山东潍坊市诸城繁华中学2025-2026学年高一下学期数学周检测试题一（含答案）

高一数学周检测试题一
一、单选题(本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的)
1. 函数 的定义域为( )
A. B.
C. D.
2. 在矩形 中, ,则向量 的长度为 ( )
A. B. C. 12 D. 6
3. 下列说法错误的是( )
A.
B. 是单位向量,则
C. 若 ,则
D. 两个相同的向量的模相等
4. 如图,把一个体积为 、表面涂有灰漆的正方体木块锯成 64 个体积为 的小正方体，从中任取一块，则这 1 块至少有一面涂漆的概率为( ).
A. B. C. D.
5. 已知非零实数 ,则“ ”是 “ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知函数 ,记 ,则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题(本题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分)
7. (多选)下列结论恒为零向量的是( )
A. B.
C. D.
8. (多选) 已知 为非零向量,则下列命题中正确的是 ( )
A. 若 ,则 与 方向相同
B. 若 ,则 与 方向相反
C. 若 ,则 与 模相等
D. 若 ,则 与 方向相同
三、填空题(本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分)
9. 幂函数 的图象过点 ,则函数 恒过定点_____.
10. 给出下列命题:
① 若 ，则 或 ；
②向量的模一定是正数；
③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
④ 向量 与 是共线向量，则 四点必在同一直线上.
其中正确命题的序号是_____.
四、解答题(共 58 分)
11. 已知集合 .
(1)当 时，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
12. 已知函数 .
(1)若不等式 的解集为 ，求不等式 的解集；
(2)若函数 在区间 上有两个不同的零点，求实数 的取值范围.
13. 某校举办了校园诗词大赛，学生的比赛成绩均在 内(单位:分)，随机抽取了 100 名学生的成绩,整理后按照 分成五组,并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)若规定成绩较高的前 10% 的学生获奖，请求出 的值并估计获奖学生的最低分数线；
(2)现从样本成绩在 与 两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取 5 人，再从这 5 人中随机选取 2 人，求这 2 人中恰有 1 人的成绩落在 内的概率；
(3)已知样本数据落在 ，方差是6，落在 ，方差是 3，求这两组数据合并后的平均数 和总方差 .
14. 已知函数 .
(1)判断函数 的奇偶性,并证明;
( 2 )求不等式 的解集；
(3)函数 ，若存在 ， ，使得 成立，求实数 的取值范围;
1. C
要使函数 有意义,应满足
所以函数的定义域为 ,
故选:
2. B
因为 ,
所以 的长度为 的模的 2 倍.
又 ,
所以向量 的长度为 .
故选: B
3. C
对于 ,故 正确;
对于 是单位向量,则 ,故 正确;
对于 ,若 有方向不能比较大小,故 错误;
对于 ,两个相同的向量长度相等,方向相同,故 正确.
故选: C.
4. C
由题意可知: 基本事件的总数为 64 ,
只有一面涂漆的有 个,
有两面涂漆的有 个,
有三面涂漆的有 8 个,
所以至少有一面涂漆包含的基本事件的个数为 个,
所以从中任取一块,则这 1 块至少有一面涂漆的概率为 ,
故选: C.
5. D
当 时,举反例,取 ,则 ,此时 ,不满足 因此充分性不成立.
当 时,取 ,则 ,不满足 因此必要性不成立.
综上, 是 的既不充分也不必要条件.
故选: D
6. C
因为 ,所以 ,
因为 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
因为当 时, 在 上单调递减, ,
所以 ,
故选: C.
7. BD
，故 A 错误；
,故 B 正确;
，故 C 错误；
，故 D 正确.
故选: BD
8. ABD
如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当 不共线时, 根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有 . 当 同向时有 ,所以 正确, 错误. 当 反向时有 ,所以 正确.
故选: ABD.
9.
幂函数 的图象过点 ,则 ,解之得 ,
则函数 ,
令 ,则 ,则 ,
则函数 恒过定点 .
故答案为:
10. ③
① 错误. 由 仅说明 与 模相等,但不能说明它们方向的关系.
②错误. 的模为零.
③正确. 对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的.
④ 错误. 共线向量即平行向量,只要方向相同或相反即可,并不要求两个向量 必须在同一直线上.
故答案为:③
11. (1) 解: 当 时, ,
所以 ;
(2)由 ，得 ，
当 时， ，解得 成立；
当 时, ,且 ,解得 ,
此时 ,
所以实数 的取值范围是 .
12. (1) ；(2)
( 1 )因为不等式 的解集为 ,
则方程 的两个根为 1 和 2,
由根与系数的关系可得, ,
所以 .
由 ,得 ,
即 ,解得 或 ,
所以不等式 的解集为 ;
(2)由题知函数 ，且 在区间 上有两个不同的零点，
则 ,即 ,
解得 ,
所以实数 的取值范围是 .
13. (1) 分
(2)
(3)78,9.4
(1)由频率分布直方图易知， ，解得 ， 由图知, 的频率为 0.04 . 的频率为 ,
所以获奖学生最低分数线落在 内,不妨设为 ,
则 ,解得 ,
所以估计获奖学生的最低分数线为 84 分.
(2)由图可知， 与 的频率之比是线 ，
根据分层随机抽样的方法可知，在 内抽取 4 人，记为 ，在 内抽取 1 人，记为 ，
从这 5 人中选取 2 人，则该试验的样本空间为:
,则 ,
记事件 "这 2 人中恰有 1 人的成绩落在 内",
则 ,则 ,
由古典概型概率公式,可得 .
(3)样本数据在 内的人数为 ，在 内的人数为 ， 所以 ,
14.(1) 函数 为奇函数.
证明: 由真数 ,解得 ,所以函数 的定义域为 ,定义域关于原点对称.
又 ,
所以函数 为奇函数;
(2)设 ，则 ， ，
则 ,
即 ,所以函数 在区间 上单调递减.
由 可得, ,
所以 ,即 ,所以 ,解得 .
故不等式的解集为 .
(3)由(2)知，函数 在区间 上单调递减，
所以当 时， 的值域为 .
由题意知, 与 在 时的值域一定存在交集.
当 时， 在 上单调递增，值域为 ，
此时 与 的值域不存在交集;
当 时, 在 上单调递减,值域为 ,
若 与 的值域存在交集,则 ,即 .
综上,实数 的取值范围为 .