山东东营市第一中学2025-2026学年高一下学期收心考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 山东东营市第一中学2025-2026学年高一下学期收心考试数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 115.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-24 00:00:00 | ||
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文档简介
东营市第一中学 2025-2026 学年高一下收心考试数学试
一、单选题: 本题共 8小题, 每题 5分, 共 40 分
1. 已知全集 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为( )
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
3. “ ”是方程 至多有一个实数解”的( )条件
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 对于两个不共线向量 ,已知 ,若 与 共线,则 的值为( )
A. B. C. D.
5. 设 ，则 的大小关系满足( )
A. B. C. D.
6. 某学校举行了“我向航天员提问”的趣味活动，现从同学们提出的问题中初选 40 个不同类型问题进行连续编号 (每个编号都由两个数字组成): ,利用随机数表法从中抽取 5 个问题回答. 若从下列随机数表第 1 行第 16 个数字 2 开始，每次从左向右选取两个数字, 则选出的第 5 个问题编号为 ( )
095036740945974280365675240440185114018393365031
221878313711710503329104853785096127511831238207
A. 04 B. 11 C. 18 D. 40
7. 已知点 为 所在平面内一点，若 ，则 ( )
A. 3 B. C. D.
8. 设函数 的零点分别为 ,则
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每题 6 分, 共 18 分
9. 已知口袋中装有除颜色外完全相同的 2 个红球和 2 个白球, 从中有放回地随机取 2 次, 每次取 1 个球.记事件 为“第一次摸到红球”， 为“第二次摸到白球”， 为“两次摸出的球颜色相同”，则下列说法正确的有( )
A. B. 与 互斥
C. D. 与 相互独立
10. 设 ,则下列结论正确的是( )
A. 函数 的最小值为 2
B. 不等式 恒成立
C. 函数 的最小值
D. 若 ,则 的最小值是
11. 如图，在菱形 中， ，延长边 至点 ，使得 . 动点 从点 出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到 点，若 ，则()
A. 满足 的点 有且只有一个
B. 满足 的点 有两个
C. 存在最小值
D. 不存在最大值
三、填空题:本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分
12. 已知事件 和 互斥，且 ， ，则 为_____.
13. 若方程 的两实根均在区间 内，求 的取值范围
14. 大连某高中高三备课组有男老师 60 人，女老师 40 人，其中男老师平均年龄为 35 岁， 方差为 6 ; 女老师平均年龄为 30 岁, 方差是 1 , 则所有高三备课组老师的平均年龄为_____, 方差为_____
四、解答题
15. 化简求值
(1) ;
(2) .
16. 一座金陵城, 半部南京史! 六朝古都南京, 不仅历史文化底蕴深厚, 而且红色文化资源密集. 基于此, 某中学积极响应, 举行了一次红色文化知识竞赛. 学校在竞赛后, 随机抽查了 100 人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求 的值，以及样本的平均数；
(2)若将频率视为概率，现在要从 和 两组中用分层抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人进行座谈,求抽取的 2 人中至少有 1 人的成绩在 这一组的概率.
17. 如图,在等腰梯形 中, 为线段 的中点, 与 交于点 为线段 上的一个动点.
(1)用基底 表示 ；
(2)求 的值；
(3)设 ，求 的取值范围.
18. 设函数 是定义 上的奇函数.
(1)求 的值；
(2)若不等式 有解，求实数 的取值范围；
(3)设 ，求 在 上的最小值，并指出取得最小值时的 的值.
19. 已知函数 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若至少存在两个不相等的正实数 ，满足 .
① 求 的取值范围，并求 在 上的最小值；
②证明: .
1. B
因为 ,
所以 或 ,
所以 ,
故选: B
2. B
函数 的定义域为 ,函数 有意义,
则有 且 ,解得 且 ,
所以函数 的定义域为 且 .
故选: B
3. A
“方程 至多有一个实数解”的充要条件为 ,即 , 又 是 的充分不必要条件,
因此 “ ” 是方程 至多有一个实数解” 的充分不必要条件.
故选: A
4. C
由题意知 .
若 与 共线,则存在实数 使得 ,
因为向量 不共线,
所以 解得 ,故 的值为 .
故选: C
5. D
因为函数 为增函数,且 ,
所以 ,故 ,
因为函数 为减函数,且 ,
所以 ,故 ,
因为函数 为增函数,且 ,
所以 ,故 ,故 .
故选: D.
6. B
由题可知依次选取符合条件的 5 个数字为:28,03,40,01,11.
所以选出的第 5 个问题编号为 11 .
故答案为:
7.
过点 作 ,
则 ,
以 为邻边作平行四边形 ,
所以 ,
可得 ,
所以 .
故选: B.
8. B
解: 由题意可得 是函数 的图像和 的图像的交点的横坐标, 是 的图像和函数 的图像的交点的横坐标,且 都是正实数,如图所示:
故有 ,故 ,
,
.
故选: B.
9. ACD
每次取红球概率为 ,取白球概率为 .
第二次取球与第一次无关，每次摸到白球的概率均为 ，因此 ，A 正确.
第一次摸到红球且第二次摸到红球, 和 可以同时发生,不互斥, B 错误.
因为 .
所以 , C 正确.
,满足 ,因此 与 相互独立, 正确.
故选: ACD.
10. BD
解: 函数 ,当且仅当 时,取等号,所以表达式没有最小值, 所以 A 不正确;
不等式 ,当且仅当 时取等号,所以命题是真命题,所以 正确.
函数 ,所以当 时,函数取得最大值 ,所以 不正确; 若 ,则 ,当且仅当 时,表达式的最小值是 ,所以 正确. 故选: BD.
11. BC
建立如图所示的平面直角坐标系,设菱形 的边长为 ,则
所以 ,
由 ,得 ,
所以 ,所以 ,
① 当点 在 上时， ，且 ，
所以 ;
② 当点 在 (不含点 )上时，则 ，所以 ，化简 ， 所以 ,
因为 ,所以 ,即 ;
③ 当点 在 (不含点 )上时， ，且 ，
所以 ,即 ,所以 ;
④ 当点 在 (不含点 、 )上时,则 ,所以 ,化简
所以 ,
因为 ,所以 ,所以 ;
对于 ,由①知,当 时, ,此时点 与点 重合;
由④可知当 时, ,此时点 在 的中点处;
其它均不可能,所以这样的点 有两个,所以 错误,
对于 ,由②知,当 时, ,此时点 在 的中点;
由③知,当 时, ,此时点 在点 处;
其它均不可能,所以这样的点 有两个,所以 正确,
对于 CD, 由①②③④可得:
当 ,即点 为点 时, 取到最小值 0 ;
当 ,即点 为点 时, 取到最大值 3,所以 正确, 错误, 故选: BC.
12.
由 得 ,
又事件 和 互斥,所以 ,
所以 .
故答案为: 0.3 .
13.
令 ,该函数的图象对称轴为 ,由题意得
故答案为: .
14. 33 岁
由题意得,该高中高三备课组老师的平均年龄为 岁, 则该高中高三备课组老师的方差
故答案为: 33 岁; 10 .
15. (1)100
(2)
(1)原式
(2)原式
.
16.
(2)
(1)因为小长方形面积和为 1 ,
所以 ,
解得 ,
则平均数为 .
(2)由图可知，成绩在 的人数与 的人数之比为2:1,
现从两组中用分层抽样的方法抽取 6 人,
所以从成绩在 的人中抽取 4 人，分别记为 ，从成绩在 的人中抽取 2 人，分别记为 ，
所有可能的情况为 ,
,共 15 种,
其中至少有 1 人的成绩在 的情况有 ,
,共 9 种,
故抽取的 2 人中至少有 1 人的成绩在 这一组的概率 .
17. (1)
(2)
(3)
(1)因为 ,
所以 .
(2)设 ，()
设 ,可得 ,
即 ,②
由①②得， ，解得
所以 ,
所以 .
(3)由题意，可设 ，
代入 中，可得 .
又 ,
故 可得 ,
因为 ,且函数 在 上单调递减,
所以 ,
因为函数 在 上单调递减,
所以 ,
所以 的取值范围为 .
18.(1)1 ;(2) ；(3)最小值为 -2，此时 .
(1) 因为 是定义域为 上的奇函数,
所以 ,所以 ,解得 ,
所以 ,
当 时, ,
所以 为奇函数,故 ;
(2) 有解，所以 有解，
所以只需 ,
因为 ,
所以 ;
(3)因为 ，所以 ，
可令 ,可得函数 在 递增,即 ,
则 ,可得函数 ,
由 为开口向上,对称轴为 的抛物线,
所以 时, 取得最小值 -2,
此时 ,解得 ,
所以 在 上的最小值为 -2,此时 .
19.(1) 由 ,则 ,解得 .
(2)① ，且 ，
已知至少存在两个不相等的正实数 ,满足 ,
故只需讨论 的情况，
在 上单调递减,在 上单调递增;
在 上单调递增,且 ,即 在 处连续,
当 时,在 上 ,显然其在 上单调递增,不符合题意;
当 时, , 在 上单调递增,
在 上单调递增, 在 处连续,
在 上单调递增,不符合题意;
当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,
此时至少存在两个不相等的正实数 ,满足 ,
的取值范围为 ,
若 ,则 在 上单调递减,最小值为 ;
若 ,则 在 上单调递减,在 上单调递增,最小值为 ;
综上, 时最小值为 时最小值为 ;
②不妨设 ，结合①分析:
有 三种情况,
当 时,由于 ,均有 ,
即 ,即 ,
又 ,故 ,则 ,
结合图知,对于 两种情况必有 , 当 时, ,则 , 结合图知,对于 两种情况必有 , 综上, ,即 ,得证.
一、单选题: 本题共 8小题, 每题 5分, 共 40 分
1. 已知全集 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为( )
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
3. “ ”是方程 至多有一个实数解”的( )条件
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 对于两个不共线向量 ,已知 ,若 与 共线,则 的值为( )
A. B. C. D.
5. 设 ，则 的大小关系满足( )
A. B. C. D.
6. 某学校举行了“我向航天员提问”的趣味活动，现从同学们提出的问题中初选 40 个不同类型问题进行连续编号 (每个编号都由两个数字组成): ,利用随机数表法从中抽取 5 个问题回答. 若从下列随机数表第 1 行第 16 个数字 2 开始，每次从左向右选取两个数字, 则选出的第 5 个问题编号为 ( )
095036740945974280365675240440185114018393365031
221878313711710503329104853785096127511831238207
A. 04 B. 11 C. 18 D. 40
7. 已知点 为 所在平面内一点，若 ，则 ( )
A. 3 B. C. D.
8. 设函数 的零点分别为 ,则
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每题 6 分, 共 18 分
9. 已知口袋中装有除颜色外完全相同的 2 个红球和 2 个白球, 从中有放回地随机取 2 次, 每次取 1 个球.记事件 为“第一次摸到红球”， 为“第二次摸到白球”， 为“两次摸出的球颜色相同”，则下列说法正确的有( )
A. B. 与 互斥
C. D. 与 相互独立
10. 设 ,则下列结论正确的是( )
A. 函数 的最小值为 2
B. 不等式 恒成立
C. 函数 的最小值
D. 若 ,则 的最小值是
11. 如图，在菱形 中， ，延长边 至点 ，使得 . 动点 从点 出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到 点，若 ，则()
A. 满足 的点 有且只有一个
B. 满足 的点 有两个
C. 存在最小值
D. 不存在最大值
三、填空题:本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分
12. 已知事件 和 互斥，且 ， ，则 为_____.
13. 若方程 的两实根均在区间 内，求 的取值范围
14. 大连某高中高三备课组有男老师 60 人，女老师 40 人，其中男老师平均年龄为 35 岁， 方差为 6 ; 女老师平均年龄为 30 岁, 方差是 1 , 则所有高三备课组老师的平均年龄为_____, 方差为_____
四、解答题
15. 化简求值
(1) ;
(2) .
16. 一座金陵城, 半部南京史! 六朝古都南京, 不仅历史文化底蕴深厚, 而且红色文化资源密集. 基于此, 某中学积极响应, 举行了一次红色文化知识竞赛. 学校在竞赛后, 随机抽查了 100 人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求 的值，以及样本的平均数；
(2)若将频率视为概率，现在要从 和 两组中用分层抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人进行座谈,求抽取的 2 人中至少有 1 人的成绩在 这一组的概率.
17. 如图,在等腰梯形 中, 为线段 的中点, 与 交于点 为线段 上的一个动点.
(1)用基底 表示 ；
(2)求 的值；
(3)设 ，求 的取值范围.
18. 设函数 是定义 上的奇函数.
(1)求 的值；
(2)若不等式 有解，求实数 的取值范围；
(3)设 ，求 在 上的最小值，并指出取得最小值时的 的值.
19. 已知函数 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若至少存在两个不相等的正实数 ，满足 .
① 求 的取值范围，并求 在 上的最小值；
②证明: .
1. B
因为 ,
所以 或 ,
所以 ,
故选: B
2. B
函数 的定义域为 ,函数 有意义,
则有 且 ,解得 且 ,
所以函数 的定义域为 且 .
故选: B
3. A
“方程 至多有一个实数解”的充要条件为 ,即 , 又 是 的充分不必要条件,
因此 “ ” 是方程 至多有一个实数解” 的充分不必要条件.
故选: A
4. C
由题意知 .
若 与 共线,则存在实数 使得 ,
因为向量 不共线,
所以 解得 ,故 的值为 .
故选: C
5. D
因为函数 为增函数,且 ,
所以 ,故 ,
因为函数 为减函数,且 ,
所以 ,故 ,
因为函数 为增函数,且 ,
所以 ,故 ,故 .
故选: D.
6. B
由题可知依次选取符合条件的 5 个数字为:28,03,40,01,11.
所以选出的第 5 个问题编号为 11 .
故答案为:
7.
过点 作 ,
则 ,
以 为邻边作平行四边形 ,
所以 ,
可得 ,
所以 .
故选: B.
8. B
解: 由题意可得 是函数 的图像和 的图像的交点的横坐标, 是 的图像和函数 的图像的交点的横坐标,且 都是正实数,如图所示:
故有 ,故 ,
,
.
故选: B.
9. ACD
每次取红球概率为 ,取白球概率为 .
第二次取球与第一次无关，每次摸到白球的概率均为 ，因此 ，A 正确.
第一次摸到红球且第二次摸到红球, 和 可以同时发生,不互斥, B 错误.
因为 .
所以 , C 正确.
,满足 ,因此 与 相互独立, 正确.
故选: ACD.
10. BD
解: 函数 ,当且仅当 时,取等号,所以表达式没有最小值, 所以 A 不正确;
不等式 ,当且仅当 时取等号,所以命题是真命题,所以 正确.
函数 ,所以当 时,函数取得最大值 ,所以 不正确; 若 ,则 ,当且仅当 时,表达式的最小值是 ,所以 正确. 故选: BD.
11. BC
建立如图所示的平面直角坐标系,设菱形 的边长为 ,则
所以 ,
由 ,得 ,
所以 ,所以 ,
① 当点 在 上时， ，且 ，
所以 ;
② 当点 在 (不含点 )上时，则 ，所以 ，化简 ， 所以 ,
因为 ,所以 ,即 ;
③ 当点 在 (不含点 )上时， ，且 ，
所以 ,即 ,所以 ;
④ 当点 在 (不含点 、 )上时,则 ,所以 ,化简
所以 ,
因为 ,所以 ,所以 ;
对于 ,由①知,当 时, ,此时点 与点 重合;
由④可知当 时, ,此时点 在 的中点处;
其它均不可能,所以这样的点 有两个,所以 错误,
对于 ,由②知,当 时, ,此时点 在 的中点;
由③知,当 时, ,此时点 在点 处;
其它均不可能,所以这样的点 有两个,所以 正确,
对于 CD, 由①②③④可得:
当 ,即点 为点 时, 取到最小值 0 ;
当 ,即点 为点 时, 取到最大值 3,所以 正确, 错误, 故选: BC.
12.
由 得 ,
又事件 和 互斥,所以 ,
所以 .
故答案为: 0.3 .
13.
令 ,该函数的图象对称轴为 ,由题意得
故答案为: .
14. 33 岁
由题意得,该高中高三备课组老师的平均年龄为 岁, 则该高中高三备课组老师的方差
故答案为: 33 岁; 10 .
15. (1)100
(2)
(1)原式
(2)原式
.
16.
(2)
(1)因为小长方形面积和为 1 ,
所以 ,
解得 ,
则平均数为 .
(2)由图可知，成绩在 的人数与 的人数之比为2:1,
现从两组中用分层抽样的方法抽取 6 人,
所以从成绩在 的人中抽取 4 人，分别记为 ，从成绩在 的人中抽取 2 人，分别记为 ，
所有可能的情况为 ,
,共 15 种,
其中至少有 1 人的成绩在 的情况有 ,
,共 9 种,
故抽取的 2 人中至少有 1 人的成绩在 这一组的概率 .
17. (1)
(2)
(3)
(1)因为 ,
所以 .
(2)设 ，()
设 ,可得 ,
即 ,②
由①②得， ，解得
所以 ,
所以 .
(3)由题意，可设 ，
代入 中，可得 .
又 ,
故 可得 ,
因为 ,且函数 在 上单调递减,
所以 ,
因为函数 在 上单调递减,
所以 ,
所以 的取值范围为 .
18.(1)1 ;(2) ；(3)最小值为 -2，此时 .
(1) 因为 是定义域为 上的奇函数,
所以 ,所以 ,解得 ,
所以 ,
当 时, ,
所以 为奇函数,故 ;
(2) 有解，所以 有解，
所以只需 ,
因为 ,
所以 ;
(3)因为 ，所以 ，
可令 ,可得函数 在 递增,即 ,
则 ,可得函数 ,
由 为开口向上,对称轴为 的抛物线,
所以 时, 取得最小值 -2,
此时 ,解得 ,
所以 在 上的最小值为 -2,此时 .
19.(1) 由 ,则 ,解得 .
(2)① ，且 ，
已知至少存在两个不相等的正实数 ,满足 ,
故只需讨论 的情况，
在 上单调递减,在 上单调递增;
在 上单调递增,且 ,即 在 处连续,
当 时,在 上 ,显然其在 上单调递增,不符合题意;
当 时, , 在 上单调递增,
在 上单调递增, 在 处连续,
在 上单调递增,不符合题意;
当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,
此时至少存在两个不相等的正实数 ,满足 ,
的取值范围为 ,
若 ,则 在 上单调递减,最小值为 ;
若 ,则 在 上单调递减,在 上单调递增,最小值为 ;
综上, 时最小值为 时最小值为 ;
②不妨设 ，结合①分析:
有 三种情况,
当 时,由于 ,均有 ,
即 ,即 ,
又 ,故 ,则 ,
结合图知,对于 两种情况必有 , 当 时, ,则 , 结合图知,对于 两种情况必有 , 综上, ,即 ,得证.
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