山东青岛第五十八中学2026届高三第二次模拟考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 山东青岛第五十八中学2026届高三第二次模拟考试数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 96.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-24 00:00:00 | ||
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文档简介
绝密★启用前
2026 年青岛五十八中高三第二次模拟考试 数学
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写 在答题卡上, 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知向量 满足 ，则 ( )
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
3. 已知复数 满足 ( 为虚数单位),则 ( )
A. B. C. 2 D.
4. 设 ，则 ( )
A. B. C. D.
5. 在等比数列 中， ， ，则 ( )
A. -24 B. -8 C. 8 D. 24
6. 设函数 的定义域为 ,且 是奇函数, 是偶函数,则下列结论中正确的是( )
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是奇函数 D. 是奇函数
7. 已知双曲线 的右焦点为 ,若双曲线 的离心率为 , 则双曲线 的渐近线与圆 的位置关系是
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不确定
8. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究. 设 为整数,若 和 被 除得的余数相同,则称 和 对模 同余,记为 . 若 ,则 的值可以是( )
A. 2018 B. 2020 C. 2022 D. 2024
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”。为备战 2024 年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为:9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的( )
A. 众数为 12 B. 平均数为 14 C. 中位数为 14.5 D. 第 85 百分位数为
16
10. 已知函数 ,则 ( )
A. 为周期函数
B. 存在 ,使得 的图象关于 对称
C. 在区间 上单调递减
D. 的最大值为 2
11. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，上下顶点分别为 ，左顶点为 是椭圆上除顶点外的关于原点对称的两点, 则下列四点可能共圆的是 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 的展开式中 的系数是_____.
13. 已知 为坐标原点,点 为椭圆 的右焦点,点 在 上, 的中点为 ，则 的离心率为_____.
14. 已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上， ， 是边长为2 正三角形， 分别是 的中点， ，则球 的体积为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 如图，在直三棱柱 中， ， 为 的中点， .
(1)证明: .
(2)求二面角 的余弦值.
16. 的内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的面积.
17. 已知函数 .
(1)若 ，求 在 上的极大值；
( 2 )若函数 ，讨论函数 在 上零点的个数.
18. 设 为坐标原点,抛物线 与 的焦点分别为 为线段 的中点. 点 在 上 在第一象限 ,点 在 上, .
(1)求曲线 的方程；
(2)设直线 的方程为 ，求直线 的斜率；
(3)若直线 与 的斜率之积为 -2，求四边形 面积的最小值.
19. 有 张编号分别为 1 到 的卡片,横向随机排列.对于这 张卡片,初始状态下卡片标号从左到右为 ,记此时的卡片排列为 . 对这 张卡片的排列进行如下三步操作: 1.取出最左边的卡片，记其标号为 ；2.剩余卡片中，标号小于 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 (若不存在则为空),标号大于 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 (若不存在则为空)；3. 对这 张卡片重新排列,得到新排列: . 每进行完上述三步操作, 称为一次“完整操作”.
(1)若初始排列为 ，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列；
(2)求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到 的顺序排列的概率；
(3)记初始排列中有 个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到 的顺序排列,当 时,证明: .
1. D
由 ,
故选: D.
2. B
向量 满足 ,
所以 .
故选: B
3. D
由 ,则 .
故选: D
4. D
,
.
故选: D.
5. A
设等比数列 的公比为 ,
因为 ,
所以 ,解得 .
6. C
易知选项 ABCD 中的函数定义域即为 R ;
因为 是奇函数, 是偶函数,所以 ,
对于 ,故 是奇函数,即 错误;
对于 ,故 是偶函数,即 错误;
对于 ,故 是奇函数,即 正确;
对于 ,故 是偶函数,即 错误; 故选: C.
7. B
据题意,双曲线的离心率为 ,即 ,可得 .
又因为 ,所以 ,所以双曲线 的渐近线方程为 .
圆 的圆心为 ,半径为 .
点 到渐近线的距离 .
又因为 ,所以双曲线 的渐近线与圆 相交. 故选 B.
8. D
,
所以 除以 9 的余数是 8,
选项中只有 2024 除以 9 余 8 .
故选: D
9. BC
成绩从小到大排列为:8,9,12,12,13,16,16,16,18,20.
A: 出现次数最多的数为 16 , 故 A 错误;
B: 平均数 ,故 B 正确;
C: 中位数为: ,故 C 正确;
D: 第 85 百分位数为第 ,即第 9 位,为 18,故 D 错误;
故选: BC.
10.
由于 ,故 , 所以 为 的周期, 正确;
函数 的定义域为 ,定义域关于原点对称,
所以 为奇函数,
假设 图象关于 对称,则函数 为偶函数,
所以 ,故 ,
所以 ,又 ,所以 为函数 的对称轴,
所以 ,
但 ,
所以 ,矛盾,所以 图象不关于 对称, B 错误;
因为 ,化简整理得 ,
当 时, ,
函数 的图象为开口向上,对称轴为 的抛物线,
若 ,则 ,
所以当 时, ,
故 在区间 上单调递减, 正确;
因为 ,当且仅当 时取等号,
但当 ,即 时, ,所以 不正确.
故选: AC.
11. ACD
由椭圆 ,可得 ,则 ,
对于 ,由 ,则以 为直径的圆与椭圆有 4 个交点,所以 正确;
对于 ,以 为直径的圆与椭圆仅有两个交点,所以 错误;
对于 ,设圆的方程为 ,
将 代入得 ,解得 ,
则圆的方程为 ,
设 ,则 ,则 ,
两式相加,可得 ,两式相减,可得 ,
联立方程组,可得 ,
又因为 ,联立可得 ,则 ,
将其代入 ，可得 ，
即 ,此时方程有解,所以 正确;
对于 ,设直线 的斜率为 ,则直线 的方程为 ,
因为 关于原点对称,则 中垂线的方程为 ,
因为 ,可得线段 中垂线的方程为 ,
联立方程组 ,可得 ,可得 ,
因为 关于原点对称,不等式 ,则 ,
联立方程组 ,可得 ,即圆心 ,
若 ,即 ,
可得 ,即 ,
即 ,即 ,所以 ,解得 ,
所以当 的斜率为 ,可得 ,
此时 四点共圆,所以 正确.
故选: ACD.
12. 10
的展开式的通项公式为 ,
的展开式的通项公式为 ,
令 ,则 的展开式中 的系数为 ,
的展开式中 的系数为 ,
故 的展开式中 的系数为 10,
故答案为: 10 .
13.
由椭圆的对称性可知, 垂直于 轴,
又 ,所以 ,
所以 为等腰直角三角形，故 ，
所以 ,即 ,
所以 ,整理得 ,
解得 或 (舍去),
故 . 故答案为:
14.
在 中，设 ， ， ， ， ，
因为点 ,点 分别是 的中点,所以 ,
在 中， ，在 中， ，
整理得 ,
因为 是边长为 2 的正三角形，所以 ，
又因为 ，所以 ，由 ，解得 ，
所以 .
又因为 是边长为 2 的正三角形,所以 ,所以 ,
所以 两两垂直,
则球 为以 为棱的正方体的外接球,
则外接球直径为 ,
所以球 的体积为 ,
故答案为 .
15.(1)在直三棱柱 中， 平面 平面 ，
所以 ,
又由题可知, ,
平面
且 ,
所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 .
(2)以 为坐标原点， 分别为 轴建系如图，
由 ,可得 ,
则有 ,
设平面 的一个方向量为 ,
所以 ,即 ,令 ,则 ,
所以 ,
因为 平面 ,所以 为平面 的一个法向量,
所以， ，
即二面角 的余弦值等于 .
16.
(2)2
(1)在 中有 .
即 .
因为 ,由正弦定理可得 ,即 .
同理 ,
由正弦定理可得 ,即 .
在 中有 .
解得 .
由 ,得: .
(2) 面积 ，代入 ，整理得: .
由 (1) 知 ,即 .
中,由正弦定理可得 ,即 .
所以 .
17. (1) 当 时, ,
则 ,
令 ,得 或 或 ,
因此,当 变化时, 的变化情况如下表所示: 所以当 时, 有极大值,极大值为 .
- 0 + 0 - 0 +
单调递减 单调递增 单调递减 单调递增
(2)
当 时,由 ,得 或 ,
其中 ,则 ,
当 或 时,方程 无解,此时函数 只有一个零点 ,
当 时,方程 只有一解为 ,此时函数 只有一个零点,
当 时,方程 有两个不同的解且均不等于 ,此时函数 有三个零点,
当 时,方程 有一解且不等于 ,此时函数 有两个零点.
综上,当 或 时,函数 只有一个零点,
当 时,函数 有三个零点,
当 时,函数 有两个零点.
18.
(2)1
(3)3√2
(1) 抛物线 的焦点为 ,
由 为线段 的中点,可得 ,
所以曲线 的方程为 ;
(2)设 ， 联立 ,消去 整理得 ,解得 , 则 ,
因为 ,则 ,
因为 ,则 ,所以 ,
所以 ,即 ,直线 的斜率为 ;
(3)因为 ， 所以 ,
因为 ,所以
因为 ,
所以 ,
由 代入①得 ,
由 得 ,
因为 ,所以 ,所以 ,同理 ,
所以 且 ,
所以 ,因为 ,所以 ,
所以 ,得 ,即 ,
设 ,联立 消去 ,得 ,
所以 ,所以 ,则 ,所以 过定点 ,
则 ,
当且仅当 ,即 时取等号,所以 , 所以四边形 面积的最小值为 .
19. (1)第一次完整操作:
初始排列为 ,最左边的卡片标号 ,
可得标号小于 的卡片 ,
标号大于 的卡片
重新排列得到新排列 ,
第二次完整操作:
最左边的卡片标号 ,
可得标号小于 的卡片 ,
标号大于 的卡片 ,
重新排列得到新排列 .
连续经过两次完整操作后得到的新排列 .
(2)要使初始排列经过一次完整操作后恰好能得到 的顺序排列，必须满足:
,即原排列中小于 的 个元素已经是递增顺序;
,即原排列中大于 的 个元素已经是递增顺序;
首元素为 时,剩余 个位置由已经各自内部有序的 和 穿插而成,
确定 中元素的位置可确定整个排列,共有 种排法,
又因为 可以取遍 中的任意整数,
所以满足条件的初始排列总数为 .
又因为 个元素的全排列总数为 ,
所以初始排列经过一次完整操作后恰好能得到 的顺序排列的概率 .
(3)考虑初始排列 经过连续若干次完整操作后能得到 的顺序排列,
对于 张卡片的情况,我们可以将其分为两种情况来考虑:
情况一:初始排列中 在最左边，
此时，去掉 后，剩下的 张卡片的排列经过连续若干次完整操作后能得到
的顺序排列,这样的排列种数为 种,
情况二: 初始排列中 不在最左边,
设 在第 个位置 ,那么前 个位置的卡片经过连续若干次完整操作后能得到 的顺序排列,后 个位置的卡片经过连续若干次完整操作后能得到 的顺序排列,
对于前 个位置的卡片,其排列种数为 种; 对于后 个位置的卡片,其排列种数为 种,
因为 可以取 2 到 这 个值,所以这种情况下的排列种数为 种, 由上述分析可知,
因为 (当且仅当 时取等号),
所以
因此,当 时, 得证
2026 年青岛五十八中高三第二次模拟考试 数学
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写 在答题卡上, 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知向量 满足 ，则 ( )
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
3. 已知复数 满足 ( 为虚数单位),则 ( )
A. B. C. 2 D.
4. 设 ，则 ( )
A. B. C. D.
5. 在等比数列 中， ， ，则 ( )
A. -24 B. -8 C. 8 D. 24
6. 设函数 的定义域为 ,且 是奇函数, 是偶函数,则下列结论中正确的是( )
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是奇函数 D. 是奇函数
7. 已知双曲线 的右焦点为 ,若双曲线 的离心率为 , 则双曲线 的渐近线与圆 的位置关系是
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不确定
8. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究. 设 为整数,若 和 被 除得的余数相同,则称 和 对模 同余,记为 . 若 ,则 的值可以是( )
A. 2018 B. 2020 C. 2022 D. 2024
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”。为备战 2024 年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为:9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的( )
A. 众数为 12 B. 平均数为 14 C. 中位数为 14.5 D. 第 85 百分位数为
16
10. 已知函数 ,则 ( )
A. 为周期函数
B. 存在 ,使得 的图象关于 对称
C. 在区间 上单调递减
D. 的最大值为 2
11. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，上下顶点分别为 ，左顶点为 是椭圆上除顶点外的关于原点对称的两点, 则下列四点可能共圆的是 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 的展开式中 的系数是_____.
13. 已知 为坐标原点,点 为椭圆 的右焦点,点 在 上, 的中点为 ，则 的离心率为_____.
14. 已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上， ， 是边长为2 正三角形， 分别是 的中点， ，则球 的体积为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 如图，在直三棱柱 中， ， 为 的中点， .
(1)证明: .
(2)求二面角 的余弦值.
16. 的内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的面积.
17. 已知函数 .
(1)若 ，求 在 上的极大值；
( 2 )若函数 ，讨论函数 在 上零点的个数.
18. 设 为坐标原点,抛物线 与 的焦点分别为 为线段 的中点. 点 在 上 在第一象限 ,点 在 上, .
(1)求曲线 的方程；
(2)设直线 的方程为 ，求直线 的斜率；
(3)若直线 与 的斜率之积为 -2，求四边形 面积的最小值.
19. 有 张编号分别为 1 到 的卡片,横向随机排列.对于这 张卡片,初始状态下卡片标号从左到右为 ,记此时的卡片排列为 . 对这 张卡片的排列进行如下三步操作: 1.取出最左边的卡片，记其标号为 ；2.剩余卡片中，标号小于 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 (若不存在则为空),标号大于 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 (若不存在则为空)；3. 对这 张卡片重新排列,得到新排列: . 每进行完上述三步操作, 称为一次“完整操作”.
(1)若初始排列为 ，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列；
(2)求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到 的顺序排列的概率；
(3)记初始排列中有 个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到 的顺序排列,当 时,证明: .
1. D
由 ,
故选: D.
2. B
向量 满足 ,
所以 .
故选: B
3. D
由 ,则 .
故选: D
4. D
,
.
故选: D.
5. A
设等比数列 的公比为 ,
因为 ,
所以 ,解得 .
6. C
易知选项 ABCD 中的函数定义域即为 R ;
因为 是奇函数, 是偶函数,所以 ,
对于 ,故 是奇函数,即 错误;
对于 ,故 是偶函数,即 错误;
对于 ,故 是奇函数,即 正确;
对于 ,故 是偶函数,即 错误; 故选: C.
7. B
据题意,双曲线的离心率为 ,即 ,可得 .
又因为 ,所以 ,所以双曲线 的渐近线方程为 .
圆 的圆心为 ,半径为 .
点 到渐近线的距离 .
又因为 ,所以双曲线 的渐近线与圆 相交. 故选 B.
8. D
,
所以 除以 9 的余数是 8,
选项中只有 2024 除以 9 余 8 .
故选: D
9. BC
成绩从小到大排列为:8,9,12,12,13,16,16,16,18,20.
A: 出现次数最多的数为 16 , 故 A 错误;
B: 平均数 ,故 B 正确;
C: 中位数为: ,故 C 正确;
D: 第 85 百分位数为第 ,即第 9 位,为 18,故 D 错误;
故选: BC.
10.
由于 ,故 , 所以 为 的周期, 正确;
函数 的定义域为 ,定义域关于原点对称,
所以 为奇函数,
假设 图象关于 对称,则函数 为偶函数,
所以 ,故 ,
所以 ,又 ,所以 为函数 的对称轴,
所以 ,
但 ,
所以 ,矛盾,所以 图象不关于 对称, B 错误;
因为 ,化简整理得 ,
当 时, ,
函数 的图象为开口向上,对称轴为 的抛物线,
若 ,则 ,
所以当 时, ,
故 在区间 上单调递减, 正确;
因为 ,当且仅当 时取等号,
但当 ,即 时, ,所以 不正确.
故选: AC.
11. ACD
由椭圆 ,可得 ,则 ,
对于 ,由 ,则以 为直径的圆与椭圆有 4 个交点,所以 正确;
对于 ,以 为直径的圆与椭圆仅有两个交点,所以 错误;
对于 ,设圆的方程为 ,
将 代入得 ,解得 ,
则圆的方程为 ,
设 ,则 ,则 ,
两式相加,可得 ,两式相减,可得 ,
联立方程组,可得 ,
又因为 ,联立可得 ,则 ,
将其代入 ，可得 ，
即 ,此时方程有解,所以 正确;
对于 ,设直线 的斜率为 ,则直线 的方程为 ,
因为 关于原点对称,则 中垂线的方程为 ,
因为 ,可得线段 中垂线的方程为 ,
联立方程组 ,可得 ,可得 ,
因为 关于原点对称,不等式 ,则 ,
联立方程组 ,可得 ,即圆心 ,
若 ,即 ,
可得 ,即 ,
即 ,即 ,所以 ,解得 ,
所以当 的斜率为 ,可得 ,
此时 四点共圆,所以 正确.
故选: ACD.
12. 10
的展开式的通项公式为 ,
的展开式的通项公式为 ,
令 ,则 的展开式中 的系数为 ,
的展开式中 的系数为 ,
故 的展开式中 的系数为 10,
故答案为: 10 .
13.
由椭圆的对称性可知, 垂直于 轴,
又 ,所以 ,
所以 为等腰直角三角形，故 ，
所以 ,即 ,
所以 ,整理得 ,
解得 或 (舍去),
故 . 故答案为:
14.
在 中，设 ， ， ， ， ，
因为点 ,点 分别是 的中点,所以 ,
在 中， ，在 中， ，
整理得 ,
因为 是边长为 2 的正三角形，所以 ，
又因为 ，所以 ，由 ，解得 ，
所以 .
又因为 是边长为 2 的正三角形,所以 ,所以 ,
所以 两两垂直,
则球 为以 为棱的正方体的外接球,
则外接球直径为 ,
所以球 的体积为 ,
故答案为 .
15.(1)在直三棱柱 中， 平面 平面 ，
所以 ,
又由题可知, ,
平面
且 ,
所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 .
(2)以 为坐标原点， 分别为 轴建系如图，
由 ,可得 ,
则有 ,
设平面 的一个方向量为 ,
所以 ,即 ,令 ,则 ,
所以 ,
因为 平面 ,所以 为平面 的一个法向量,
所以， ，
即二面角 的余弦值等于 .
16.
(2)2
(1)在 中有 .
即 .
因为 ,由正弦定理可得 ,即 .
同理 ,
由正弦定理可得 ,即 .
在 中有 .
解得 .
由 ,得: .
(2) 面积 ，代入 ，整理得: .
由 (1) 知 ,即 .
中,由正弦定理可得 ,即 .
所以 .
17. (1) 当 时, ,
则 ,
令 ,得 或 或 ,
因此,当 变化时, 的变化情况如下表所示: 所以当 时, 有极大值,极大值为 .
- 0 + 0 - 0 +
单调递减 单调递增 单调递减 单调递增
(2)
当 时,由 ,得 或 ,
其中 ,则 ,
当 或 时,方程 无解,此时函数 只有一个零点 ,
当 时,方程 只有一解为 ,此时函数 只有一个零点,
当 时,方程 有两个不同的解且均不等于 ,此时函数 有三个零点,
当 时,方程 有一解且不等于 ,此时函数 有两个零点.
综上,当 或 时,函数 只有一个零点,
当 时,函数 有三个零点,
当 时,函数 有两个零点.
18.
(2)1
(3)3√2
(1) 抛物线 的焦点为 ,
由 为线段 的中点,可得 ,
所以曲线 的方程为 ;
(2)设 ， 联立 ,消去 整理得 ,解得 , 则 ,
因为 ,则 ,
因为 ,则 ,所以 ,
所以 ,即 ,直线 的斜率为 ;
(3)因为 ， 所以 ,
因为 ,所以
因为 ,
所以 ,
由 代入①得 ,
由 得 ,
因为 ,所以 ,所以 ,同理 ,
所以 且 ,
所以 ,因为 ,所以 ,
所以 ,得 ,即 ,
设 ,联立 消去 ,得 ,
所以 ,所以 ,则 ,所以 过定点 ,
则 ,
当且仅当 ,即 时取等号,所以 , 所以四边形 面积的最小值为 .
19. (1)第一次完整操作:
初始排列为 ,最左边的卡片标号 ,
可得标号小于 的卡片 ,
标号大于 的卡片
重新排列得到新排列 ,
第二次完整操作:
最左边的卡片标号 ,
可得标号小于 的卡片 ,
标号大于 的卡片 ,
重新排列得到新排列 .
连续经过两次完整操作后得到的新排列 .
(2)要使初始排列经过一次完整操作后恰好能得到 的顺序排列，必须满足:
,即原排列中小于 的 个元素已经是递增顺序;
,即原排列中大于 的 个元素已经是递增顺序;
首元素为 时,剩余 个位置由已经各自内部有序的 和 穿插而成,
确定 中元素的位置可确定整个排列,共有 种排法,
又因为 可以取遍 中的任意整数,
所以满足条件的初始排列总数为 .
又因为 个元素的全排列总数为 ,
所以初始排列经过一次完整操作后恰好能得到 的顺序排列的概率 .
(3)考虑初始排列 经过连续若干次完整操作后能得到 的顺序排列,
对于 张卡片的情况,我们可以将其分为两种情况来考虑:
情况一:初始排列中 在最左边，
此时，去掉 后，剩下的 张卡片的排列经过连续若干次完整操作后能得到
的顺序排列,这样的排列种数为 种,
情况二: 初始排列中 不在最左边,
设 在第 个位置 ,那么前 个位置的卡片经过连续若干次完整操作后能得到 的顺序排列,后 个位置的卡片经过连续若干次完整操作后能得到 的顺序排列,
对于前 个位置的卡片,其排列种数为 种; 对于后 个位置的卡片,其排列种数为 种,
因为 可以取 2 到 这 个值,所以这种情况下的排列种数为 种, 由上述分析可知,
因为 (当且仅当 时取等号),
所以
因此,当 时, 得证
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