山东省实验中学东校区2026届高三下学期3月学情检测数学试题（含答案）

山东省实验中学东校区高三 3 月学情检测数学
2026.3
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案 标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为 ( )
A. B. 0
C. D.
2. 已知复数 的共轭复数为 ,若 ,则 可以为( )
A. B. C. D.
3. 函数 的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
4. 在边长为 1 的正方体 中， 是线段 上一点，则点 到直线 距离的最小值为( )
A. B. C. D.
5. 已知全集 ，集合 ， ，则正确的关系是 ( )
A. B. C. D.
6. 已知 ,若 互斥,则 ( )
A. 0.36 B. 0.54 C. 0.6 D. 0.9
7. 生物学指出: 生态系统中, 在输入一个营养级的能量中, 大约 10% 的能量能够流到下一个营养级. 在 这个生物链中,若能使 获得 的能量,则需 提供的能量为( )
A. B. C. D.
8. 在 中，点 满足 ，且 ，则 与 的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多项是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有 选错的得 0 分.
9. 已知函数 ,则 ( )
A. 可能没有零点
B. 有两个极值点
C. 在 有最大值
D. 在 单调递增
10. 设矩形 ( ) 的周长为定值 ,把 沿 向 折叠, 折过去后交 于点 ，如图，则下列说法正确的是( )
A. 矩形 的面积有最大值 B. 的周长为定值
C. 的面积有最大值 D. 线段 有最大值
11. 已知单位圆 的内接正 边形 的边长、周长和面积分别为 ,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 抛物线 上的一点 到 轴的距离为 12，则 与焦点 间的距离 _____.
13. 已知数列 满足 ，且 _____.
14. 曲线 上两点 关于直线 对称的点 在曲线 上,则 的取值范围是_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答题应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.
15. 记 的内角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求A；
(2)设 的平分线交线段 于点 ，若 ，证明: 为直角三角形.
16. 已知函数 .
(1)若函数 存在一条对称轴，求 的值；
(2)求函数 的单调区间.
17. 在三棱柱 中，底面 是正三角形， ， .
(1)求证: ；
(2)若 ，且 ，求直线 与平面 的所成角的余弦值.
18. 某校开设劳动教育课程，共设置了两类课程:家政和园艺，共有 400 名学生参加.学校对选择了这两类课程的学生人数的分布进行了统计，相关数据记录在如下表格中，但其中有缺失. 已知男生中选择家政课的比例为 80% .
课程 性别 合计
男 女
家政 160
园艺 120
合计 400
(1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为学生选择不同劳动教育课程与性别有关联
(2)学校对某一课程中教授同一知识点教师的教授时长与学生任务完成率进行了跟进，授课时长 (分钟) 和学生任务完成率 的对应数据如下:
时长 20 24 28 32 36 40
完成率 50 70 60 66 72 84
在任务完成率不全相等的条件下, 学校为了调研是否存在学生任务完成率与平均完成率偏差过大的情况,需计算偏差系数 ,现给出以下两种数据处理方式:
甲: ,乙: ,已知偏差系数越大的处理方式,对于数据中大偏差数据的存在体现得越明显.
①用两种处理方式分别计算学生任务完成率的偏差系数 ，并指出哪一种数据处理方式对大偏差数据的存在体现更明显;
②判断此后学校每次调研均采用①中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处理方式是否合理, 并证明你的判断.
附: .
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
19. 已知曲线 .
(1)求曲线 围成的平面图形的面积；
(2)若 是曲线 上的两个动点，求 的最大值；
(3)是否存在直线 与曲线 至少有三个不同的公共点？若存在，求 的取值范围； 若不存在, 请说明理由.
1. B
直线 为平行于 轴的直线,
所以倾斜角为 0 .
故选: B
2. A
设复数 ,其共轭复数为 .
将 和 代入方程:
展开并简化左右两边:
左边:
右边:
比较实部和虚部:
实部:
(恒成立)
虚部:
解得:
,即复数 的形式为 (其中 为实数).
检查选项:
A: 2+2i: 满足 且 ,符合条件.
B: : 不满足 .
C: : 不满足 .
D. : 不满足 .
故选: A.
3. B
由 ,可得 ,
即函数 的对称中心为 ,
结合各选项,可知仅 满足题意,故 正确, 均错误.
故选: B.
4. D
如图,连接 ,由正方体的性质易知 ,所以 , 过点 作 于 ,则 即为点 到直线 的距离,则 是 的中点,
所以 是 与 的交点,当 时, 取得最小值,
又 ,在 中, ,
所以此时 ，故点 到直线 的距离的最小值为 .
故选: D.
5. B
由 ,当 ,所以 , 当 ， ，所以 ，所以 ，故 A 错误； ,故 B 正确; 由 ，所以 ，故 C 错误；
因为 ,所以 ,故 错误.
故选: B.
6. D
因为 互斥,所以 , 故 ,
故选: D.
7. C
设 需提供的能量为 ,由题意知: 的能量为 的能量为 的能量为 ,
即 ,解得: ,
所以要能使 获得 的能量,则需 提供的能量为 .
故选: C.
8. A
设 的三边分别为 ，
因为 ,所以点 是 外接圆的圆心,
所以 ,
所以 ,即 ,
,即 ,
所以 ,即 ,
故选: A
9. BC
选项 A，三次函数 ，当 时， ，当 时， ,所以函数至少有一个零点,选项 A 错误;
选项 B, ,判别式
,故导数恒有两个不同的零点,对应原函数有两个极值点, 选项 B 正确;
选项 C, ,根据韦达定理,导函数的两个零点之积为 ,所以两个零点一正一负,故在 内仅有一个极值,由于导函数二次项系数为正,该极值为极大值, 也为最大值,选项 正确;
选项 在 单调递增需 恒成立,但 开口向上,且必有一个正的变号零点,导致原函数在 存在递减区间,选项 D 错误.
故选: BC.
10. BC
对于选项 : 设 ,则 ,
因为 ,所以 .
矩形 的面积 ,
因为 ,所以无最大值. 故 错.
对于选项 B:根据图形折叠可知 与 全等，
所以 周长为 . 故 B 正确.
对于选项 : 设 ,则 ,有 ,
即 ,得 ,
,
当 时,取最大值. 故 正确.
对于选项 D: 因为 ,
可知函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以当 ,当 时函数有最小值,无最大值. 故 错误.
故选: BC.
11. BCD
对于 ,单位圆 的内接正 边形 的中心角为 ,
如图设 ,过 作 于点 ,则 ,
,故 A 错误;
对于 ,由 的结论, ,则 ,
则 ,故 B 正确;
对于 ,
则 ,故 ,故 正确;
对于 ,由上分析, ,则 ,
故
,故 D 正确.
故选: BCD
12. 13
设点 ,则 ,所以 ,所以 ,
所以 ,
故答案为: 13 .
13. 1078
当 为奇数时, ,当 为偶数时, ,
数列 的奇数项是等比数列,偶数项是等差数列,
故答案为: 1078 .
14.
与 关于 对称,
又 上两点 关于直线 对称的点 在曲线 上,
故 与 有 2 个交点,
即 有 2 个不同的实根,
即 有 2 个不同的实根,
设 ,则 ,
当 时, ,当 时, ,
故 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 ,且 趋向于 0 时, 趋向于 ,
当 趋向于 时, 趋向于 0,
作出 的图象,如下:
且 的图象为过定点 的直线,
当 与 相切时,设切点为 ,此时 ,
又根据两点间斜率公式得 ,
所以 ,故 ,
由于 在 上单调递增,且 ,
故 有唯一解 ,
故切线斜率为 ,
数形结合得到 时, 有 2 个不同的实根,
故 的取值范围是 .
故答案为:
15.(1)因为 ,所以 .
由余弦定理,得 ,
又因为 ,所以 .
(2)因为 是 的平分线，所以 ，
设 的边 上的高为 ,则由 ,
得 ,即 ,
由余弦定理,得 ,
所以 ,从而 ,故 为直角三角形.
16.(1)因为函数 ,
所以函数定义域为 ,且函数 存在一条对称轴,故对称轴为 ,
所以 ,
即 ,
所以 ,故 ,
当且仅当 时上式恒成立,故 .
( 2 )由题意 ，
当 时,有 且 ,
所以 ,故 的单调减区间为 ;
当 时,令 ,
且当 时, ,当 时, ,
所以 的单调增区间为 ,单调或区间为 ;
综上,当 时, 的单调减区间为 ,无增区间;
当 时, 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
17.(1)过点 作 平面 于点 平面 ,所以 ,
又 平面 ,
平面 平面 ,
同理可证 ,又 是正三角形,则 是 的中心,
连接 并延长交 于 ,则 分别为 的中点,
又 平面 平面 ,故 ,
同理可证 ,
综上, .
(2)法一:由(1)知，三棱锥 是正三棱锥，
且 在底面 内的投影为等边 的中心 ，
又 ,故三棱锥 的三个侧面
均为直角三角形,
且 ,则 ,又 ,
可知 ,则 ,
解得 ,在平面 中过 作 ,
交 延长线于点 ,则 平面 ,
则 即为直线 与平面 所成角,其中
故
即直线 与平面 所成角的余弦值 .
法二: 以 的中点 为坐标原点,以 为 的正方向, 过 且与 平行的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系,
则 ,
设平面 的法向量为 ,
因为 ,
则 ,取 ,则 ,
又 ，
设直线 与平面 所成角为 ,
所以 ，故 ，
即直线 与平面 所成角的余弦值 .
18.(1) 设男生有 人，故 ，解得 ，
故男生中选择园艺课的人数为 40 人，又因为其有 400 人参加课程、
所以女生有 200 人，女生中选择家政课的人数为 80 人.
完善列联表, 单位: 人
课程 性别 合计
男 女
家政 160 80 140
园艺 40 120 160
合计 200 200 400
零假设为 : 选择不同劳动教育课程与性别无关联.
因为 ,
故依据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,
即认为学生选择不同劳动教育课程与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.001 .
(2)① ，
根据甲的计算公式计算: ，故 ；
根据乙的计算公式计算: ,
易知 ,因此乙的偏差系数大,从而乙对大偏差数据的存在体现更明显.
②采用①中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处理方式，即乙的处理方式是合理的.
证明: 不妨设 ,只需证明 恒成立.
不妨设 为任意实数,
则 ,欲证 ,则证 即可,
即证 即可,故证 即可,
设函数 ,
结合完全平方公式得 ,则二次函数 的 ,
可得 ,即 ,
从而对于原式,不妨令 ,得到 ,
得到 ,即 恒成立,
故此后学校每次调研均采用①中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处理方式是合理的.
19. (1)曲线 既关于两坐标轴成轴对称,又关于原点成中心对称.
当 时,曲线方程为 .
记圆心为 ,与 轴分别交于 两点,
则 ,过点 作 ,
则 ,
所以 ,
所以 .
所以 ,
所以 ，同理 .
由对称性可知,曲线 围成的平面图形的面积
(2)记曲线 在第一象限的圆心为 ，第二象限的圆心为 ， 第三象限的圆心为 、第四象限的圆心为 .
情况 1: 不妨 都在第一象限 (或坐标轴正半轴), .
情况 2: 不妨 在第一象限 (或坐标轴正半轴), 在第二象限 (或 轴负半轴) 时, (当且仅当 四点共线时等号成立),此时 最大值为 6 .
情况3:不妨 在第一象限(或坐标轴正半轴)， 在第三象限(或坐标轴负半轴)时，
(当且仅当 四点共线时
等号成立),此时 最大值为 .
综上,根据对称性可知 最大值为 .
(3)当 时，研究直线与曲线 在第一象限的公共点.
联立 ,得 (*) .
因为 ,
所以方程 (*) 只有一个正根,则直线 与曲线 在第一象限只有一个公共点.
同理,直线 与曲线在第三象限也只有一个公共点.
因此,当 时,直线 与曲线 只有两个公共点.
当 时,
一方面,直线 与曲线 在第二象限的部分至多两个公共点.
另一方面,由 ,得 (*) .
因为 ,
所以方程 (*) 无正根,即直线 与曲线 在第一象限无公共点.
同理,直线 与曲线 在第三象限无公共点.
所以当 时,直线 与曲线 至多两个公共点.
所以 时,直线 与曲线 至多两个公共点.
由对称性可知, 时,直线 与曲线 也至多两个公共点.
综上,不存在直线 与曲线 至少有三个不同的公共点.