山东青岛第五十八中学2026届高三下学期一模调研检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 山东青岛第五十八中学2026届高三下学期一模调研检测数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 152.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-24 00:00:00 | ||
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文档简介
山东青岛第五十八中学 2026 届高三下学期一模调研检测数 学试题
全卷满分 150 分, 考试用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上， 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷与答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 的展开式中 的系数为( )
A. 1 B. 7 C. 21 D. 42
2. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
3. 设非零向量 ，满足 ， ，则向量 的夹角等于( )
A. B. C. D.
4. 已知函数 在 处取得极小值,则 ( )
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
5. 已知正项等差数列 的前 项和为 ，则 的最大值为( )
A. 20 B. 25 C. 40 D. 50
6. 将函数 的图象按向量 平移后所得的图象关于点 中心对称,则向量 的坐标可能为
A. B. C. D.
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,直线 与 的左、右两支分别交于 两点,若四边形 为矩形,则 的离心率为( )
A. B. 3 C. D.
8. 有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 复数 满足 ,则 ( ).
A. B.
C.
D.
10. 函数 在一个周期内的图象可以是( )
A.
B.
C.
D.
11. 已知圆 过抛物线 上的两点 ，则( )
A. 圆 面积的最小值为
B. 圆 与抛物线 的公共点个数为 3
C. 若圆 与抛物线 还有另外两个交点 ,则 的纵坐标之和为 2
D. 若圆 与抛物线 还有另外两个交点 ,则直线 的斜率为 4
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若 ,则 _____.
13. 已知曲线 与曲线 只有一个公共点,则 _____.
14. 组合数学常应用于计算机编程, 计算机中著名的康威生命问题与开关问题有相似的地方. 下图为一个开关阵列, 每个开关只有“开”和“关”两种状态, 按其中一个开关一次, 将导致自身和周围所有相邻的开关改变状态,例如,按 将导致 改变状态. 如果要求只改变 的状态，则需按开关的最少次数为_____.
(1,1) (1,2) (1,3)
(2,1) (2,2) (2,3)
(3,1) (3,2) (3,3)
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 如图,正方体 的棱长为 2 .
(1)证明: 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离.
16. 设函数 .
(I) 讨论 的导函数 的零点的个数;
(II) 证明: 当 时 .
17. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 . (1) 求 ；
(2)若 边上的中线 相交于点 .
(i) 求 ;
(ii) 求 .
18. 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球,黄、白乒乓球的数量比为 .
(1)求取球一次分别取到黄球、白球的概率
(2)现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过 次，以 表示取球结束时已取到白球的次数.
(i) 求 的分布列;
(ii) 求 的数学期望.
19. 已知半椭圆 与半椭圆 组成的曲线称为 “果圆”,其中 . 如图,设点 是相应椭圆的焦点, 和 , 是“果圆”与 轴的交点,
(1)若三角形 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；
(2)若 ，求 的取值范围；
(3)一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦. 是否存在实数 ，使得斜率为 的直线交果圆于两点,得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上 若存在,求出所有 的值; 若不存在, 说明理由.
1. C
展开式中 的系数为 .
故选: C.
2. B
由 ,即 ,
又 ,所以 .
故选: B
3. B
由等式 ,两边平方得: ,
则 ,且 ,所以 .
,即 .
故选: B.
4. B
函数求导得 ,
由题意知 ,
则 ,解得 或 ,
当 时, ,
由 或 ; 由 .
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以函数 在 处取得极小值.
当 时， ，
由 或 ; 由 .
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以函数 在 处取得极大值.
满足条件的是 .
5. B
由题意得 ,解得 ,
由等差中项的性质可得 ,解得 ,
,
由题意知 ,
根据基本不等式 ,当且仅当 时等号成立,
的最大值为 25 .
6. C
设平移向量 ,则函数按向量平移后的表达式为
,因为图象关于点 中心对称,
故 代入得: ,
时, ,
故选: C.
7. C
显然直线 与 交于原点 ,
由双曲线对称性知,若四边形 是矩形,则 ,
设点 ,而
由 得 ,解得 ,
则 ,
则 ,化简得 ,即 ,
解得 ,
则 .
故选: C.
8. A
根据两根长都为 的直铁条的相对位置,将底面三角形的三边长分为两种情况:
①当底面是边长为 2 的正三角形,三条侧棱长为 ，即两根长都为 的直铁条相邻， 取 中点为 ,连接 ,如图所示,
由正三角形可知, ,
在 中,由于 ,即 ,
解得 ;
②当底面三角形边长分别为 ，三条侧棱长为 ，即两根长都为 的直铁条不相邻， 取 中点为 ,连接 ,如图所示,
由 为等腰三角形,得 ,
在 中， ，即 ，解得 ；
综上所述， 的取值范围是 ，
故选: A.
9. ABD
依题意得,复数 是方程 的两个根,
可得 ,
解得 ,则 ,
所以 ,故选项 A 正确;
,故选项 B 正确;
,故选项 C 错误;
,故选项 D 正确.
故选: ABD.
10.
函数 ,
其中 ,
因为 ,所以 ,
又函数 是由 向左或向右平移 个单位得到的,
AC 符合题意,
故选: AC
11. AC
因为点 在抛物线 上,
所以 ,解得 ,所以抛物线的方程为 ,
对于 ,因为圆 过抛物线上的两点 ,
则以 为直径时,圆的面积最小,半径 ,
此时圆 的面积为 ,故 正确;
对于 ,直线 方程为 ,
线段 中垂线方程为 ,与 轴交点为 ,
当圆心坐标为 时,根据对称性,可知圆 与抛物线 的公共点个数为 4,故 错误;
对于 ,由已知可知直线 的斜率存在,设为 ,
则直线 的方程设为 ,
设过 的曲线方程为 ,
方程左边 的系数为 ,
因为 的曲线方程为圆,
所以 ,即 ,故 错误;
对于 ,直线 的方程为 ,与 联立,
得 ,设 的纵坐标为 ,则 ,故 正确.
由题意可得, ,
两式相加得, ,即 .
故答案为:
13. 1
由已知曲线 与曲线 只有一个公共点,
得方程 只有一个实数解,而 ,
则 ,即 ,
故 ,令 ,
则 ,
而 在 单调递增,且 ,
所以当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增,
故 ,
而当 时, ; 当 时, ,
所以 .
故答案为: 1
14. 5
根据题意可知: 只有在 及周边按动开关,才可以使按开关的次数最少,具体原因如下:
假设开始按动前所有开关均为闭合状态,要只改变 的状态,在按动 后, 也改变，
下一步可同时恢复或逐一恢复,同时恢复需按动 ,但会导致周边的 也改变, 因此会按动开关更多的次数; 所以接下来逐一恢复, 至少需按开关 3 次;
这样沿着周边的开关再按动, 可以实现最少的开关次数, 即按动 5 次可以满足要求.
如下表所示:(按顺时针方向开关，逆时针也可以)
(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3)
按动 开 开 关 开 关 关 关 关 关
按动 开 关 开 开 关 开 关 关 关
按动 开 关 关 开 开 关 关 关 开
按动 开 关 关 开 关 关 开 开 关
按动 开 关 关 关 关 关 关 关 关
则需按开关的最少次数为 5 .
故答案为: 5 .
15.(1)证明:由正方体的性质可知 ,
因为 平面 平面 ,
所以 平面 .
(2)设 交于点 ，连接 ，由正方形的性质可知 ，且 ； 因为正方体 的棱长为 2,所以 ，
所以 ,且 ,
所以 为平面 与平面 所成角的平面角,
因为 底面 ,所以 ,
所以 ,即平面 与平面 所成角的正弦值为 .
(3)以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ,
,
设平面 的一个法向量为 ,则 ,
令 可得 ,
设 到平面 的距离为 ,
则 ,即点 到平面 的距离为 .
16.(I) 先求出导函数,分 与 考虑 的单调性及性质,即可判断出零点个数; (II) 由 (I) 可设 在 的唯一零点为 ,根据 的正负,即可判定函数的图像与性质,求出函数的最小值,即可证明其最小值不小于 ,即证明了所证不等式.
试题解析: (I) 的定义域为 .
当 时， ， 没有零点；
当 时，因为 单调递增， 单调递增，所以 在 单调递增. 又 ,当 b 满足 且 时， ，故当 时， 存在唯一零点.
(II) 由 (I),可设 在 的唯一零点为 ,当 时, ; 当 时, .
故 在 单调递减,在 单调递增,所以当 时, 取得最小值,最小值为 .
由于 ,所以 .
故当 时, .
考点:常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式; 运算求解能力.
17. (1)
(2) (i) ; (ii)
(1)由正弦定理得 ,
,
,
,
.
,即 .
(2) (i) ,
.
(ii) 在 中,由余弦定理得 , 即
(法一) 由题知 是 的重心,
，
在 中,由余弦定理得 .
(法二) 又 ,
.
.
18.(1)依题意，取球一次取到黄球的概率 ，取到白球的概率 .
(2)(i) 的可能取值为: ，
由(1)得 ,
所以 的分布列为
0 1 2 ...
...
(ii) 的数学期望
, 因此 , 两式相减得 , 所以
19.( 1 ) ,
,
得 ,
所求“果圆”方程为 ;
(2)由题意，得 ， ，所以 ，即 ，
又 ,即 ,
,
得 ;
又 ,
,即 ,
(3)设“果圆” 的方程为 ， ，
记平行弦的斜率为 ,
当 时,设直线
与半椭圆 的交点是 ,
与半椭圆 的交点是 ,
的中点 满足 ,
,
综上所述,当 时,“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上当 时,以 为斜率过 的直线 与半椭圆 的交点是 ,
由此,在直线 右侧,以 为斜率的平行弦的中点为 ,轨迹在直线 上,即不在某一椭圆上.
当 时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上.
全卷满分 150 分, 考试用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上， 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷与答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 的展开式中 的系数为( )
A. 1 B. 7 C. 21 D. 42
2. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
3. 设非零向量 ，满足 ， ，则向量 的夹角等于( )
A. B. C. D.
4. 已知函数 在 处取得极小值,则 ( )
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
5. 已知正项等差数列 的前 项和为 ，则 的最大值为( )
A. 20 B. 25 C. 40 D. 50
6. 将函数 的图象按向量 平移后所得的图象关于点 中心对称,则向量 的坐标可能为
A. B. C. D.
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,直线 与 的左、右两支分别交于 两点,若四边形 为矩形,则 的离心率为( )
A. B. 3 C. D.
8. 有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 复数 满足 ,则 ( ).
A. B.
C.
D.
10. 函数 在一个周期内的图象可以是( )
A.
B.
C.
D.
11. 已知圆 过抛物线 上的两点 ，则( )
A. 圆 面积的最小值为
B. 圆 与抛物线 的公共点个数为 3
C. 若圆 与抛物线 还有另外两个交点 ,则 的纵坐标之和为 2
D. 若圆 与抛物线 还有另外两个交点 ,则直线 的斜率为 4
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若 ,则 _____.
13. 已知曲线 与曲线 只有一个公共点,则 _____.
14. 组合数学常应用于计算机编程, 计算机中著名的康威生命问题与开关问题有相似的地方. 下图为一个开关阵列, 每个开关只有“开”和“关”两种状态, 按其中一个开关一次, 将导致自身和周围所有相邻的开关改变状态,例如,按 将导致 改变状态. 如果要求只改变 的状态，则需按开关的最少次数为_____.
(1,1) (1,2) (1,3)
(2,1) (2,2) (2,3)
(3,1) (3,2) (3,3)
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 如图,正方体 的棱长为 2 .
(1)证明: 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离.
16. 设函数 .
(I) 讨论 的导函数 的零点的个数;
(II) 证明: 当 时 .
17. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 . (1) 求 ；
(2)若 边上的中线 相交于点 .
(i) 求 ;
(ii) 求 .
18. 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球,黄、白乒乓球的数量比为 .
(1)求取球一次分别取到黄球、白球的概率
(2)现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过 次，以 表示取球结束时已取到白球的次数.
(i) 求 的分布列;
(ii) 求 的数学期望.
19. 已知半椭圆 与半椭圆 组成的曲线称为 “果圆”,其中 . 如图,设点 是相应椭圆的焦点, 和 , 是“果圆”与 轴的交点,
(1)若三角形 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；
(2)若 ，求 的取值范围；
(3)一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦. 是否存在实数 ，使得斜率为 的直线交果圆于两点,得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上 若存在,求出所有 的值; 若不存在, 说明理由.
1. C
展开式中 的系数为 .
故选: C.
2. B
由 ,即 ,
又 ,所以 .
故选: B
3. B
由等式 ,两边平方得: ,
则 ,且 ,所以 .
,即 .
故选: B.
4. B
函数求导得 ,
由题意知 ,
则 ,解得 或 ,
当 时, ,
由 或 ; 由 .
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以函数 在 处取得极小值.
当 时， ，
由 或 ; 由 .
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以函数 在 处取得极大值.
满足条件的是 .
5. B
由题意得 ,解得 ,
由等差中项的性质可得 ,解得 ,
,
由题意知 ,
根据基本不等式 ,当且仅当 时等号成立,
的最大值为 25 .
6. C
设平移向量 ,则函数按向量平移后的表达式为
,因为图象关于点 中心对称,
故 代入得: ,
时, ,
故选: C.
7. C
显然直线 与 交于原点 ,
由双曲线对称性知,若四边形 是矩形,则 ,
设点 ,而
由 得 ,解得 ,
则 ,
则 ,化简得 ,即 ,
解得 ,
则 .
故选: C.
8. A
根据两根长都为 的直铁条的相对位置,将底面三角形的三边长分为两种情况:
①当底面是边长为 2 的正三角形,三条侧棱长为 ，即两根长都为 的直铁条相邻， 取 中点为 ,连接 ,如图所示,
由正三角形可知, ,
在 中,由于 ,即 ,
解得 ;
②当底面三角形边长分别为 ，三条侧棱长为 ，即两根长都为 的直铁条不相邻， 取 中点为 ,连接 ,如图所示,
由 为等腰三角形,得 ,
在 中， ，即 ，解得 ；
综上所述， 的取值范围是 ，
故选: A.
9. ABD
依题意得,复数 是方程 的两个根,
可得 ,
解得 ,则 ,
所以 ,故选项 A 正确;
,故选项 B 正确;
,故选项 C 错误;
,故选项 D 正确.
故选: ABD.
10.
函数 ,
其中 ,
因为 ,所以 ,
又函数 是由 向左或向右平移 个单位得到的,
AC 符合题意,
故选: AC
11. AC
因为点 在抛物线 上,
所以 ,解得 ,所以抛物线的方程为 ,
对于 ,因为圆 过抛物线上的两点 ,
则以 为直径时,圆的面积最小,半径 ,
此时圆 的面积为 ,故 正确;
对于 ,直线 方程为 ,
线段 中垂线方程为 ,与 轴交点为 ,
当圆心坐标为 时,根据对称性,可知圆 与抛物线 的公共点个数为 4,故 错误;
对于 ,由已知可知直线 的斜率存在,设为 ,
则直线 的方程设为 ,
设过 的曲线方程为 ,
方程左边 的系数为 ,
因为 的曲线方程为圆,
所以 ,即 ,故 错误;
对于 ,直线 的方程为 ,与 联立,
得 ,设 的纵坐标为 ,则 ,故 正确.
由题意可得, ,
两式相加得, ,即 .
故答案为:
13. 1
由已知曲线 与曲线 只有一个公共点,
得方程 只有一个实数解,而 ,
则 ,即 ,
故 ,令 ,
则 ,
而 在 单调递增,且 ,
所以当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增,
故 ,
而当 时, ; 当 时, ,
所以 .
故答案为: 1
14. 5
根据题意可知: 只有在 及周边按动开关,才可以使按开关的次数最少,具体原因如下:
假设开始按动前所有开关均为闭合状态,要只改变 的状态,在按动 后, 也改变，
下一步可同时恢复或逐一恢复,同时恢复需按动 ,但会导致周边的 也改变, 因此会按动开关更多的次数; 所以接下来逐一恢复, 至少需按开关 3 次;
这样沿着周边的开关再按动, 可以实现最少的开关次数, 即按动 5 次可以满足要求.
如下表所示:(按顺时针方向开关，逆时针也可以)
(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3)
按动 开 开 关 开 关 关 关 关 关
按动 开 关 开 开 关 开 关 关 关
按动 开 关 关 开 开 关 关 关 开
按动 开 关 关 开 关 关 开 开 关
按动 开 关 关 关 关 关 关 关 关
则需按开关的最少次数为 5 .
故答案为: 5 .
15.(1)证明:由正方体的性质可知 ,
因为 平面 平面 ,
所以 平面 .
(2)设 交于点 ，连接 ，由正方形的性质可知 ，且 ； 因为正方体 的棱长为 2,所以 ，
所以 ,且 ,
所以 为平面 与平面 所成角的平面角,
因为 底面 ,所以 ,
所以 ,即平面 与平面 所成角的正弦值为 .
(3)以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ,
,
设平面 的一个法向量为 ,则 ,
令 可得 ,
设 到平面 的距离为 ,
则 ,即点 到平面 的距离为 .
16.(I) 先求出导函数,分 与 考虑 的单调性及性质,即可判断出零点个数; (II) 由 (I) 可设 在 的唯一零点为 ,根据 的正负,即可判定函数的图像与性质,求出函数的最小值,即可证明其最小值不小于 ,即证明了所证不等式.
试题解析: (I) 的定义域为 .
当 时， ， 没有零点；
当 时，因为 单调递增， 单调递增，所以 在 单调递增. 又 ,当 b 满足 且 时， ，故当 时， 存在唯一零点.
(II) 由 (I),可设 在 的唯一零点为 ,当 时, ; 当 时, .
故 在 单调递减,在 单调递增,所以当 时, 取得最小值,最小值为 .
由于 ,所以 .
故当 时, .
考点:常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式; 运算求解能力.
17. (1)
(2) (i) ; (ii)
(1)由正弦定理得 ,
,
,
,
.
,即 .
(2) (i) ,
.
(ii) 在 中,由余弦定理得 , 即
(法一) 由题知 是 的重心,
，
在 中,由余弦定理得 .
(法二) 又 ,
.
.
18.(1)依题意，取球一次取到黄球的概率 ，取到白球的概率 .
(2)(i) 的可能取值为: ，
由(1)得 ,
所以 的分布列为
0 1 2 ...
...
(ii) 的数学期望
, 因此 , 两式相减得 , 所以
19.( 1 ) ,
,
得 ,
所求“果圆”方程为 ;
(2)由题意，得 ， ，所以 ，即 ，
又 ,即 ,
,
得 ;
又 ,
,即 ,
(3)设“果圆” 的方程为 ， ，
记平行弦的斜率为 ,
当 时,设直线
与半椭圆 的交点是 ,
与半椭圆 的交点是 ,
的中点 满足 ,
,
综上所述,当 时,“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上当 时,以 为斜率过 的直线 与半椭圆 的交点是 ,
由此,在直线 右侧,以 为斜率的平行弦的中点为 ,轨迹在直线 上,即不在某一椭圆上.
当 时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上.
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