山东潍坊市寿光市第一中学2025-2026学年高一3月测试数学试题（含答案）

数学检测
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 如图所示， 为全集， ， 为 的子集，则图中阴影部分表示的是( )
A. B.
C. D.
2. 设集合 ，则 ( )
A. B.
C. D.
3. 命题“ ”的否定是( )
A. B.
C. D.
4. 已知集合 ，则 等于( )
A. B.
C. 或 D.
5. 已知集合 ，若 ，则所有实数 组成的集合是 ( )
A. B. C. D.
6. ( ” 是 “ ” 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 关于 的不等式 解集是 ,则实数 取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 设集合 为非空实数集,集合 且 ,称集合 为集合 的积集,则下列结论正确的是 ( )
A. 当 时,集合 的积集
B. 若 是由 5 个正实数构成的集合，其积集 中元素个数最多为 8 个
C. 若 是由 5 个正实数构成的集合,其积集 中元素个数最少为 7 个
D. 存在 4 个正实数构成的集合 ,使其积集
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知集合 ，若 ，则 的值可以为( )
A. 3 B. -1 C. 2 D. 1
10. 已知实数 ,其中 ,以下叙述正确的是 ( )
A. 若 ,那么 .
B. 若 ,那么 .
C. 若 ,那么 D. 若 ,那么
11. (多选) 当一个非空数集 满足“如果 ,则 ,且 时, ” 时,我们称 是一个数域. 以下四个关于数域的命题中真命题的是( )
A. 0 是任何数域中的元素; B. 若数域 中有非零元素,则 2022 ;
C. 集合 是一个数域; D. 有理数集 是一个数域.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知对于实数 ,满足 ,则 的最大值为_____.
13. 若命题“ ”为假命题，则实数 的取值范围是_____.
14. 若关于 的不等式 的解集是 ,则关于 的不等式 的解集是_____
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或 演算步骤.
15. 已知集合 ,集合 .
(1)若 ，求 ， ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
16. 已知 为实数，集合 ，集合
( 1 )若 ，且满足 ，求实数 的值；
(2)若 ,求实数 的取值范围.
17. 设集合 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若集合 中有两个元素 ， ，求 ；(用 表示)
(3)若 ，求实数 的取值范围.
18.(1)若方程 的两根分别为 、 ，求 的值.
(2)教材中有对一元二次方程的根与系数关系(韦达定理)的证明:韦达定理 若一元二次方程 的两个根为 ,则 .
韦达 (F. Viete, 1540-1603),法国数学家.
证明: 因为一元二次方程 的两个根为 ,所以二次三项式 可以因式分解为 .
由于 ,
从而等式 恒成立.
根据多项式相等的概念可知, 该等式两边的对应项系数应相等.
因此 .
类比以上思路,推导一元三次方程 的根与系数关系;
(3)根据你的发现，解决以下问题:已知关于 的方程 有三个实数根 满足 ,求实数 的值.
19. 已知数集 (其中 )具有性质 :对任意的 与 两数中至少有一个属于 .
(1)分别判断数集 与 是否具有性质 ；
(2)证明: ；
(3)已知数集 具有性质 ，若 ， ，求数集 .
1. B
阴影中的任意元素 满足 但 ,故 .
故选: B.
2. C
由 ,得 ,即 ,解得 ,
则 ,由 ,得 ,
所以 .
3. A
“ ”的否定是 ,
故选: A
4. A
或 ,
故 .
故选: .
5. C
因为 ,所以 ,
若 ,则 ,此时满足条件;
若 ,则 ,
则 或 ,
解得 或 ,
综上,所有实数 组成的集合是 .
故选: .
6. D
若 ,则不妨取 ,此时 ; 若 ,则不妨取 ,此时 . 故 “ ” 是 “ ” 的既不充分也不必要条件.
7. D
当 时, ,若 ,则 显然对 成立,所以满足,
若 ,则 ,显然解集不是 ,所以不满足;
当 时,若要 解集是 ,
则 ,解得 ,
综上可知: ,
故选: D.
8. C
对于 ,因为 ,故集合 中所有可能的元素有
,
即 ,故 A 错误;
对于 ,设 ,不妨设 ,
因为 ,
所以 中元素个数小于等于 10 个,
如设 ,则 ,
所以积集 中元素个数的最大值为 10 个,故 错误;
对于 ,因为 ,
所以 中元素个数大于等于 7 个,
如设 ,
此时 中元素个数等于 7 个,所以积集 中元素个数的最小值为 7,故 正确;
对于 ,假设存在 4 个正实数构成的集合 ,使其积集 ,
不妨设 ,则集合 的积集 ,
则必有 ,其 4 个正实数的乘积 ,
又 或 ,其 4 个正实数的乘积 ,矛盾;
所以假设不成立,故不存在 4 个正实数构成的集合 ,
使其生成集 ,故 D 错误.
故选: C.
9.
由 ,得 ,所以 或 ,
若 ,则 ,此时 ,符合题意;
若 ,解得 或 -1,
当 时, ,符合题意;
当 时， ，集合 不满足互异性，不合题意；
综上, 的值可以为 3 或 2 .
故选: AC.
10. AB
选项,由于 ,则 ,若 ,则由不等式的性质可得, , 正确;
B 选项，若 ，则 ，则 ，所以 选项正确;
选项,若 ,则 ,则 错误;
D 选项，若 ，则 ，则 ，D 错误；
故选: AB.
11. ABD
由题可设 是数域 中的一个元素,则由数域定义可知 ,即 0 是任何数域中的元素, A 正确;
若域 中有非零元素 ,则 ,所以 ,
正确;
记 ,则 ,但 ,所以集合 不是一个数域,故 错误;
因为任意两个有理数的和差积仍是有理数, 当分母不为 0 时, 两个有理数的商仍为有理数, 所以有理数集 是一个数域,故 D 正确.
故选: ABD
12. 7
由 可得 ,
因为
所以 ,故 ,则 的最大值为 7,
故答案为: 7
13.
已知命题 ”为假命题,
则该命题的否定: “ ”为真命题.
此时二次函数的判别式满足 .
即 ,
化简可得:
综上,实数 的取值范围是 .
故答案为:
14.
因为关于 的不等式 的解集是 ,
所以有
所以 ,或 ,
所以原不等式的解集为 .
故答案为:
15. (1)
(2) 或
( 1 )解不等式 ，等价于 ，解得 ， 补集 .
当 时， .
或
所以
(2) ,
若 ,得, 或 .
当 时,解得 ; 当 时,
因此，实数 的取值范围为: 或
16. 或
(2)
(1) 由已知可得 是关于 的方程 的两个不等实数根,
则 ,即
由韦达定理可得
所以 .
解得 或 ,均满足 .
因此 或 .
(2)由 得 .
当 时, ,此时 ;
当 时, 中有一个元素或两个元素,
若 中有一个元素时, ,解得 ,此时 ,满足条件;
若 中有两个元素时, ,即 1、3 是关于 的方程 的两个根,
此时需满足 ,解得 ,且 ,没有满足条件的 .
综上所述,实数 的取值范围是 .
17. 或
(2)
(3)
(1) 解 ,得 或 ,则集合 ,
题意得,2 是 的解,
即 ,解得 或 ,
当 时， ，即 ， ，满足题意，
当 时， ，即 ， ，满足题意，
故 或 .
(2)若集合 中有 2 个元素，则二次函数 有 2 个解，
即 ,解得 ,
由韦达定理得 ,
则 .
(3)若 ，则集合 是集合 的子集，
由(1)知集合 ，
① 当集合 ，此时 无解，
有 ,解得 ;
② 当集合 ，则有 ，解得 ，
且 ,解得 ,此时 的取值冲突,故舍;
③ 当集合 ,则有 ,解得 或 ,
且 ,解得 ,故此时 ;
④ 当集合 ，则有 ，解得 ，
此时 的取值冲突,故舍;
综上, 的取值范围是
18.(1)由题意 ,
所以 .
(2)设 有三个不相等的实数根 ，
则 可分解因式为 ,
展开得 ,
所以有 恒成立,
所以等式两边对应系数相等,
所以有 .
(3)由(2)可知， ，
易知 ,
因为 ,
所以有 ,解得 .
19. (1) 对于集合 取 ,则 , 所以数集 不具有性质 ;
对于数集 ,
即对 中任意 与 中至少有一个属于 ,
所以数集 具有性质 .
(2)由已知 ，
若 ,则 ,所以 ,
又 ,所以数集 不具有性质 ,不符合题意,
所以 ;
(3)由(2)可知， ，
因为 ，
所以 ,所以 ,
因为数集 具有性质 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,即 ,
因为 ,则 ,所以 ,
由 ,又 ,所以 ,
所以 ,所以
所以 .