山东省烟台第一中学2025-2026学年第二学期2月开学检测高三数学试题（含答案）

烟台一中 2025~2026 学年第二学期开学检测 高三数学试题
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 复数 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 用模型 拟合一组数 ,若 , ，设 ，得变换后的线性回归方程为 ，则 ( )
A. 12 B. C. D. 7
4. 已知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径相同, 且圆柱的高等于球的直径, 圆锥的体积等于圆柱的体积，若三者的体积之和为 ，则圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
5. 设函数 ,若 ,则 ( )
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
6. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 为双曲线右支上一点, 的内切圆圆心为 ,连接 并延长交 轴于点 ,若 ,则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D. 4
7. 设 是两个随机事件,已知 ,记 ,则 ( )
A. B. C. D.
8. 若曲线 与圆 恰有一个公共点,则实数 的值为( )
A. B. 2
C. D. 1
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选 项中, 均有多项符合题意, 全选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错或 不选的不得分.
9. 已知 ，则下列结论正确的有( )
A.
B.
C.
D. 中, 与 最大
10. 已知函数 的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数 的图象关于点 对称
C. 函数 在区间 上单调递增
D. 若函数 在区间 上有且仅有两个零点和两个极值点,则
11. 已知函数 的函数值等于 的正因数的个数. 例如 . 则下列选项正确的是 ( )
A.
B.
C.
D. 设 ,则
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 据调查,某高校大学生每个月的生活费 (单位: 元) 服从正态分布 , 又 ,已知该校大学生人数较多,现从该校所有学生中,随机抽取 10 位同学, 则这 10 位同学中, 每月生活费不低于 1500 的人数大约有_____人.
13. 已知抛物线 的焦点为 为坐标原点，动点 在 上，若点 满足 ，则 周长的最小值为_____.
14. 已知三棱锥 的各顶点均在半径为 2 的球 表面上， ，
，则三棱锥 的内切球半径为_____；若 ，则三棱锥 体积的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答时应写出文字说明、证明步骤或演算 步骤.
15. 已知 中，角 的对边分别为 的面积为 且满足
(1)求角 的大小；
(2)若 的平分线交 于点 ，且 ，求 的面积.
16. 如图,在三棱锥 中,平面 平面 是边长为 2 的等边三角形, .
(1)证明: ；
(2)若线段 上的点 满足直线 与直线 所成角的余弦值为 ，求点 到直线 的距离.
17. 元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入筐, 规则如下:参与者进行投掷, 若在投掷过程中累计命中次数达到 2 次, 则游戏立即结束并获奖; 若投掷 次/( 且 )后仍未累计命中 2 次，则游戏结束，无法获奖. 已知甲同学参加游戏每次命中率为 .
(1)当 时，记甲同学投掷次数为 ，求 的分布列及期望；
(2)当 ( 且 )时，求甲同学获奖的概率(用含有 的表达式表示).
18. 已知函数 .
(1)当 为偶函数时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ,证明: ;
(3)若实数 使得 对任意 恒成立，当 取最大值时，求 .
19. 平面直角坐标系 中, ,其中 ,直线 与直线 交于点 的轨迹为椭圆 的一部分.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作斜率为 的直线 与 交于 两点，
①若 ，求实数 的取值范围；
②已知点 ，直线 与 分别交于另一点为 ，令直线 的斜率为 ，求 的值.
1. C
由 ,
所以 ,
由 ,
所以 ,
故 .
故选: C
2. D
因为 ,
所以 ,
所以 .
故选: D.
3.
由已知, ,所以 ,
,所以
由题意, 满足线性回归方程为 ,所以 ,所以 ,
此时线性回归方程为 ,即 ,
可将此式子化为指数形式 ,即为 ,
因为模型为模型 ,所以 ,
所以 .
故选: B.
4. D
不妨设三者半径均为 ,由题意知圆柱的高为 ,故其体积为 ,
故圆锥的体积为 ，而球的体积为 ，
故 ，解得 ，
记圆锥的高为 ,由 ,得 ,
故圆锥的母线长 ,
于是圆锥的侧面积 .
故选: D
5. D
因为 ,所以 , 即 ,
令 ,所以 在 上为单调递增的奇函数,
由于 ,
所以 ,则 ,
故选: D.
6. C
因为 ,
所以 为线段 的靠近 的三等分点,
又因为 ,
即 .
所以 ,
解得 ,
所以 ,
又因为 的内切圆圆心为 ，
所以 平分 ,
又因为 三点共线,
由角平分线定理可得 ,
所以 ,
由双曲线的定义可得 ,
所以 ,
设 ,
则有 ,
即 ,
解得 ,
又因为 ,
即 ,
所以 ,
即 ,
解得 ,
设圆 与 分别相切于点 ,
设 ,
由内切圆的性质可知 ,
所以 ,
又因为 ,
所以 ,
解得 ,
所以 ,
即 ,
所以 ,
整理得: ,
即 ,
解得 或 ,
当 时, ,
此时点 与双曲线的右顶点重合,不满足题意;
当 时, ,满足条件,
所以 ,
所以双曲线的离心率 .
故选: C.
7. C
由已知得 ,
注意到 ,所以 相互独立,
故 ,
又因为 ,故 ,
所以 .
故选: C.
8. D
由题意,设切点为 ,圆的标准方程为 ,即圆心为 ,半径 ,
且有曲线 与圆 有公切线,即两方程在切点 处切线的斜率相同,
易得 ,则曲线在切点处的斜率为 ,
易得 ,则圆在 的切线的斜率为 ,
则有 ,即 ,
同时切点 在圆上,则有 ,
联立 ,得 ,解得 ,
因为 ,所以有 ,此时有 ,
故选: D.
9. ACD
对于 ,令 可得 ,故 正确;
对于 ,令 可得 ,
所以 ,
设 展开式的通项为 ,
取 ,可得 ,所以 ,故 B 错误;
对于 ,令 可得 ①,
令 可得 ②,
由①-②可得 ，故 C 正确；
对于 ,由选项 可知, ,
若 最大,则 ,
所以 , ,
解得 ,则 ,故 或 ,
又 ,所以 中, 与 最大,故 正确.
故选: ACD.
10. AB
根据函数 的部分图象,
所以 ,所以 ,又 ,所以 ,故 A 正确;
所以 ,
由 ,得 ,解得 ,
由于 ,所以 ,所以 ,
由于 ,
所以函数 的图象关于点 对称,故 正确;
令 ,解得 ,
故函数 的单调递减区间为 ,
函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,在区间
上单调递增,故 错误;
因为 ,由 ,得 ,
若函数 在区间 上有且仅有两个零点和两个极值点,
则 ，解得 ，故 D 错误.
故选: AB
11. ACD
对于 的正因数为1,2,3,6共 4 个,所以 ,故 正确;
对于 ,它的因数形如 ,其中 ,
所以不同的因数有 个,即 ,故 不正确.
对于 ,因为 ,所以 ,
所以
,故 C 正确;
对于 ,则
,故 D 正确.
故选: ACD.
12. 8
由 ,
得 ,
所以这 10 位同学中，每月生活费不低于 1500 的人数大约有 .
故答案为: 8
13. 5
已知抛物线 的焦点 ,故 , 由 得 ,已知 ,
由两点距离公式:
平方整理得: ,结合 解得 ,
因此抛物线为 ,焦点 ,准线 ,
则 的周长 ,即求 的最小值,
由抛物线定义: 抛物线上点 到焦点 的距离等于 到准线 的距离 ,即 , 因此 ,当 垂直于准线时, 最小,
最小值为 到准线 的距离: ,
因此周长最小值为 .
故答案为: 5
14.
如图,根据题意, , ，
所以 ,设 的中点为 ,则 是 外接圆的圆心,则 平面 ,则 ,
设三棱锥 内切球的半径为 ,则
即 .
由 ,由于 ,
所以当点 到平面 的距离最大时,三棱锥 的体积最大,
如图,以 为坐标原点, 为 轴建立空间直角坐标系,则 , ,
设点 ,因为 ,
所以 ,即 ,
两式相减解得 ，
代回上式可得 ,所以 ,即 ,
又平面 的一个法向量为 ,
所以点 到平面 的距离为 ,
所以点 到平面 的最大距离为 ,
所以三棱锥 的体积最大值为 .
故答案为: .
15. ;
(2) .
(1)由余弦定理 ,得
所以 ,又 ,
所以 ，可得 ，
所以 ,则 ;
(2)由 ，则
，
即 ,则 ,
由余弦定理有 ,即 ,
所以 ,可得 ,
所以 ,则 ,可得 ,所以 .
16.(1)在 中, ,
由余弦定理可得: ,
则 ,所以有 ,则 .
由平面 平面 ,平面 平面 ,
且 平面 ,则 平面 ,
又 平面 ,则 .
(2)取 中点分别为 ，连接 .
由 为正三角形知， ，
结合(1)中 平面 ，由 ，可知 平面 ，则 两两垂直,
如图所示,以 为原点, 分别为 轴, 轴, 轴的正方向,建立空间直角坐标系,
则 ,
可得 .
设 ,则 ,且 ,
可得 .
由 ,解得 或 (舍去),
则 ，且 .
故点 到直线 的距离 .
17.(1)由题可知: 的取值可能为2,3,4，
故 的分布列为:
2 3 4
所以 ;
(2)记事件 :甲同学获奖，显然， ，
设 表示甲投掷的次数,若甲投掷 次并获奖,
则 ,
所以 ,
令 ,
所以 ,
两式相减: ,
,
即 ,所以 .
18.(1) 若 为偶函数,即 ,
则 ,即得 ,
即 ,由于 ,则 ,
此时 ,
所以 ,
故所求的切线方程为 ,即 ;
(2)当 时， ，要证 ，
即证 .
设 ,则 .
令 ,得 ,由于 ,故 ,
等号仅在 时取得,故 是 上的增函数, ,
所以当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 得证.
(3) 恒成立，即 恒成立，则 .
设函数 ,即 ,
则 ，由( 2 )可知 是增函数，且易知其值域为 ，
故存在 ,使得 ,即 ,
当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,
所以
,
要使 最大,则取 ,再分析 的最大值.
设函数 ,
则 ,
因为 ,且仅在 处等号成立,
所以当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,
所以
即 的最大值为 ,当 时, ,
得 .
19.
(2)① ；②
(1) 由题意可得 ,直线 的方程为 ;
直线 的方程为 ,即 ;
两式相乘得 ,化简得 ;
故结合题意可知椭圆 的方程为 ;
(2)①由于直线 的斜率 大于 0 .
故设直线 的方程为 , 由 得 ,
需满足 ,解得 ,
则 ,
而 ,
由 ,可得
由于 ,故 ,则 ,则 ,
故 ,即 ;
②由于 三点共线,所以 ,即 ,
整理得 ,
设直线 (斜率不为 0)的方程为 ，
联立 ，得 ， ，
则 ,
又 ,
故 ,
所以 ,
同理可得 ,
则 ,
将 代入上式,得 ,
故 .