山东菏泽市单县第一中学2026届高三第二学期一模综合测试数学试题（含答案）

2025—2026 高三第二学期一模综合测试数学试题
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 若集合 ，则 ()
A. B.
C. D.
2. 已知复数 ，设 在复平面内对应的向量分别为 ，则 ()
A. B. 3 C. 5 D.
3. 已知双曲线 的左、右顶点分别为 ，点 是 上异于 的一点,若直线 的斜率之积为 的离心率的 倍,则 的渐近线方程为 ( )
A. B. C. D.
4. 某智慧交通管理平台为优化城市主干道通行效率, 实时监测并记录各路口信号灯的运行模式. 每个时段 (例如早、晚高峰或特定监控周期) 的运行模式对应一个代码 (如下表):
运行模式 代码
绿波协调 0
红灯截流控制 1
区域协调 - 1
现按时间顺序记录某路口 5 个时段的运行模式,如编码 表示 5 个时段中第 1,3 时段是“绿波协调”运行模式，则该路口某天这 5 个时段的运行模式中出现绿波协调不少于 3 个的所有可能种数为( )
A. 40 B. 51 C. 131 D. 210
5. 已知空间中三条直线 与平面 分别交于不同的三点 ,则 “ 三点共线” 是“直线 共面”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
条件
6. 若函数 是定义在 上的奇函数,则不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
7. 如图，在一个底面边长为 4，侧棱长为 的正四棱锥 中，大球 内切于该四棱锥,小球 与大球 及四棱锥的四个侧面相切,则小球 的体积为 ( ).
A. B. C. D.
8. 若过 可作曲线 的三条切线,切点的横坐标分别为 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.
9. 下列结论正确的是( )
A. 若随机变量 ,且 ,则
B. 在回归分析中, 残差图中残差比较均匀地分布在以取值为 0 的横轴为对称轴的水平带状区域内, 且宽度越窄表示拟合效果越好
C. 对 两个变量进行相关性检验,得到相关系数为 -0.8728,对 两个变量进行相关性检验,得到相关系数为 0.8278,则 与 负相关, 与 正相关,其中 与 的相关性更强
D. 一组数1,2,2,2,3,3,3,4,5,6的第 80 百分位数为 4.5
10. 如图,已知正方体 的棱长为 2,点 是侧面 上的一个动点 (含边界),且 分别是棱 的中点,则( )
A. 平面 截该正方体所得的截面图形是正五边形
B. 平面 平面
C. 若 ,则 的最小值为
D. 若 ，则点 的轨迹长度为
11. 如图,曲线 下有一系列正三角形,设第 个正三角形 为坐标原点) 的边长为 ,数列 的前 项的和为 ,则 ( )
A.
B. 数列 是等差数列
C. 数列 的前 项的和为
D. 若 ,且 ,则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 设某死亡生物经过 年后,其机体内碳 14 所剩的质量 ( 为碳 14 的初始质量). 当该死亡生物经过 11460 年，其机体内碳 14 所剩质量与原有质量的比值为_____；当其机体内碳 14 所剩质量与原有质量的比值为 ，则 _____.
13. 若函数 的最大值为 2,一个零点为 ,则 _____;
14. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中, 揭示了规律性, 是一种科学的真实美. 在平面直角坐标系中,曲线 就是一条形状优美的曲线,若 是曲线 上任意一点, 的最小值为_____.
四、解答题
15. 在钝角三角形 中,内角 所对的边分别为 , .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 的面积 ，求 的值.
16. 已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若存在 ，对任意 ， 恒成立，求实数 的最大值.
17. 如图,在三棱柱 中，四边形 是正方形， ， ,点 为 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. 某人工智能实验室测试一款新型深度强化学习智能体, 每次测试中, 智能体会随机接受 类或 类任务,每次测试相互独立. 已知每类任务出现的概率均为 ,且智能体成功完成
类任务的概率为 类任务的概率为 . 记成功完成 类任务得 1 分, 类任务得 2 分,不成功均得 0 分.
(1)求智能体经过 1 次测试后得 2 分的概率；
(2)记智能体经过 次测试后的总得分为 .
(i) 若 ,求在 的条件下,第 1 次测试得 1 分的概率;
(ii) 求 .
附:若 为随机变量,则 .
19. 已知椭圆 的离心率为 ,点 在 上.
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 ， 两点.
(i) 求证: 以 为直径的圆过定点;
(ii) 当直线 的斜率存在时,记 的外接圆和内切圆的半径分别为 ,且 ,求直线 的斜率.
1. C
易知 ,因为 ,所以
由集合中元素的互异性可得 .
故选: C.
2. B
复数 ,则 ,
所以 ,
故 .
故选: B
3. B
由题知 ,设 ,
点 是 上异于 的一点,故 ,即
因为 ,
所以 ,
因为直线 的斜率之积为 的离心率的 倍,离心率 ,
所以 ,
令 ,则 ,
即 ,解得 或 (舍),故 ,即 ,
所以 的渐近线方程为 .
故选: B
4. B
出现绿波协调 3 个的可能种数有: ;
出现绿波协调 4 个的可能种数有: ;
出现绿波协调 5 个的可能种数有: ;
则出现绿波协调不少于 3 个的所有可能种数为 .
故选: B
5. B
如图所示,空间中三条直线 与平面 分别交于不同的三点 ,
且 三点共线,但直线 不共面,
所以“ 三点共线”是“直线 共面”的不充分条件;
若直线 共面,设其为 ,则 均在平面 内,也在平面 内,
则 在平面 与 的交线上,所以 三点共线,
所以“ 三点共线”是“直线 共面”的必要条件;
所以“ 三点共线”是“直线 共面”的必要不充分条件.
故选: B.
6. A
因为 是定义在 上的奇函数,
所以 ,解得 ,所以 ,
令 ,则 ,
因为 ,所以 ,所以 恒成立,
即 在 上单调递增,又 是增函数,所以 在 上单调递增.
因为 ,所以 .
又 是增函数,所以 ,解得 .
故选: A.
7. A
正四棱锥的底面边长为 4,侧棱长为 ,所以斜高为 ,高为 ,
设底面中心为 的中点为 ,如图,截面 中,设 为球 与平面 的切点, 则 在 上,且 .
设球 的半径为 ,则 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,即 .
设球 与球 相切于点 ,则 ,设球 的半径为 ,
同理可得 ,所以 ,故小球 的体积为 .
故选: A
8. B
设切点坐标为 ,曲线 的切线方程为 , 代入 ，得 ，该方程有三个不同的解 .
令 ,
令 ,则 或 ,
当 和 时, ,当 时, ,知 的增区间为 ,减区间为 ,
所以函数在 和 处分别取得极大值和极小值,要想函数 有三个不同零点, 则 满足题意.
此时 ,
对比可得 ,
故选: B .
9. ABD
由题意得 ,
则 ,故选项 正确； :在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，
表明数据越集中, 模型的拟合效果越好, 故选项 B 正确;
,且 ,
与 负相关, 与 正相关,且 与 的相关性更强,故选项 错误.
对于 D, ,所以一组数1,2,2,2,3,3,3,4,5,6的第 80 百分位数为第 8 个数字和第 9 个数字的平均值,即 正确;
故选: ABD.
10. BD
对 : 作出过 的截面如下图:
延长 和 的延长线交于点 ,延长 和 交于点 ,
因为 为 中点,所以 为 中点,同理 为 中点.
则 ，即 为 的中位线，
连接 ,则 过点 ,连接 ,则四边形 为过点 的截面,
所以平面 截该正方体所得的截面是四边形,故 错误;
对 B: 连接 ,如下图:
因为 为正方体， 分别为 中点，所以 .
又 , , 平面 ,所以 平面 .
所以 平面 ,又 平面 ,所以平面 平面 . 故 B 正确;
对 : 当 时, ,所以点 在线段 上,
所以 时取等号; 时取等号.
所以 恒成立,而 ,
所以 的最小值为不可能为 ，故 C 错误；
对 D: 因为 ,所以 ,
所以 点轨迹是以 为圆心,1 为半径的圆周的 .
所以 点轨迹长度为: ,故 正确.
故选: BD
11. ABD
对于 ,由题意可知 为等边三角形,如图, ,则 , 所以 ,解得: ,
同理 ,可得 ,解得 (负值舍去),故 A 正确; 对于 ,由 为 的前 项和,由图形可得 为 ,即,
由 在曲线上,可得 ,即得 ,
当 时,由 ,可得 ,
两式相减可得 ,
化为 ,由 ,可得 ,而 ,
所以数列 是首项和公差均为 的等差数列,所以 ,故 正确;
对于 ,由于 ,则 ,
则 ,
所以 ,故 C 不正确;
对于 ,因为
由 ,根据均值不等式:
,
所以 ,故 正确;
故选: ABD
12.
已知公式 ,当 时,将其代入公式可得:
,所以 .
已知 ,即 ,两边同时除以 可得 .
因为 ,所以 .
根据指数的性质,可得 ,解得 .
故答案为: .
13.
由题意得: ,
,解得: ,
所以 ,
则 .
故答案为:
14.
曲线 ,
当 时,曲线 的方程可化为 ,
当 时,曲线 的方程可化为 ,
当 时,曲线 的方程可化为 ,
当 时,曲线 的方程可化为 ,
作出曲线如图:
到直线 的距离 ,
则 即为 ,要求得 的最小值,结合曲线的对称性,
只需考虑 时的情况；
当 时,曲线 的方程为 ,
曲线为圆心为 ,半径为 的圆的一部分,
而 到直线 的距离为 ,
由圆的性质得曲线 上一点到直线 的距离最小为 ,
故 的最小值为 .
故答案为: .
15. ;
(2) .
( 1 ) ，
,即 ,
钝角三角形 中,所以 ,
,由正弦定理知, ,
,
故 的值为 .
(2)由(1)可知 ，
,
,
,
或 ,
当 时， ，则 ；
当 时, ,
此时 ,所以 ,则 ,不合题意.
综上, 的值为 .
16. (1) 单调递减区间为 ,单调递增区间为
(2)-2
(1) 由题意可知 ,
令 ,得
令 ,得 ,令 ,得 ,
所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ;
(2)令 ，可得 ，
令 ,因为 ,所以 ,
所以 在 单调递减,
要使得对任意的 恒成立,
所以 ,即 ,
因为存在实数 ,使得 成立,
所以 ,即 ,
所以 的最大值为 -2 .
17. (1)设 ,连接 ,
易知四边形 是平行四边形,故 为 的中点,又 为 的中点,
因此 .
又 平面 且 平面 ,
故 平面 .
(2)
因为 ,故四边形 是菱形,又 ,
所以 为等边三角形,故 ，
又 ，
故 ,故 .
又因为 且 ，
故 平面 .
取 为 的中点,连接 ,则 ,
因此 两两垂直，
以点 为坐标原点,分别以 所在直线为 轴建立如图空间直角坐标系.
设平面 的一个法向量为 ,
由 ,即 ,
令 ,此时 ;
设平面 的一个法向量为 ,由 ,即 ,
令 ,此时 .
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18.
(2) (i) (ii)
(1) 记“智能体经过 1 次测试后得 2 分”为事件 ,由题意得 ;
(2)(i)记“智能体 2 次测试总得分至少为 3 分”为事件 ，“第一次测试得 1 分”为事件 ,
智能体接受并成功完成 类任务的概率为 ,
所以智能体 2 次测试总得分为 3 分的概率为 ,
2 次测试总得分为 4 分的概率为 ,
所以 ,
所以 ;
(ii) 设第 次的得分为 ,则 的可能取值为0,1,2,
所以 ,
所以 .
19.(1)由题意得 ，解得 ，所以 的方程为 .
(2)(i)因为椭圆关于 轴对称，过点 的任意一条直线均有一条直线与之关于 轴对称， 所以以 为直径的任意一个圆都存在另一个圆与之关于 轴对称,
所以 为直径的圆过定点,则由对称性可知该定点必在 轴上,设为点 ,
若直线 的斜率存在,设其方程为 ,点 ,
联立 ，消去 化简可得 ，
所以 ,
由 得 ,
,
即 ,即 ,
所以 ,故以 为直径的圆过
若直线 斜率不存在,以 为直径的圆显然过 ,
综上,以 为直径的圆过定点 ;
(ii) 由 (i) 知, ,所以 ,
因为 ,所以 ,
即 ,也即 ,
所以 ,取线段 中点为 ,则 ,
因为 ,所以点 的坐标为 ,
当 时, ,符合题意,
当 时, ,则 ,解得 .
综上, 或 ,即直线 的斜率为 0 或 .