山东聊城市临清市第二中学2025-2026学年第二学期高三第一次教学质量检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 山东聊城市临清市第二中学2025-2026学年第二学期高三第一次教学质量检测数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 153.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-24 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026 第二学期高三年级第一次教学质量检测数学试 题
(本试题考试时间 120 分钟，满分 150 分)
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分. 每小题给出的四个选 项中, 只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知实数集合 ，若 ，则 ()
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 已知抛物线 恰好经过圆 的圆心，则抛物线 的焦点坐标为 ( )
A. B. C. D.
3. 在等比数列 中, 是方程 的两个实数根,则 的值为 ( )
A. 2 B. -2 C. D.
4. 将 4 个不同的小球放入 4 个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为( )
A. 72 B. 78 C. 84 D. 96
5. 已知 内角 满足 ,则 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
6. 已知随机变量 ,设函数 ,则 的图象大致为 ( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知 是样本空间 中的随机事件, ,若 , 则
A. B. C. D.
8. 设椭圆 的左右焦点分别为 ,椭圆 上点 满足 ,直线 和直线 分别和椭圆 交于异于点 的点 和点 ,若 , 则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得选错的得 0 分.
9. 在二项式 的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则( )
A.
B. 展开式中没有常数项
C. 展开式所有二项式系数和为 1024
D. 展开式所有项的系数和为 256
10. 已知函数 ,则( )
A. 是 的一个周期
B. 在区间 上单调递减
C. 是偶函数
D. 若 在区间 内有两个根 ,则
11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线 就是其中之一. 设曲线 与 轴交于 两点,与 轴交于 两点,点 是 上一个动点,以下说法正确的是( )
A. 曲线 关于 轴对称
B. 曲线 恰好经过 4 个整点 (即横、纵坐标均为整数的点)
C. 面积的最大值为
D. 满足 的点 有且只有 2 个
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
12. 平面向量 满足 ，则 _____.
13. 一条直线与函数 和 的图象分别相切于点 和点 ,则 的值为_____.
14. 如图, 圆台形容器内放进半径分别为 2 和 4 的两个球, 小球与容器下底面、容器壁均相切, 大球与小球、容器壁、容器上底面均相切, 则该容器的体积为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 在 中,角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求 ；
(2)若 为边 的中点， ，求 .
16. 如图,已知 ,动圆 与 轴相切于点 ,过 两点分别作圆 的非 轴的两条切线,这两条切线的交点为 .
(1)求证: 为定值，并写出点 的轨迹方程；
(2)记点 的轨迹为 ，过点 的直线与 交于 ， 两点， 为坐标原点，且 的面积为 ，求直线 的斜率.
17. 如图,在四棱锥 中, 平面 .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若 ,且 在同一个球面上,球心为 .
(i) 为 的中点,求直线 与平面 所成角的正弦值;
(ii) 设球 的表面与线段 交于点 (异于点 ),求 的值.
18. 如图, 某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏: 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处, 小球将自由下落, 小球在下落的过程中, 将 3 次遇到黑色障碍物, 已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是 ,最后落入 袋或 袋中. 一次游戏中小球落入 袋记 1 分,落入 袋记 2 分,游戏可以重复进行. 游戏过程中累计得 ) 分的概率为 .
(1) 求 ；
(2)写出 与 之间的递推关系，并求出 的通项公式.
19. 已知函数 .
(1)求 在 处的瞬时变化率；
(2)若 恒成立，求 的值；
(3) 求证: .
1. A
因为 ,所以集合 与集合 中的元素完全相同,
已知 ,由于 在两个集合中都有,那么就有两种情况:
情况一: ,
情况二: ,
求解情况一:
由 ,可得 或 ,
当 时,集合 ,不满足集合中元素的互异性,所以舍去 ,
当 时,将 代入 ,得到 ,即 ,解得 ,
此时 ,满足 ;
求解情况二:
由 和 ,将 代入 中,得到 ,即 ,解得 ,
当 时,集合 ,不满足集合中元素的互异性,所以舍去这种情况;
所以 ,所以 .
故选: A.
2. B
由已知,圆 的圆心为 ,
因为点 在抛物线 上，
所以 ,解得 ,
所以抛物线 的方程为 ,焦点在 轴正半轴上,且 ,
所以焦点坐标为 .
故选: B
3. D
设等比数列 的公比为 ,
因为 是方程 的两个实数根,
所以 ,且 ,所以 ,
又数列 为等比数列,所以 ,由等比数列性质可得 ,
所以 .
故选: D.
4. C
第一步: 选择两个空盒子,有 种方法;
第二步:4 个不同的小球放入 2 个不同的盒子中，有两种方式，
第一种方式,两个盒子都有 2 个不同的小球,不同的方式有 种,
第二种方式, 两个盒子中一个盒子有 1 个小球, 另一个盒子有 3 个不同的小球, 所以不同的方法有 ,
所以恰有两个盒子为空的放法种数为 .
故选: C
5. A
, 所以 .
故选: A
6. B
随机变量 ,
因为 ,
因为 ,所以根据对称性可知 ,
所以函数 的图象关于 对称,故排除 AC;
当 时, ,所以排除 D.
故选: B
7. B
设 ,则 ,
而 ,则 ,
因为 ,
所以 ,解得 ,即 .
故选: B
8. D
由题设,令 ,故 ,
所以 ,故 ①,
由 ,令 ,则 ,
由 ,则 ,
所以 ,整理得 ,
由 ,则 ,
所以 ,整理得 ,
所以 ,整理得 ②,
联立①②，得 ，故 ，即 ，
所以 .
故选: D
9. BD
因为只有第 5 项的二项式系数最大,且第 5 项的二项式系数为 ,所以 错误;
因为 ,因为 ,所以展开式中没有常数项, 正确;
展开式所有二项式系数和为 错误;
令 ,可得展开式所有项的系数和为 正确.
故选: BD.
10. ACD
对于函数 ,
对于 中, ,
所以 是 的一个周期,所以 正确;
对于 中,由 ,可得 ,
根据函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,所以 不正确;
对于 中, ,为偶函数,
所以 C 正确;
对于 中, 得 ,可得 或 , 所以 或 ,
又 ,则 或 ，不妨 ，可得 ， ，
所以 ,所以 正确.
故选: ACD.
11. ABD
曲线 上的任意点 ,其关于 轴的对称点为 ,
代入曲线方程, ,即点 也在曲线上,
所以曲线 关于 轴对称,故 正确;
取 可得 ,所以 ,所以 ,
由曲线 可得 ,
所以 ,即 .
由 ,所以 .
当 ,此时 ,代入曲线 的方程成立,
所以直线 与曲线 的交点坐标为 ,
所以 点的纵坐标的绝对值的最大值为 ,
所以 面积的最大值为 ，故 C 错误；
由选项 C 可知, ,
取 ,可得 ,所以 ,
取 ,可得 ,所以直线 与曲线 交于点 ,
直线 与曲线 交于点 ,
所以曲线经过点 ,故 正确;
坐标平面内到定点 ， 的距离和为 的点的轨迹为以 ， 为焦点，长轴长为 的椭圆,
设椭圆方程为 ,由已知可得 ,又 ,
所以 ,所以椭圆方程为 ,
联立 ,所以 ,
所以 ,所以 ,所以 ,
故椭圆 与曲线 的交点为 ,
故满足 的点 有且只有 2 个,故 正确.
故选: ABD
12.
由 ,两边平方可得
,解得 ,
则 .
故答案为: .
13. -2
因为 ,所以 , 则 在点 处的切线方程为 ,即 ; 在点 处的切线方程为: ,即 , 由已知 ,由 得 ,故 , 故 ,解得 , 所以 ,因此 . 故答案为: -2 .
14.
作几何体的轴截面图如图, 分别是大球和小球的球心,
是圆台的轴截面等腰梯形 两腰 和 的延长线的交点.
分别是球 和球 与圆台侧面的切点, 分别是
与圆台上下底面的切点.
则 ,且 .
过 点作 交 于 ，显然 ，所以四边形 为矩形，
且 ,
所以在直角三角形 中, ,
由同角三角函数关系式得 .
又由 ,所以 ,所以 .
在直角三角形 中, ,得 ,所以 .
又在直角三角形 中, .
同理在直角三角形 中, .
所以圆台的上底面半径 ,下底面半径 ,高 .
所以圆台的体积 .
故答案为:
15.
(2)
(1)因为
所以 ,故 ,所以 .
(2)由于
故 ,由余弦定理又有 ,而
,故有
,
.
所以 .
16.(1) 解: 设过点 的直线与圆 相切于点 ,过点 的直线与圆 相切于点 , 由切线长相等,可得 , 则 , 又由椭圆的定义知,点 在以 为焦点的椭圆上,且 , 故点 的轨迹方程为 .
(2)由题意，直线 的斜率不为 0，设直线 ，且 ， ， 联立方程组 ,可得 , 则 , 故 ，解得 ， 所以直线 的斜率为 .
17.( 1 )证明:因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 平面 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,所以平面 平面 .
(2)(i)解法 1(坐标法):在四边形 中，因为 ，
故
又 ,所以
则 ,所以 ,结合 ,则 ,
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系,
则
平面 的一个法向量为 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
解法 2 (几何法): 在四边形 中,因为 ,
故 ;
又 ,所以
则 ,所以 ,
又因为 平面 平面 ,所以 ,
而 平面 ,
故 平面 ,而 平面 ,所以
过 作 于点 ,连接 ,
因为 平面 面 ,所以 ,
又 平面 ,则 面 ,
则 即为 与平面 所成角， ，所以 .
(ii) 由(1)知 平面 平面 ,故 ,
因为 在同一个球面上,且 为直角,
即可得 的中点到 的距离均相等,故 为外接球直径,则球心 为 的中点.
解法 1 设 ,
为外接球直径,且 在球的表面上
,
,得 ,所以, .
解法 2 设 ,
由 ,得 ,
,解得 或 ,
由于点 异于点 ,所以 舍去,
所以 ,进一步可得 .
18. .
(2) .
(1)小球 3 次碰撞全部向左偏或者全部向右偏时落入 袋中,
此概率 ,
则小球落入 袋中的概率 ,
故 .
(2)游戏过程中累计得 分可以分为两种情况:得到(n-2)分后的一次游戏中小球落入 袋中,或得到 分后的一次游戏中小球落入 袋中,
故 ,
即 ,
故 为常数列,且 ,
故 ,
即 ,得 ,
故 为等比数列,且首项为 ,公比为 ,
故 , 故 .
19.(1) ,则 ,
故 在 处的瞬时变化率为
(2)设 .
由条件可知 恒成立,
由于 ,且 的图象在定义域内是连续不间断的,
所以 是 的一个极大值点,则 ,
又 ,所以 ,解得 ,
下证当 时, 对任意的 恒成立,
令 ,则 ,
由 ,
故函数 在 单调递增,在 单调递减,
所以 ,即 ,而 ,
所以当 时, ,
综上,若 恒成立,则 ,
(3)由(2)可知 ，
所以
先证 ,
令 ,则 ,故 在 单调递增,
故 ,故 ,
所以 ,
再证 ,
设 ，
则当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
故当 ,故 ,当且仅当 时取等号,
故令 ,则 ,故 ,
因此 ,
故
,
综上可知:
(本试题考试时间 120 分钟，满分 150 分)
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分. 每小题给出的四个选 项中, 只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知实数集合 ，若 ，则 ()
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 已知抛物线 恰好经过圆 的圆心，则抛物线 的焦点坐标为 ( )
A. B. C. D.
3. 在等比数列 中, 是方程 的两个实数根,则 的值为 ( )
A. 2 B. -2 C. D.
4. 将 4 个不同的小球放入 4 个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为( )
A. 72 B. 78 C. 84 D. 96
5. 已知 内角 满足 ,则 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
6. 已知随机变量 ,设函数 ,则 的图象大致为 ( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知 是样本空间 中的随机事件, ,若 , 则
A. B. C. D.
8. 设椭圆 的左右焦点分别为 ,椭圆 上点 满足 ,直线 和直线 分别和椭圆 交于异于点 的点 和点 ,若 , 则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得选错的得 0 分.
9. 在二项式 的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则( )
A.
B. 展开式中没有常数项
C. 展开式所有二项式系数和为 1024
D. 展开式所有项的系数和为 256
10. 已知函数 ,则( )
A. 是 的一个周期
B. 在区间 上单调递减
C. 是偶函数
D. 若 在区间 内有两个根 ,则
11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线 就是其中之一. 设曲线 与 轴交于 两点,与 轴交于 两点,点 是 上一个动点,以下说法正确的是( )
A. 曲线 关于 轴对称
B. 曲线 恰好经过 4 个整点 (即横、纵坐标均为整数的点)
C. 面积的最大值为
D. 满足 的点 有且只有 2 个
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
12. 平面向量 满足 ，则 _____.
13. 一条直线与函数 和 的图象分别相切于点 和点 ,则 的值为_____.
14. 如图, 圆台形容器内放进半径分别为 2 和 4 的两个球, 小球与容器下底面、容器壁均相切, 大球与小球、容器壁、容器上底面均相切, 则该容器的体积为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 在 中,角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求 ；
(2)若 为边 的中点， ，求 .
16. 如图,已知 ,动圆 与 轴相切于点 ,过 两点分别作圆 的非 轴的两条切线,这两条切线的交点为 .
(1)求证: 为定值，并写出点 的轨迹方程；
(2)记点 的轨迹为 ，过点 的直线与 交于 ， 两点， 为坐标原点，且 的面积为 ，求直线 的斜率.
17. 如图,在四棱锥 中, 平面 .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若 ,且 在同一个球面上,球心为 .
(i) 为 的中点,求直线 与平面 所成角的正弦值;
(ii) 设球 的表面与线段 交于点 (异于点 ),求 的值.
18. 如图, 某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏: 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处, 小球将自由下落, 小球在下落的过程中, 将 3 次遇到黑色障碍物, 已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是 ,最后落入 袋或 袋中. 一次游戏中小球落入 袋记 1 分,落入 袋记 2 分,游戏可以重复进行. 游戏过程中累计得 ) 分的概率为 .
(1) 求 ；
(2)写出 与 之间的递推关系，并求出 的通项公式.
19. 已知函数 .
(1)求 在 处的瞬时变化率；
(2)若 恒成立，求 的值；
(3) 求证: .
1. A
因为 ,所以集合 与集合 中的元素完全相同,
已知 ,由于 在两个集合中都有,那么就有两种情况:
情况一: ,
情况二: ,
求解情况一:
由 ,可得 或 ,
当 时,集合 ,不满足集合中元素的互异性,所以舍去 ,
当 时,将 代入 ,得到 ,即 ,解得 ,
此时 ,满足 ;
求解情况二:
由 和 ,将 代入 中,得到 ,即 ,解得 ,
当 时,集合 ,不满足集合中元素的互异性,所以舍去这种情况;
所以 ,所以 .
故选: A.
2. B
由已知,圆 的圆心为 ,
因为点 在抛物线 上，
所以 ,解得 ,
所以抛物线 的方程为 ,焦点在 轴正半轴上,且 ,
所以焦点坐标为 .
故选: B
3. D
设等比数列 的公比为 ,
因为 是方程 的两个实数根,
所以 ,且 ,所以 ,
又数列 为等比数列,所以 ,由等比数列性质可得 ,
所以 .
故选: D.
4. C
第一步: 选择两个空盒子,有 种方法;
第二步:4 个不同的小球放入 2 个不同的盒子中，有两种方式，
第一种方式,两个盒子都有 2 个不同的小球,不同的方式有 种,
第二种方式, 两个盒子中一个盒子有 1 个小球, 另一个盒子有 3 个不同的小球, 所以不同的方法有 ,
所以恰有两个盒子为空的放法种数为 .
故选: C
5. A
, 所以 .
故选: A
6. B
随机变量 ,
因为 ,
因为 ,所以根据对称性可知 ,
所以函数 的图象关于 对称,故排除 AC;
当 时, ,所以排除 D.
故选: B
7. B
设 ,则 ,
而 ,则 ,
因为 ,
所以 ,解得 ,即 .
故选: B
8. D
由题设,令 ,故 ,
所以 ,故 ①,
由 ,令 ,则 ,
由 ,则 ,
所以 ,整理得 ,
由 ,则 ,
所以 ,整理得 ,
所以 ,整理得 ②,
联立①②，得 ，故 ，即 ，
所以 .
故选: D
9. BD
因为只有第 5 项的二项式系数最大,且第 5 项的二项式系数为 ,所以 错误;
因为 ,因为 ,所以展开式中没有常数项, 正确;
展开式所有二项式系数和为 错误;
令 ,可得展开式所有项的系数和为 正确.
故选: BD.
10. ACD
对于函数 ,
对于 中, ,
所以 是 的一个周期,所以 正确;
对于 中,由 ,可得 ,
根据函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,所以 不正确;
对于 中, ,为偶函数,
所以 C 正确;
对于 中, 得 ,可得 或 , 所以 或 ,
又 ,则 或 ，不妨 ，可得 ， ，
所以 ,所以 正确.
故选: ACD.
11. ABD
曲线 上的任意点 ,其关于 轴的对称点为 ,
代入曲线方程, ,即点 也在曲线上,
所以曲线 关于 轴对称,故 正确;
取 可得 ,所以 ,所以 ,
由曲线 可得 ,
所以 ,即 .
由 ,所以 .
当 ,此时 ,代入曲线 的方程成立,
所以直线 与曲线 的交点坐标为 ,
所以 点的纵坐标的绝对值的最大值为 ,
所以 面积的最大值为 ，故 C 错误；
由选项 C 可知, ,
取 ,可得 ,所以 ,
取 ,可得 ,所以直线 与曲线 交于点 ,
直线 与曲线 交于点 ,
所以曲线经过点 ,故 正确;
坐标平面内到定点 ， 的距离和为 的点的轨迹为以 ， 为焦点，长轴长为 的椭圆,
设椭圆方程为 ,由已知可得 ,又 ,
所以 ,所以椭圆方程为 ,
联立 ,所以 ,
所以 ,所以 ,所以 ,
故椭圆 与曲线 的交点为 ,
故满足 的点 有且只有 2 个,故 正确.
故选: ABD
12.
由 ,两边平方可得
,解得 ,
则 .
故答案为: .
13. -2
因为 ,所以 , 则 在点 处的切线方程为 ,即 ; 在点 处的切线方程为: ,即 , 由已知 ,由 得 ,故 , 故 ,解得 , 所以 ,因此 . 故答案为: -2 .
14.
作几何体的轴截面图如图, 分别是大球和小球的球心,
是圆台的轴截面等腰梯形 两腰 和 的延长线的交点.
分别是球 和球 与圆台侧面的切点, 分别是
与圆台上下底面的切点.
则 ,且 .
过 点作 交 于 ，显然 ，所以四边形 为矩形，
且 ,
所以在直角三角形 中, ,
由同角三角函数关系式得 .
又由 ,所以 ,所以 .
在直角三角形 中, ,得 ,所以 .
又在直角三角形 中, .
同理在直角三角形 中, .
所以圆台的上底面半径 ,下底面半径 ,高 .
所以圆台的体积 .
故答案为:
15.
(2)
(1)因为
所以 ,故 ,所以 .
(2)由于
故 ,由余弦定理又有 ,而
,故有
,
.
所以 .
16.(1) 解: 设过点 的直线与圆 相切于点 ,过点 的直线与圆 相切于点 , 由切线长相等,可得 , 则 , 又由椭圆的定义知,点 在以 为焦点的椭圆上,且 , 故点 的轨迹方程为 .
(2)由题意，直线 的斜率不为 0，设直线 ，且 ， ， 联立方程组 ,可得 , 则 , 故 ，解得 ， 所以直线 的斜率为 .
17.( 1 )证明:因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 平面 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,所以平面 平面 .
(2)(i)解法 1(坐标法):在四边形 中，因为 ，
故
又 ,所以
则 ,所以 ,结合 ,则 ,
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系,
则
平面 的一个法向量为 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
解法 2 (几何法): 在四边形 中,因为 ,
故 ;
又 ,所以
则 ,所以 ,
又因为 平面 平面 ,所以 ,
而 平面 ,
故 平面 ,而 平面 ,所以
过 作 于点 ,连接 ,
因为 平面 面 ,所以 ,
又 平面 ,则 面 ,
则 即为 与平面 所成角， ，所以 .
(ii) 由(1)知 平面 平面 ,故 ,
因为 在同一个球面上,且 为直角,
即可得 的中点到 的距离均相等,故 为外接球直径,则球心 为 的中点.
解法 1 设 ,
为外接球直径,且 在球的表面上
,
,得 ,所以, .
解法 2 设 ,
由 ,得 ,
,解得 或 ,
由于点 异于点 ,所以 舍去,
所以 ,进一步可得 .
18. .
(2) .
(1)小球 3 次碰撞全部向左偏或者全部向右偏时落入 袋中,
此概率 ,
则小球落入 袋中的概率 ,
故 .
(2)游戏过程中累计得 分可以分为两种情况:得到(n-2)分后的一次游戏中小球落入 袋中,或得到 分后的一次游戏中小球落入 袋中,
故 ,
即 ,
故 为常数列,且 ,
故 ,
即 ,得 ,
故 为等比数列,且首项为 ,公比为 ,
故 , 故 .
19.(1) ,则 ,
故 在 处的瞬时变化率为
(2)设 .
由条件可知 恒成立,
由于 ,且 的图象在定义域内是连续不间断的,
所以 是 的一个极大值点,则 ,
又 ,所以 ,解得 ,
下证当 时, 对任意的 恒成立,
令 ,则 ,
由 ,
故函数 在 单调递增,在 单调递减,
所以 ,即 ,而 ,
所以当 时, ,
综上,若 恒成立,则 ,
(3)由(2)可知 ，
所以
先证 ,
令 ,则 ,故 在 单调递增,
故 ,故 ,
所以 ,
再证 ,
设 ，
则当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
故当 ,故 ,当且仅当 时取等号,
故令 ,则 ,故 ,
因此 ,
故
,
综上可知:
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