山东潍坊市安丘市潍坊国开中学2025-2026学年高二下学期3月开学检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 山东潍坊市安丘市潍坊国开中学2025-2026学年高二下学期3月开学检测数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 43.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-24 00:00:00 | ||
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文档简介
高二下学期数学开学检测
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有( )
A. 24 种 B. 6 种 C. 4 种 D. 12 种
2. 计算 的值是
A. 72 B. 102 C. 5070 D. 5100
3. 的展开式中 的系数为( )
A. -280 B. -40 C. 40 D. 280
4. 在某种信息传输过程中, 用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息, 若所用数字只有 0 和 1 , 则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A. 10 B. 11 C. 12 D. 15
5. 某学校选派了三位男教师和两位女教师参加某活动, 这五位教师被分到三个不同的小组, 其中两位女教师分派到同一个小组, 则不同的分配方案有 ( )
A. 18 种 B. 36 种
C. 68 种 D. 84 种
6. 的展开式中, 的系数为
A. 10 B. 20
C. 30 D. 60
7. 展开式中 的系数为( )
A. 40 B. 60 C. 80 D. 120
8. 2019 年 10 月 17 日是我国第 6 个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动， 现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院 ，医生乙只能分配到医院 或医院 ,医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院,其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有
A. 18 种 B. 20 种 C. 22 种 D. 24 种
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 将四个不同的小球放入三个分别标有 1,2,3 号的盒子中, 不允许有空盒子, 下列结果正确的有( )
A. B. C. D. 18
10. 已知 的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为 ,则( )
A. B. 展开式中所有项的系数和为 1
C. 展开式中二项式系数和为 D. 展开式中不含常数项
11. 定义有 行的“杨辉三角”为 阶“杨辉三角”，如图就是一个 8 阶“杨辉三角”.给出的下列命题中正确的是( )
A. 记第 行中从左到右的第 个数为 ,则 ;
B. 第 行所有数的和是
C. 第 行共有 个数
D. 8 阶“杨辉三角”的所有数的和是 255
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 展开式中 的系数是_____.
13. 若 的展开式中所有项的二项式系数之和为 64,则展开式中的常数项是_____.
14. 某赛事新增了电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等五个表演项目. 现有三个场地
分别承担竞赛项目与表演项目比赛,其中电子竞技和冲浪两个项目仅能 两地承办,且各自承办其中一项. 五个表演项目分别由 三个场地承办,且每个场地至少承办其中一个项目, 则不同的安排方法有_____种.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知 . 试问:
(1)从集合 和 中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？
(2)从 中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个
16. 某医院有内科医生 5 名，外科医生 4 名，现选派 5 名医生参加赈灾医疗队.
(1)若甲、乙必须参加，则有多少种不同的选法？
(2)若甲、乙均不参加，则有多少种不同的选法
(3)若甲、乙两人至少有一人参加，则有多少种不同的选法？
(4)若医疗队中至少有 2 名内科医生和 1 名外科医生，则有多少种不同的选法？
17. 从包含甲、乙 2 人的 8 人中选 4 人参加 4×100 米接力赛，在下列条件下，各多少种不同的排法
(1)甲、乙 2 人都被选中且必须跑中间两棒；
(2)甲、乙 2 人只有 1 人被选中且不能跑中间两棒；
(3)甲、乙 2 人都被选中且必须跑相邻两棒.
18. 在二项式 展开式中,第 3 项的系数和第 4 项的二项式系数比为 .
(1)求 的值及展开式中的无理项有几项；
(2)求展开式中系数最大的项是第几项.
19. 设 ,其中 是关于 的多项式, .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 除以 81 的余数.
1. B
解: 甲、乙、丙、丁四人站成一列, 要求甲站在最前面,
则只需对剩下 3 人全排即可,
则不同的排法共有 ,
故选: B.
2. B
依题意,原式 ,故选 B.
3. A
展开式通项公式为 ,
含 的项的系数为 ,常数项是 ,
所以所求系数为 ,
故选: A.
4. B
由题意知与信息0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:
第一类: 与信息0110 有两个对应位置上的数字相同有 个;
第二类: 与信息 0110 有一个对应位置上的数字相同有 个;
第三类: 与信息 0110 没有位置上的数字相同有 个,
由分类计数原理与信息 0110 至多有两个数字对应位置相同的共有 个,
故选 B.
5. B
当两位女教师不单独一组时, 先三位男教师全排, 再两位女教师选择一组参加,
分配方案有 种;
当两位女教师单独一组时, 两位女教师先选一组, 3 位男教师分另外 2 组,
不同的分配方案有 ;
综上, 不同的分配方案有 36 种.
6. C
在 的 5 个因式中,2 个取因式中 剩余的 3 个因式中 1 个取 ,其余因式取 ,故 的系数为 ,故选 C.
7. A
展开式的通项公式,可得
展开式中含 项:
即展开式中含 的系数为 40 .
故选: A.
8. B
根据医院 的情况分两类:
第一类: 若医院 只分配 1 人，则乙必在医院 ，当医院 只有 1 人，则共有 种不同分配方案,当医院 有 2 人,则共有 种不同分配方案,所以当医院 只分配 1 人时, 共有 种不同分配方案;
第二类: 若医院 分配 2 人，当乙在医院 时，共有 种不同分配方案，当乙不在 医院， 在 医院时,共有 种不同分配方案,所以当医院 分配 2 人时,
共有 种不同分配方案;
共有 20 种不同分配方案.
故选: B
9. BC
根据题意,四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中,且没有空盒, 则三个盒子中有 1 个中放 2 个球, 剩下的 2 个盒子中各放 1 个, 有 2 种解法:
(1)分 2 步进行分析:
①、先将四个不同的小球分成 3 组，有 种分组方法;
②、将分好的 3 组全排列，对应放到 3 个盒子中，有 种放法；
则没有空盒的放法有 种；
(2)分 2 步进行分析:
①、在 4 个小球中任选 2 个，在 3 个盒子中任选 1 个，将选出的 2 个小球放入选出的小盒中,有 种情况;
②、将剩下的 2 个小球全排列，放入剩下的 2 个小盒中，有 种放法；
则没有空盒的放法有 种;
故选: BC.
10. AD
由题意 ,则 , A 正确; ,令 ,则所有项系数之和 错误; 二项式系数之和为 , 错误;
,若 为常数项,则有 是分数,所以不存在常数项, D 正确;
故选: AD.
11. BCD
第 行各个数是 的展开式的二项式系数,
则数列 的通项公式为 ,故 A 错误;
各行的所有数的和是各行相应的二项式系数和,第 行各个数的和是 ,故 正确;
第 行共有 个数,故 正确;
8 阶“杨辉三角”的所有数的和是 ,故 D 正确,
12. -2016
的展开式中,含有 的项为:
所以 展开式中 的系数是 -2016 .
故答案为: -2016
13. 240
利用二项式系数的性质求得 的值,再利用二项展开式的通项公式,求得展开式中的常数项.
详解: 的展开式中所有二项式系数和为 ,，则 ;
则 展开式的通项公式为
令 ,求得 ,可得展开式中的常数项是 ,
故答案为 240 .
14. 300
首先电子竞技和冲浪两个项目仅能 两地举办,且各自承办其中一项有 种安排方法;
其次 5 个表演项目分别由 三个场地承办,且每个场地至少承办其中一个项目则有 种,故总数为 种不同的安排方法.
15. (1)34
(2)20
(1)由题意得 .
中元素作为横坐标, 中元素作为纵坐标,有 (个); 中元素作为横坐标, 中元素作为纵坐标,有 (个).
又两集合中有 4 个相同元素，故有 (个)点重复了，
所以共有 (个) 不同的点.
(2) ，则这样的三位数共有 (个).
16. (1)35
(2) 21
(3)105
(4)120
(1)根据题意，若甲、乙必须参加,
在剩下的 7 人中再选 3 人即可,有 种选法;
(2)甲乙均不能参加，在剩下的 7 人中选 5 人即可，有 种选法;
(3)在9从中选出5人，有 种选法，甲乙均不能参加的选法有 21 种， 则甲乙两人至少有一人参加的选法有 126-21 = 105 种选法;
(4)①队中有 2 名内科医生和 3 名外科医生，有 种选法；
②队中有 3 名内科医生和 2 名外科医生，有 种选法；
③队中有 4 名内科医生和 1 名外科医生，有 种选法，
由分类计数原理,可得 种不同的选法.
17. (1)60
(2)480
(3)180
(1)甲、乙 2 人必须跑中间两棒, 则他们本身有一个全排列,
余下的两个位置需要在剩余的 6 人中选 2 人排列,
根据分步乘法计数原理,知不同的排法种数为 .
(2)甲、乙2 人只有 1 人被选中且不能跑中间两棒，
则需要从甲、乙 2 人中选出 1 人，有 种选法，
然后在第一棒和第四棒中选一棒,有 种结果,
另外 6 人中要选 3 人的剩余的三个位置上排列,
根据分步乘法计数原理,知不同的排法种数为 .
(3)甲、乙作为一个整体，从余下的 6 人中选 2 人，
相当于 3 个人在三个位置上排列,
则不同的排列种数为 .
18. (1) ，展开式中的无理项有 8 项
(2)最大的项是第 5 项
( 1 )解:二项式 展开式的通项公式为
第 3 项的系数和第 4 项的二项式系数比为 3 : 40,
所以 ,解得 .
所以 ,
当 为无理项时, 不能为整数,
所以, ,故展开式中的无理项有 8 项.
(2)解:设展开式中系数最大的项是第 项，
则 ,即 ,
整理可得 ,解得 ,
因为 ,所以 ,所以,展开式中系数最大的项是第 5 项.
19.
(2)28
(1) 解: (1) 由已知等式,得 ,
因为
,
所以
所以 ,
所以,
(2)解: ，
结合(1)得 ，解得 .
除以 81 的余数为 28 .
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有( )
A. 24 种 B. 6 种 C. 4 种 D. 12 种
2. 计算 的值是
A. 72 B. 102 C. 5070 D. 5100
3. 的展开式中 的系数为( )
A. -280 B. -40 C. 40 D. 280
4. 在某种信息传输过程中, 用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息, 若所用数字只有 0 和 1 , 则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A. 10 B. 11 C. 12 D. 15
5. 某学校选派了三位男教师和两位女教师参加某活动, 这五位教师被分到三个不同的小组, 其中两位女教师分派到同一个小组, 则不同的分配方案有 ( )
A. 18 种 B. 36 种
C. 68 种 D. 84 种
6. 的展开式中, 的系数为
A. 10 B. 20
C. 30 D. 60
7. 展开式中 的系数为( )
A. 40 B. 60 C. 80 D. 120
8. 2019 年 10 月 17 日是我国第 6 个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动， 现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院 ，医生乙只能分配到医院 或医院 ,医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院,其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有
A. 18 种 B. 20 种 C. 22 种 D. 24 种
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 将四个不同的小球放入三个分别标有 1,2,3 号的盒子中, 不允许有空盒子, 下列结果正确的有( )
A. B. C. D. 18
10. 已知 的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为 ,则( )
A. B. 展开式中所有项的系数和为 1
C. 展开式中二项式系数和为 D. 展开式中不含常数项
11. 定义有 行的“杨辉三角”为 阶“杨辉三角”，如图就是一个 8 阶“杨辉三角”.给出的下列命题中正确的是( )
A. 记第 行中从左到右的第 个数为 ,则 ;
B. 第 行所有数的和是
C. 第 行共有 个数
D. 8 阶“杨辉三角”的所有数的和是 255
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 展开式中 的系数是_____.
13. 若 的展开式中所有项的二项式系数之和为 64,则展开式中的常数项是_____.
14. 某赛事新增了电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等五个表演项目. 现有三个场地
分别承担竞赛项目与表演项目比赛,其中电子竞技和冲浪两个项目仅能 两地承办,且各自承办其中一项. 五个表演项目分别由 三个场地承办,且每个场地至少承办其中一个项目, 则不同的安排方法有_____种.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知 . 试问:
(1)从集合 和 中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？
(2)从 中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个
16. 某医院有内科医生 5 名，外科医生 4 名，现选派 5 名医生参加赈灾医疗队.
(1)若甲、乙必须参加，则有多少种不同的选法？
(2)若甲、乙均不参加，则有多少种不同的选法
(3)若甲、乙两人至少有一人参加，则有多少种不同的选法？
(4)若医疗队中至少有 2 名内科医生和 1 名外科医生，则有多少种不同的选法？
17. 从包含甲、乙 2 人的 8 人中选 4 人参加 4×100 米接力赛，在下列条件下，各多少种不同的排法
(1)甲、乙 2 人都被选中且必须跑中间两棒；
(2)甲、乙 2 人只有 1 人被选中且不能跑中间两棒；
(3)甲、乙 2 人都被选中且必须跑相邻两棒.
18. 在二项式 展开式中,第 3 项的系数和第 4 项的二项式系数比为 .
(1)求 的值及展开式中的无理项有几项；
(2)求展开式中系数最大的项是第几项.
19. 设 ,其中 是关于 的多项式, .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 除以 81 的余数.
1. B
解: 甲、乙、丙、丁四人站成一列, 要求甲站在最前面,
则只需对剩下 3 人全排即可,
则不同的排法共有 ,
故选: B.
2. B
依题意,原式 ,故选 B.
3. A
展开式通项公式为 ,
含 的项的系数为 ,常数项是 ,
所以所求系数为 ,
故选: A.
4. B
由题意知与信息0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:
第一类: 与信息0110 有两个对应位置上的数字相同有 个;
第二类: 与信息 0110 有一个对应位置上的数字相同有 个;
第三类: 与信息 0110 没有位置上的数字相同有 个,
由分类计数原理与信息 0110 至多有两个数字对应位置相同的共有 个,
故选 B.
5. B
当两位女教师不单独一组时, 先三位男教师全排, 再两位女教师选择一组参加,
分配方案有 种;
当两位女教师单独一组时, 两位女教师先选一组, 3 位男教师分另外 2 组,
不同的分配方案有 ;
综上, 不同的分配方案有 36 种.
6. C
在 的 5 个因式中,2 个取因式中 剩余的 3 个因式中 1 个取 ,其余因式取 ,故 的系数为 ,故选 C.
7. A
展开式的通项公式,可得
展开式中含 项:
即展开式中含 的系数为 40 .
故选: A.
8. B
根据医院 的情况分两类:
第一类: 若医院 只分配 1 人，则乙必在医院 ，当医院 只有 1 人，则共有 种不同分配方案,当医院 有 2 人,则共有 种不同分配方案,所以当医院 只分配 1 人时, 共有 种不同分配方案;
第二类: 若医院 分配 2 人，当乙在医院 时，共有 种不同分配方案，当乙不在 医院， 在 医院时,共有 种不同分配方案,所以当医院 分配 2 人时,
共有 种不同分配方案;
共有 20 种不同分配方案.
故选: B
9. BC
根据题意,四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中,且没有空盒, 则三个盒子中有 1 个中放 2 个球, 剩下的 2 个盒子中各放 1 个, 有 2 种解法:
(1)分 2 步进行分析:
①、先将四个不同的小球分成 3 组，有 种分组方法;
②、将分好的 3 组全排列，对应放到 3 个盒子中，有 种放法；
则没有空盒的放法有 种；
(2)分 2 步进行分析:
①、在 4 个小球中任选 2 个，在 3 个盒子中任选 1 个，将选出的 2 个小球放入选出的小盒中,有 种情况;
②、将剩下的 2 个小球全排列，放入剩下的 2 个小盒中，有 种放法；
则没有空盒的放法有 种;
故选: BC.
10. AD
由题意 ,则 , A 正确; ,令 ,则所有项系数之和 错误; 二项式系数之和为 , 错误;
,若 为常数项,则有 是分数,所以不存在常数项, D 正确;
故选: AD.
11. BCD
第 行各个数是 的展开式的二项式系数,
则数列 的通项公式为 ,故 A 错误;
各行的所有数的和是各行相应的二项式系数和,第 行各个数的和是 ,故 正确;
第 行共有 个数,故 正确;
8 阶“杨辉三角”的所有数的和是 ,故 D 正确,
12. -2016
的展开式中,含有 的项为:
所以 展开式中 的系数是 -2016 .
故答案为: -2016
13. 240
利用二项式系数的性质求得 的值,再利用二项展开式的通项公式,求得展开式中的常数项.
详解: 的展开式中所有二项式系数和为 ,，则 ;
则 展开式的通项公式为
令 ,求得 ,可得展开式中的常数项是 ,
故答案为 240 .
14. 300
首先电子竞技和冲浪两个项目仅能 两地举办,且各自承办其中一项有 种安排方法;
其次 5 个表演项目分别由 三个场地承办,且每个场地至少承办其中一个项目则有 种,故总数为 种不同的安排方法.
15. (1)34
(2)20
(1)由题意得 .
中元素作为横坐标, 中元素作为纵坐标,有 (个); 中元素作为横坐标, 中元素作为纵坐标,有 (个).
又两集合中有 4 个相同元素，故有 (个)点重复了，
所以共有 (个) 不同的点.
(2) ，则这样的三位数共有 (个).
16. (1)35
(2) 21
(3)105
(4)120
(1)根据题意，若甲、乙必须参加,
在剩下的 7 人中再选 3 人即可,有 种选法;
(2)甲乙均不能参加，在剩下的 7 人中选 5 人即可，有 种选法;
(3)在9从中选出5人，有 种选法，甲乙均不能参加的选法有 21 种， 则甲乙两人至少有一人参加的选法有 126-21 = 105 种选法;
(4)①队中有 2 名内科医生和 3 名外科医生，有 种选法；
②队中有 3 名内科医生和 2 名外科医生，有 种选法；
③队中有 4 名内科医生和 1 名外科医生，有 种选法，
由分类计数原理,可得 种不同的选法.
17. (1)60
(2)480
(3)180
(1)甲、乙 2 人必须跑中间两棒, 则他们本身有一个全排列,
余下的两个位置需要在剩余的 6 人中选 2 人排列,
根据分步乘法计数原理,知不同的排法种数为 .
(2)甲、乙2 人只有 1 人被选中且不能跑中间两棒，
则需要从甲、乙 2 人中选出 1 人，有 种选法，
然后在第一棒和第四棒中选一棒,有 种结果,
另外 6 人中要选 3 人的剩余的三个位置上排列,
根据分步乘法计数原理,知不同的排法种数为 .
(3)甲、乙作为一个整体，从余下的 6 人中选 2 人，
相当于 3 个人在三个位置上排列,
则不同的排列种数为 .
18. (1) ，展开式中的无理项有 8 项
(2)最大的项是第 5 项
( 1 )解:二项式 展开式的通项公式为
第 3 项的系数和第 4 项的二项式系数比为 3 : 40,
所以 ,解得 .
所以 ,
当 为无理项时, 不能为整数,
所以, ,故展开式中的无理项有 8 项.
(2)解:设展开式中系数最大的项是第 项，
则 ,即 ,
整理可得 ,解得 ,
因为 ,所以 ,所以,展开式中系数最大的项是第 5 项.
19.
(2)28
(1) 解: (1) 由已知等式,得 ,
因为
,
所以
所以 ,
所以,
(2)解: ，
结合(1)得 ，解得 .
除以 81 的余数为 28 .
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