山东省实验中学中心校区2025-2026学年高三下学期3月学情检测数学试题（含答案）

山东省实验中学中心校高三 3 月学情检测数学
2026.3
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 圆 的圆心坐标为( )
A. B. C. D.
2. 已知变量 和变量 的 3 对随机观测数据为 ,则这组样本数据的样本相关系数为( )
A. B. C. 1 D. -1
3. 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
4. 已知 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列结论正确的是 ( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
5. 已知复数 在复平面内对应的点为 ,则满足 的点的集合组成的图形的面积是 ( )
A. B. C. D.
6. 已知集合 ，则满足条件 的集合 的个数为( )
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
7. 设等差数列 的公差为 ,则 “ ” 是 “ 为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知 ,则下面结论正确的是 ( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多项是符合题目要求的.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的 得 0 分.
9. 已知函数 ，下列选项正确的是( )
A. 若 ,则
B. 函数 在定义域内是减函数
C. 若 时,则 的值域是
D. 若 ,则函数 有最小值也有最大值
10. 某人在 次射击中击中目标的次数为 ,其中 ,设击中偶数次为事件 ,则( )
A. 当 时， 取得最大值 B. 当 时， 取得最小值
C. 当 随 的增大而减小 D. 当 随 的增大而减小
11. 三相交流电是发电、输电和配电中常用的一种交流电类型, 三相交流电插座上有四个插孔,其中中性线 (零线) 电压为 ,三根相线 (火线) 电压分别为 , ,其中 (单位: ), (单位: ). 三根相线间的电压叫线电压,记 , 线电压的最大值分别为 ,有效值分别为 ,则下列说法正确的是( )
A. 三根相线电压的频率均为 50 (单位: )
B.
C. 当某一线电压达到最大值时, 另两个线电压均取得最小值
D. 线电压的有效值 (单位: )
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知随机事件 满足 ,则 _____.
13. 已知数列 的前 项和为 ,且 ,则 的通项公式为_____.
14. 已知直线 与抛物线 交于 两点, 为坐标原点, 交 于点 ，点 的坐标为 ，则抛物线的准线方程为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
15. 如图,在直三棱柱 中， 为 的中点，记四棱锥 的体积为 ,三棱锥 的体积为 .
(1)证明: ；
(2)已知 ，求二面角 的余弦值.
16. 已知在 中，内角 所对的边分别为 ，边 上的高为 ， 且 .
(1)求证: ；
(2)若 ,求 .
17. 已知函数 .
(1)当 ， 时，求函数 的单调区间；
(2)若对任意 ， ，对 恒成立.
(i) 求 的取值范围:
(ii) 若 ,证明: 函数 有且仅有一个极大值点.
18. 在平面直角坐标系 中,双曲线 的右焦点为 ,右顶点为 ,过点 的直线 与双曲线 交于 两点,点 与点 均不重合.
(1)已知直线 ，讨论直线 与双曲线 的公共点的个数；
(2)记直线 与直线 的斜率分别是 .
(i) 求证: 为定值;
(ii) 若点 是 的外接圆的圆心，判断直线 的斜率是否存在最值，若存在，求出最值; 若不存在, 请说明理由.
19. 现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成(如图所示)，假设棋盘足够大. 一颗质地均匀的正方体骰子,六个面分别以 标号. 在棋盘上,以 为原点建立平面直角坐标系,设点 的坐标为 . 棋子初始位置为坐标原点,投掷骰子 次,用 表示第 次投掷后棋子的位置 ( 为坐标原点),规定: 其中向量 为前 次投掷过程中,掷得偶数的总次数.
(1)求点 所有可能的坐标；
(2)求投掷骰子 8 次后棋子在原点的概率；
(3)投掷骰子 80 次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为 的概率为 ,求 的表达式,并指出当 为何值时, 取得最大值.
1. A
圆 的圆心坐标为 .
故选: A.
2. C
作出散点图, 如图:
观察图形,得点 在一条直线 上,
所以这组样本数据的样本相关系数为 1 .
故选:
3.
由 ,得 ,
解得 ,
所以 .
故选: B.
4. C
对 : 若 ,则 或 ,故 错误;
对 若 ,则 或 异面,故 错误;
对 C: 如图:
过直线 作平面 ,交平面 于直线 ,因为 ,所以 ;
过直线 作平面 ,交平面 于直线 ,因为 ,所以 ;
所以 ,且 ,所以 .
,所以 .
又 ,所以 . 故 正确;
对 D: 因为垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不能确定，故 D 错误.
故选: C
5. B
由题意可得,满足 的点的集合组成的图形是以原点 为圆心,以 2 及 3 为半径的两个圆所夹的圆环,
则其面积为 .
故选: B.
6. A
依题意, ,由 ,知 , 因此集合 可视为集合 与集合 的子集的并集，又 的子集有 个， 所以集合 的个数为 8 .
故选: A
7. A
因为 ,所以 ;
当 时, ,此时 显然单调递增,
所以 可以推出 为递增数列;
当 为递增数列时,不妨取 ,此时 为递增数列,但 不满足,
所以 为递增数列不能推出 ,
所以 “ ” 是 “ 为递增数列” 的充分不必要条件,
故选: A.
8. B
因为 ,所以 (当且仅当 时取等号),
所以函数 在 上单调递增.
又 ,即 ,所以 ,
即 .
故选: B
9. AD
对于 ,由 ,可得 ,解得 ,故 正确;
对于 的定义域为 ,
所以 在 上单调递减,且 ,
所以 在 上单调递减,且 ,
故 在 上不是单调函数,故 错误;
对于 ,由 可得,当 时, ,
当 时, ,所以 的值域是 ,
当 时， 无意义，故 错误；
当 且 时， ，
当 且 时, ,
所以若 ,则函数 有最小值也有最大值,故 正确;
故选: AD.
10. AD
对于 , 当 时， 取得最大值，故 A 正确，B 错误；
对于 ,
,
,
当 时, 为正负交替的摆动数列,
所以 不会随着 的增大而减小,故 错误;
当 时, 为正项且单调递减的数列,
所以 随着 的增大而减小,故 正确.
故选: AD.
11. ABD
选项 A: 频率 与角频率 的关系是 .
给定 ,所以 ,
所有相线电压的角频率相同,只是相位不同,所以频率都是 ,故 正确;
选项 B: 计算三个电压的和
计算括号内的部分.
设 ,则
,
,故 B 正确;
选项 C:
所以 ,同理计算 ,
假设 达到最大值,即 ,设 ,则当 时,
(最大值),
此时 均不是取得最小值,故 错误;
选项 D: 由上可知,线电压的最大值分别为 ,都等于 ,
有效值 都等于 ,故 D 正确.
故选: ABD.
12.
因为 ,
所以 .
故答案为:
13.
因为数列 的前 项和为 ,且 ,
当 时, ,所以 ,
当 时,则 ,则 ,所以 ,
所以当 时, ,又 ,
所以 是以 为首项以 为公比的等比数列,所以
则 的通项公式为 .
故答案为:
14.
因为 ,所以 ,所以 ,
即直线 的方程为 ,即 ,设 ,
则 ,即 ,所以 ,
所以 ,
又因为 ,所以 ,即 ,所以 .
故抛物线的准线方程为 . 故答案为: .
15. (1)在直三棱柱 中， 为 的中点，设 ，
由直线 平面 ,得点 到平面 的距离相等,
,
所以 .
(2)由(1)知 ，而 ， ，则 ， 以 点为原点,直线 分别为 轴建立空间直角坐标系,
,
,
设平面 的法向量 ,则 ,取 ,得 ,
设平面 的法向量 ,则 ,取 ,得
,由图形知,二面角 的大小为锐角,
所以二面角 的余弦值为 .
16.(1) 在 中, ,在 中, ,
而 ,则 ,即 ,
则 .
(2)由 ，得 ，
所以 ,又 ,则 ,即 ,
由( 1 )知， ，
所以 ，
则 ,
则
,
即 ,则 ,
解得 或 (舍去)
又 ,则 ,所以 ,即 .
17.(1) 当 时,
可得 ,所以 ,
当 时, ; 当 时.
所以 的增区间为 ,减区间为 .
(2)(i)设 ，则 在 上单调递减，
则只需 ,
令 ,由 可得 ;
所以 在 上单调递增,在 上单调递减.
所以 ,所以 ,
所以 .
(ii) 由上知 ,又 ,
当 时. ,
当 时， ，
由零点存在定理可知存在 ,使得 .
下面证明: 在区间 上有且仅有一个零点 .
记 ,
则 ,令 ,可得 ;
则 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 .
① 当 时， ，所以 单调递减
此时 在区间 上有且仅有一个零点
② 当 时， ， .
当 时,此时存在唯一的 ,使得 ,
故 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 ,所以 在 上有且仅有一个零点 .
当 时,
存在两个点 ,使得 , 即 ,
故 在 上单调递减, 上单调递增, 上单调递减,
又 .
记 .
所以 ,进而 ,所以对任意 ,总有
则对任意 ， . 所以 不存在零点.
而 在 上单调递减， ，
所以 在 上有且仅有一个零点 .
综上所述， 在 上有且仅有一个零点 ，
且当 时, 时, ,从而 为 的极大值点, 所以 有且仅有一个极大值点 ,证毕.
18. (1)由 的渐近线为 ,则 与 平行或重合， 当 时,直线 与双曲线 的公共点有 0 个, 当 时,直线 与双曲线 的公共点有 1 个;
(2)(i)由题设 ，且可设直线 ，联立 ， 所以 ,则 , 若 ,则 ,且 , 所以 为定值, 得证;
(ii) 设 ,结合 (i) 有 ,且 ,
所以 ,
联立 ,则 ,整理得 ,
所以 ,则 ,故 ,
所以 ,同理 ,可得 ,
设圆 的方程为 ,所以 ,
又 ,即 ,所以 ,
所以 ,则 ,
所以 ,得 ,同理 ,
而 ,则 ,
令 ,则 ,则 ,
即 ,
令 ,则 ,故 ,可得 , 所以 ,即 的最小值、最大值分别为 .
19. ;
(2) ;
(3) 时， 取得最大值.
(1) 由题意,点 可能的坐标为 .
(2)令向量 ，
则当 时， ；当 时， ；
当 时 ,其中 ,且 .
要保证 为原点,则在 8 次投掷过程中,掷得奇数的次数 应为0,3,6.
①若 ，即 8 次投掷全部为偶数，共 1 种情况:偶偶偶偶偶偶偶偶；
②若 ，即 8 次投掷过程中有 5 次偶数，3 次奇数，则共 8 种情况:
奇偶奇偶奇偶偶偶，奇偶奇偶偶偶偶奇，奇偶偶奇偶偶奇偶，奇偶偶偶偶奇偶奇，
偶奇偶奇偶奇偶偶，偶奇偶偶奇偶偶奇，偶偶奇偶奇偶奇偶，偶偶偶奇偶奇偶奇；
③若 ，即 6 次奇数，仅有 1 种情况:奇奇偶奇奇偶奇奇.
故 为坐标原点的概率 .
(3)当 不是 3 的倍数时,显然有 .
以下讨论当 是 3 的倍数的情况. 不妨设 ,则掷得偶数的次数为 次.
记进行加向量 为操作 ,加向量 为操作 ,加向量 为操作 ,不做任何操作记为操作 .
定义操作小结: ,其中 可以为 0 .
在 80 次投掷产生的操作过程,可分为若干操作小结.注意到 1 个操作小节中有 2 次操作 , 每两个操作小节也由操作 连接,所以共有 个操作小节,如下图所示:
所以有 其中 .
由隔板法可知,上述不定方程共有 组解,而每一组解对应着一种满足题意的投掷,于是有
. 综上,有
因此,当 ,即 时, 取得最大值.