山东青岛第三十九中2026届高三下学期2月阶段性测试数学试题（含答案）

青岛 39 中 2026 届高三阶段性测试数学试题
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ,则 ( )
A. B. 1
C. D. 2
3. 在平面直角坐标系 中,角 与角 均以 为始边,已知角 的终边在第一象限,且 ,将角 的终边按照逆时针方向旋转 ,得到角 的终边,则 ( )
A. B.
C. D.
4. 若圆 与抛物线 的准线相切，则 的焦点坐标为( )
A. B.
C. D.
5. 已知数列 的前 项和为 ,且 ,则
A. 65 B. 105 C. 210 D. 230
6. 已知函数 的图象上存在不同的两点关于 轴对称,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 是 的左顶点， 为 所在平面内一点,且 . 若 与 均为等腰三角形,则 的离心率为 ()
A. B. C. D.
8. 若存在 ,对任意的 ,都有 ,则 的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选 项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分.
9. 已知实数 满足 ，则( )
A. B.
C. D.
10. 已知函数 的图象关于直线 对称，则( )
A. 的最小正周期为
B. 为奇函数
C. 在 上单调递增
D. 在 内恰有 3 个零点
11. 甲、乙、丙 3 人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球； 若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余 2 人之一. 初始时球在甲手中，记第 次抛硬币后球在甲手中的概率为 ,球在乙手中的概率为 ,在前 次抛硬币的过程中 3 人之间传球的次数为 ,则 ( )
A. B. C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若向量 满足 ，且 ，则 的值为_____.
13. 若 ，则 的值为_____.
14. 已知正方体 的棱长为 2,点 均在某圆锥的侧面上,点 均在该圆锥的底面上，则该圆锥的体积的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，记 为数列 的前 项和，证明: .
16. 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ，点 ， 分别是棱 ， 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若 ，平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. 已知 分别是 内角 的对边， .
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 的正切值.
18. 已知双曲线 的实轴长为 4,且经过点 .
(1)求 的方程；
(2)记 的右顶点为 ，点 在线段 (不含端点)上运动，垂直于 轴的直线 交 于点 ( 在第一象限),点 满足 ,设直线 与 的另一个交点为 .
(i) 用 表示直线 的斜率 ;
(ii) 证明直线 过定点.
19. 已知函数 的图象关于点 中心对称.
(1)求 的值；
(2)设 是曲线 的切线，证明: 与直线 围成的三角形的面积 与切点无关;
(3) 设 ,证明: .
1. A
逐一检查集合 中各元素,其中只有 满足 ,所以 . 故选: A
2. B
复数 满足 ,则有 ,
得 ,所以 .
故选: B
3. C
因为 是第一象限角,所以 ,所以 , 又由题意可知 ,
所以 ,
故选: C.
4. B
圆 的圆心坐标为 ,半径为 2,
抛物线 的准线方程为 ,
圆 与抛物线 的准线相切,
则有 ,解得 ,所以抛物线 的焦点坐标为 .
故选: B
5. B
因为 ,所以 ,即 , 又因为 ,所以 ,
所以 ,即数列 为等差数列,公差为 4,首项为 1,
所以 ,
所以 ,
所以
故选: B.
6. D
设函数 图象上关于 轴对称的两点分别为
因为这两点都在函数 的图象上,所以有 ,
两式相减得: ,
整理并化简得: ,即 ,
因为 ,所以 ,即 ,
令 ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 ,
又因为 ,所以 ,
所以 ,
故选: D
7. D
已知椭圆 的左、右焦点为 ,左顶点 . 因为 为等腰三角形且 ，所以 是等边三角形，边长为 ， 故 ， 点坐标为 .
又 为等腰三角形, , . 由等腰三角形性质，
若 ,则 ,则 ,离心率 .
若 ,可得 ,即 ,则 ,因为 ,所以此情况不成立.
若 ,可得 ,则 ,
化简得 ,因为 ,所以 ,不满足 ,此情况不成立.
因此,椭圆的离心率为 .
故选: D
8. C
任意的 ,都有 ,
则有 在 上恒成立,
令 ,函数定义域为 ,
,令 ,解得 ,
时, 在 上单调递减;
时, 在 上单调递增,
因此存在 ,使 ,
令 ,令 ,解得 ,
时 在 上单调递增;
时 在 上单调递减,
有 ,
所以 时, 的最大值为 .
故选: C
9. BC
因为 ,所以 ,
对于 ,若 ,则 ,故 错误;
对于 ,
又 ,所以 ,
所以 ,所以 ,故 B 正确;
对于 ,因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,故 正确;
对于 ,当 时, 不成立,
故 D 错误;
故选: BC
10. ABD
对于 A: 因为函数 关于直线 对称,所以 ,等价于
由 得 ,即 ,
所以 ,则 , A 正确;
对于 B: 因为 ,
所以 是奇函数, 正确;
对于 : 由 得 ,若 ,则 单调递增,
若 ,则 单调递减, 错误;
对于 : 令 ,则 ,解得 ,
由 得 ,又 ,
所以 ,即 在 内恰好有 3 个零点, D 正确;
故选: ABD.
11. ACD
初始时球在甲手中,即 ,第一次抛硬币: 若正面朝上 (概率为 ): 球在甲手里, ;
若反面朝上(概率为 )，球传给乙或丙，各占 ，所以 ，即满足 ， 故 正确；
第 次抛硬币后,球在甲手中的概率为 ,
其中 表示球在丙手中的概率,且由对称性知 ,则 ,故 正确;
因 ,则 ,代入 (*) 可得:
同理 ,由对称性 ,则有 .
又由 可得 ,即数列 为首项是 ,公比为 的等比数列,
则 ,即 ,同理 ,故 ,故 D 正确; 因为 表示前 次抛硬币的过程中 3 人之间传球的次数,每次传球的概率为 ,且各次独立, 则 ,故其方差为 ,故 B 错误.
故选: ACD.
12.
因为 ,所以两边平方得 ,则 , 因为 ,所以 .
故答案为:
13. 0
由 ,令 ,
则有 ,
即 .
故答案为: 0
14. .
设圆锥底面半径为 ,高为 ,则 ,
过正方体 的一组对棱 作圆锥 的截面,如图所示:
由题意可得: ,
正方体 的棱长为 2,则 ,
面对角线 ,所以 ,
由 ,可得 ,
即 ,解得: ,
所以圆锥的体积 ,
令 ,则 ,
时, 单调递减,
时, 单调递增,
所以, 时,圆锥的体积有最小值 .
故答案为:
15.(1) 当 时, ,
当 时, ,作差得:
即 ,
所以 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,所以 .
(2) ，
所以 ,
所以 ,
命题得证.
16.(1)取 中点 ,连接 .
因为 为 中点,
所以 为 的中位线,
所以 且 .
在正方形 中， 为 中点，
所以 且 ,
所以 且 ,
所以四边形 是平行四边形.
所以 .
又 平面 平面 ,
所以 平面 .
(2)由于平面 平面 ,平面 平面 平面 平面 .
以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
不妨设 ,则有 .
设平面 的法向量 ,
,所以 ,不妨令 ,
得 ；
设平面 的法向量 ,
,所以 ,不妨令 ,
得 ;
设平面 与平面 夹角为 ,
则 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17. ;
(2) .
(1) 因为 ,
所以 .
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 .
所以 ,又 ,所以 ,所以 ,
,
所以 .
(2)因为 ，所以 为 中点.
由题设 及余弦定理可得 ,因为 ,所以 .
设 ，在 中，有 ①，
在 中，有 ②，
①②相除，得:
，所以 ，
所以 ,即 ,
所以 的正切值为 .
18.(1) 由题意可知 ,
解得 ,
故 的方程为 .
(2)(i)因为 ，所以直线 方程为 ，
由于 ,故 ,
因为 ,所以 ,
所以 .
(ii) 由 (i) 可知 ,
即 .
由题意可知,直线 的斜率显然存在,
设直线 ,联立 ,消 得
,
所以 ,
所以直线 ,
所以直线 过定点 .
19.(1) 因为函数 的图象关于点 中心对称,
所以 ,
可得 ,即 ,
整理得 ,所以 ,解得 .
(2)设切线 与曲线 的切点为 ,因为 , 所以切线 的方程为 ,
令 ,可得 ,令 ,可得 ,
因为 ,
所以 与直线 围成的三角形的面积 与切点无关.
(3)解法一:令 ，则 ， 当 时, ,所以 在 上单调递增,
因为 ,所以 在 上单调递减,
因为 ,所以 ,
若 ,由 ,可得 ,则 ,
与 矛盾,所以 .
当 时, ,即 ,
,所以 ,可得 ,
即 ,所以 ,即 ,
所以 ;
当 时, ,即 ,
,所以 ,可得 ,
即 ,所以 ,即 ,所以 .
综上可得, .
由 ,可得 ,
所以 .
解法二: 令 ,则 ,且 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
若 ,由 ,可得 ,则 ,与 矛盾,
所以 ,因此 ,
又 ,
当 时, ,可得 ,
所以 ;
当 时, ,可得 ,
所以 .
综上可得, ,即 .
可得 ,所以 ,
即 .