 第二步,在集合 中任取一个值 有 3 种方法. 根据分步乘法计数原理知,有 (个) 不同的点.
故选: D
4. D
三个人任选一部电影观看, 共分三步,
第一步, 甲从四部电影中任选一部, 有 4 种不同的选法;
第二步, 乙从四部电影中任选一部, 有 4 种不同的选法;
第三步, 丙从四部电影中任选一部, 有 4 种不同的选法,
根据分步乘法计数原理,不同的选法共有 ,
故选: D.
5. A
把甲乙捆绑在一起处理共有 种方法,此时相当于有 5 个元素,
丙不坐在两端则丙有 种选法,
然后对剩下的三名同学和甲乙一起进行全排列即可,共有 种方法.
不同的排列方式共有 种.
故选: A
6. D
1 名医生和 2 名护士一组,另一组 3 名医生和 3 名护士有 种分配方案;
1 名医生和 3 名护士一组,另一组 3 名医生和 2 名护士有 种分配方案;
2 名医生和 2 名护士一组,另一组 2 名医生和 3 名护士有 种分配方案.
故满足要求的不同的分配方案有 种.
故选: D.
7. B
将 3 名女生看成一个整体,再和 5 名男生进行全排列,有 种排法,
因为 3 名女生内部顺序可以调整,所以共有 种不同的排法.
故选: B.
8. B
分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论,
① 当甲站在第二位时,余下三人可以全排列,此时共有 种情况;
② 当甲不站在第二位时，甲有 2 个位置可选，此时乙也有 2 种情况可选，余下两人可以全排列,则此时共有 种情况;
综上所述，一共有 种情况，
故选: B.
9. B
甲和乙相邻可将甲和乙看作一个整体,有 种排列方法,
丙不在排头,可在剩下 3 个位置选一个,有 种方法,
丙站好后,其余 3 个元素有 种排列方法,所以总共有 种排列方法.
故选: B.
10. D
先对3,4,5染色,有 种方法,若 2 和 3 同色,则不同的染色方法有 种; 若 2 和 3 不同色,则不同的染色方法有 种.
综上所述,不同的染色方法有 种.
故选: D.
11. A
4 位任课老师站在一起的排法种数为 ,
将排完的 4 位任课教师作为一个整体,与剩下的 10 名学生站成一排的排法种数有 , 再根据分步乘法得排列种数为 .
故选: A.
12. B
选择左、右两边其中一边将教练组 3 人捆绑看作一个整体安排,共有 种排法, 将剩余的 11 名队员全排列,共有 种排法,
由分步乘法计数原理可知,满足条件的排法种数为 .
故选: B.
13. A
.
故选: A.
14. D
甲和乙之间恰好有 1 人，有两种情况:
甲和乙之间为丙或丁，则丙丁一定不相邻，有 种，
甲和乙之间为戊,则仅当甲乙在二、四位符合条件,有 种,共有 种. 故选: D.
15. A
甲站在最右端的排法有 种,
甲不站两端,乙也不在最右端的排法有: .
所以甲不站最左端,乙不站最右端的排法种数为: 种.
甲站在最右端,老师站中间的排法有 种,
甲不站两端,乙也不在最右端,老师站中间的排法有: .
所以甲不站最左端,乙不站最右端,老师站在最中间的排法种数为: 种.
所以甲不站最左端,乙不站最右端的条件下,老师站在最中间的概率为: .
故选: A
16. A
由题意可得 或 ,
解得 或 2 . 经检验均满足题意.
故选: A.
17. A
二项式 的展开式中,第四项为 , 所以所求系数为 .
故选: A
18. B
二项式 展开式的通项公式为 ,
因此 展开式中含 的项为 ,
所以 展开式中 的系数为 42 .
故选: B
19. A
,
因为 ,
所以 能被 7 整除,
,
所以 能被 7 整除,
因此要想 能被 7 整除,另需 能被 7 整除.
A: ,显然符合 能被 7 整除;
B: ,显然不符合 能被 7 整除;
C: ,显然不符合 能被 7 整除;
D: ,显然不符合 能被 7 整除;
故选: A
20. C
令 ,则原等式化为 ,
所以 .
故选: C
21. A
由题意知,二项式系数 中只有第 5 个最大,即 最大,
由二项式系数的性质可知,展开式共有 9 项,故 .
故选: A.
22. C
法一: 原式
所以其常数项为 .
法二: 原式 .
由 ,得 ,
所以常数项为 .
故选: C.
23. B
在 中,
3 个因式选择 个因式选择常数即可得到含 的项,
故 的系数 .
故选: B
24. D
展开式的通项为 ,
则含 的项为 ,其中 的展开式的通项为
令 ,得 ,所以 展开式中 的系数为 . 故选: D.
25. C
情况一: 类课程只有甲同学参加,此时剩下乙、丙、丁、戊四位同学要报名 、 两类课程,且每类课程至少有一位同学参加,
先将四位同学分成两组,有两种分法: 按1,3分组,有 种分法;
按 2,2 分组,有 种分法;
再将分好的两组同学全排列,安排到 两类课程中,有 种排法;
根据分步乘法计数原理,这种情况下的报名方法有 种;
情况二: 类课程除甲同学外还有一位同学参加，从乙、丙、丁、戊四位同学中选一位同学和甲一起参加 类课程,有 种选法;
剩下三位同学要报名 两类课程,且每类课程至少有一位同学参加,
将三位同学分成两组,有 种分法,再将分好的两组同学全排列,安排到 、 两类课程中,有 种排法;
根据分步乘法计数原理,这种情况下的报名方法有 种;
情况三: 类课程除甲同学外还有两位同学参加,从乙、丙、丁、戊四位同学中选两位同学和甲一起参加 类课程,有 种选法;
剩下两位同学要报名 两类课程,有 种排法;
根据分步乘法计数原理,这种情况下的报名方法有 种;
根据分类加法计数原理, 将上述三种情况的报名方法数相加, 可得不同的报名方法共有 种..
故选: C.
26. C
第一步,将甲班的 2 人捆绑,连同丙班的 2 人作全排列,有 种站法;
第二步,将乙班的 2 人插入前后 4 个空档,有 种站法.
根据分步乘法计数原理,不同的站法共有 种.
故选: C
27. B
先将丙安排在一所学校,有 种分法;
若甲、丙在同一所学校，那么乙就有 种选法,
剩下 3 名教师可能分别有 3、2、1 人在最后一所学校 (记为 校),
分别对应有 人均在 校)、 人在 校,另 1 人随便排)、
(1 人在 校,另 2 人分在同一所学校或不在同一所学校),
共 种排法;
若甲、丙不在同一所学校，则甲有 种选法,
若乙与丙在同一所学校，则剩下 3 名教师按上面方法有 19 种排法;
若乙与丙不在同一所学校，则有剩下 3 人可分别分为 1、2、3 组，
分别有 种排法,故共有:
种排法.
故选: B.
28. B
某教学楼三楼楼道里有 5 盏灯,从中关掉 2 盏灯,则关灯方案有 种.
故选: B
29. B
由于球都相同, 盒子不同, 每个盒里至多放一个球,
所以只要选出 5 个不同的盒子即可.
故共有 种不同的放法
故选: B
30. B
解: 根据题意, 按 “2 人既会英语又会法语” 的参与情况分成三类.
① “2 人既会英语又会法语” 不参加,这时有 种;
② “2 人既会英语又会法语” 中有一人入选，
这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能,
因此有 种;
③ “2 人既会英语又会法语” 中两个均入选，
这时又分三种情况:两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，
因此有 种.
综上分析,共可开出 种.
故选: B.
31. C
情况一:不选“御”，则课程为{礼，乐，数，射，书}，将(礼，乐)捆绑，
先排“射”、“书”有 种,再将(礼,乐)和“数”插入 3 个空中,有 种,(礼,乐)内部有 种, 共 种;
情况二:选择“御”，则另一门从“射”、“书”中选，有 种，
以选 {礼, 乐, 数, 御, 射} 为例，先不考虑“御”的限制，排法同情况一，有 24 种，
再减去“御”在第一节的情况:固定“御”在第一位，(礼，乐)只能在(2,3)或(4,5)位，
对应“数”和“射”的位置唯一确定，故有 种，因此该课程组合有 种排法. 综上所述，总共有 种；
汇总两种情况,总排课方案为 种.
故选:
32. (1)36
(2)105
(3)1680
(1)选 2 名男生，有 种选法；选 3 名女生，且某女生必须在内，有 种选法. 所以符合条件的不同选法有 (种).
(2)方法一(直接法):符合条件的选法有三类:
第 1 类,2 名男生,3 名女生的选法有 种;
第 2 类,3 名男生,2 名女生的选法有 种;
第 3 类,4 名男生,1 名女生的选法有 种;
所以男生不少于 2 名的不同选法有 (种).
方法二 (排除法):
因为从 9 名学生中,选 5 名代表的选法共有 种,其中包括 1 男 4 女和 5 女 0 男两种不符合条件的情况，所以男生不少于2名的不同选法有 (种).
故共有 105 种不同的选法.
(3)先安排甲组有 种分法,再安排乙组有 种分法,余下的学生为丙组有 种分法. 所以符合条件的不同分法有 (种).
故共有 1680 种不同分法.
33. (1)
(2)
(3)
(1)由排列的定义知共有 种不同的排法.
(2)8 人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分，其排列数等于 8 人排成一排的排列数 ;
也可以分步进行,第一步: 从 8 人中任选 4 人放在前排共有 种排法,
第二步: 剩下的 4 人放在后排共有 种排法,
由分步乘法计数原理知共有 种排法.
(3)同(2)的分析可知，共有 (种).
34. (1)10
(2)
(3)
(1)由二项式 展开式的通项为
因为第 6 项为常数项,即当 时, ,解得 .
(2)由(1)知:展开式的通项为 ,
令 ,可得 ,
所以展开式中含 的项为 .
(3)由(1)知:展开式的通项为 ，其中 ， 令 ,可得 ,即 ,
因为 ,所以 为偶数,
当 时,可得 ,此时 ;
当 时,可得 ,此时 ;
当 时,可得 ,此时 ,
所以展开式的第 3 项,第 6 项与第 9 项为有理项,分别为 .
35.
(2)
(1) 展开式的通项公式为 ,
所以令 得 .
又 ,所以 ,化简整理得 ,解得 或
(舍).
故 的展开式中二项式系数最大的项为第 5 项,为 ;
(2)令 ，可知 ，
令 ,得 ,
所以 ,
故 .