山东省潍坊市青州第一中学2025-2026学年高三下学期第一次模拟数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 山东省潍坊市青州第一中学2025-2026学年高三下学期第一次模拟数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 125.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-24 00:00:00 | ||
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文档简介
青州一中高三普通部二轮专题复习模拟考试(一)数学
一、单选题
1. 的虚部是( )
A. B. C. D.
2. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
3. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 和 的等差中项为 6,则 ( )
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
4. 已知点 在圆 上，直线 的斜率为 ( 是原点)，则 ( )
A. B. 1 C. D.
5. 若 为第二象限角,且 ,则 ( )
A.
B.
C.
D.
6. 某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐, 小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有( )
A. 120 种 B. 144 种 C. 240 种 D. 288 种
7. 已知双曲线 的左右焦点分别为 ,经过 的直线与 的右支交于 两点，且 ， ，则 的离心率是( )
A. B. C. D.
8. 不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下列说法正确的是( )
A. 若样本数据 的方差 ,则所有的 都相等
B. 以模型 去拟合一组数据时,令 ,求得线性回归方程为 ,则
C. 在 的展开式中,含 项的系数是 -69
D. 某校高三年级男生的身高 (单位:cm)近似服从 ，随机选择一名该校高三年级的男生,则
(若 ,则 )
10. 设数列 的前 项和为 ,且 ,则 ( )
A. 数列 是等比数列 B.
C. 的前 项和为 D.
11. 在棱长为 3 的正方体 中， 为棱 上一点，且满足 . 下列说法正确的是( )
A. 点 到平面 的距离为
B. 直线 与直线 所成角的余弦值为
C. 若过点 的平面 垂直于直线 ,则平面 截正方体所得截面的周长为
D. 若动点 在侧面 及其边界上运动，且 ，则直线 与平面 所成角的正切值的取值范围是
三、填空题
12. 过点 且倾斜角为 的直线与抛物线 相交于 两点,则 _____.
13. 若函数 有两个极值,则实数 的取值范围为_____.
14. 已知圆柱 ,点 是上底面圆周上的一动点,点 在下底面的圆周上,且满足 ,三棱锥 外接球的表面积为 ,则三棱锥 体积的最大值为_____.
四、解答题
15. 记 内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 边上的高的最大值.
16. 如图，多面体 中，四边形 为正方形，四边形 为矩形， 为 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)当平面 平面 时，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 已知椭圆 的两个焦点分别为 ,点 是 上的一个动点, 当 面积取得最大值 时， .
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 与 交于 两点，点 关于 轴的对称点为 ( 与 不重合).
(i) 求证: 直线 过定点;
(ii) 求 面积的最大值.
18. 某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有 3 局，每局获胜可获对应奖金, 奖金可累计.具体规则如下:
游戏I:抛掷质地均匀的相同硬币
第 1 局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得 100 元奖金；第 2 局，抛三枚，向上的图案相同则获胜, 得 500 元奖金; 第 3 局, 抛四枚, 向上的图案相同则获胜, 得 900 元奖金;
游戏II:抛掷质地均匀的特殊骰子(三组对面分别标记 0,2,6 的骰子).
第 1 局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得 300 元奖金；第 2 局，抛三颗，向上的数字相同则获胜, 得 600 元奖金; 第 3 局, 抛四颗, 向上的数字是 2, 0, 2, 6 (不计顺序) 则获
胜, 得 900 元奖金.
(1)求游戏I第 2 局获胜的概率；
(2)若销售部门的 3 位员工均选择游戏 I，设 为前两局均未获胜的人数，求 的分布列和数学期望;
(3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由.
19. 对于可导函数 ,从初始值 出发,定义序列 . 已知 .
(1)设 ，求函数 的解析式，并求 的值；
(2)记 ， ，并设 .
(i) 求证: ;
(ii) 是否存在正整数 使得 . 理由. 若存在,求出所有满足条件的 .
1. D
, 的虚部为 .
2. A
因为集合 ,
所以 ,
所以 .
3. C
设等差数列 的公差为 ,
由题意得, ,
则 .
4. B
依题意,直线 的方程为 ,圆 的圆心为 ,半径 ,
点 到直线 的距离 ,显然点 在圆 上,
所以 .
故选: B
由题意得, ,化简得 ,
整理得, , 因为 为第二象限角,所以 .
故选: A
6. C
由题意可得, 小王同学有两天吃同一种套餐, 先从 5 天中选出两天吃同一种套餐, 然后将 4 种不同的套餐安排在这两天和另外 3 天中，则不同的方案共有 种.
故选: C.
7. A
设 ,则 ,
由双曲线的定义,可得 ,所以 ,
又由 ,
因为 ,所以 ,
在 中，由余弦定理得 ，
，即 ，
即 ,所以 ,则 ,
在 中,由余弦定理得 ,
即 ,解得 ,所以 ,
所以双曲线的离心率为 .
8. A
不等式 ,
可化为 ,
当 ,有 ,
因此原不等式恒成立等价于 对任意 恒成立,
因为 ,所以 对任意 恒成立,
设 ,则需 .
故 在 上单调递增, ,
因此, .
故选: A
9. AC
对于 ,因为 , 所以 ,故 A 正确;
对于 ,由回归方程 ,得 ,
所以 ,所以 ,故 B 错误;
对于 ,在展开式中含 项为: ,
所以在展开式中含 项的系数是 -69,故 正确;
对于 ,因为高三年级男生的身高 (单位: ) 近似服从 ,
所以 , 即 ,
所以 ,故 D 错误.
10. AC
,当 时, ,得 .
当 时, ,即 .
是以 1 为首项，公比为 2 的等比数列， ，A 选项正确，B 选项错误.
记 ,数列 的前 项和
选项正确.
因为 是以 1 为首项,公比为 4 的等比数列,
, D 选项错误.
故选: AC
11. ACD
以点 为坐标原点, 所在直线分别为 轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则 ,
对于 A 选项, ,
设平面 的一个法向量为 ,则 ,
取 ,可得 ,所以点 到平面 的距离为 , A 对;
对于 选项， ， ，
所以直线 与直线 所成角的余弦值为 错;
对于 选项,设平面 交直线 于点 ,交直线 于点 ,
,
因为 ,所以 ,
所以 ,解得 ,即点 ,
,解得 ,即点 ,
故截面为 ,且 ,
，故 的周长为 ，C 对；
对于 选项,设点 ,则 ,其中 ,
因为 ,则 ,故 ,
由 可得 ,
易知平面 的一个法向量为 ,
设直线 与平面 所成角为 ,则
因为函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 ,
又因为 ,故 ,即 ,
故 ,
当 取最小值时, 最小,此时 ,
此时 的最小值为 ,
当 取最大值, 最大,此时 ,
此时 的最大值为 ,
故直线 与平面 所成角的正切值的取值范围是 对.
故选: ACD.
12.
因为直线过点 且倾斜角为 ,
所以该直线的斜率为 ,
所以该直线的方程为 ,与抛物线方程联立,
得 ,
设 ,
13.
函数 的定义域为 ,
,
函数 在 有两个极值,
在 有两个不相等的实数根,
即 在 有两个不相等的实数根,
令 ,对称轴为 ,
要使 在 有两个不相等的实数根,
则需满足 ,解得 ,
综上,实数 的取值范围为 .
14.
设圆柱 的底面圆半径为 ,则需满足 ,可得 ;
易知三棱锥 的外接球与圆柱 的外接球相同,其半径 满足 ,解得
设外接球球心为 ,
所以 ,解得 ,即圆柱的高为 6,
因为点 是上底面圆周上的一动点,即点 到底面 的距离为 6,
取 的中点为 ,连接 ,因此 ,如下图:
因为 ，所以 ，
当点 到 的距离最大时， 的面积最大，此时三棱锥 的体积最大；
因为点 在下底面的圆周上,所以点 到 的距离最大值为 ,
因此 ,
所以三棱锥 体积的最大值为 .
15. (1)
(2)2
(1)由 可得 ,
由正弦定理得 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 .
(2)依题意， ，设 边上的高为 ，
由 ,可得 ,
由余弦定理 可得 ,
即 ,当且仅当 时等号成立,
因此 ,
所以 边上的高的最大值为 2 .
16.(1)证明:如图所示，连接 交 于点 ，
因为四边形 为正方形,所以 为 的中点,
又因为 为 的中点,所以 ,
因为 平面 平面 ,所以 平面 ,
又因为四边形 为矩形,所以 ,
因为 平面 平面 ,所以 平面 ,
又因为 ,且 平面 平面 ,
所以平面 平面 ,
因为 平面 ，所以 平面 .
(2)解:因为四边形 为矩形，所以 ，
又因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 ,所以 ,
又因为四边形 为正方形,所以 ,
以 为坐标原点,以 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系,
如图所示,设 ,则 ,
可得 ,
所以向量 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
取 ,可得 ,所以 ,
设直线 与平面 的夹角为 ,
可得 ,
所以直线 与平面 的夹角的正弦值为 .
17. (1)因为 ，又 ，所以 ， 又 面积取得最大值 ，所以 ，
在 中， ，所以 ，所以 ，
又 ,所以 ,所以 ,解得 ,
所以 ,所以椭圆 的方程为 ;
(2)(i)当过点 的直线 不与 轴重合时，
设直线 的方程为 ,
由 ,得 ,
整理得 ,
由韦达定理得 ,
因为 为点 关于 轴的对称点,所以 ,所以 ,
所以直线 的方程为 ,
由对称性,直线 所过定点一定在 轴上,
令 ,可得
所以直线 过定点 ;
当过点 的直线与 轴重合时,显然过点 ;
综上所述: 直线 过定点 ;
(ii) 记直线 过定点为 ,
则
,
当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以 面积的最大值为 .
18.(1)由题意知,游戏I第 2 局获胜的概率 .
(2)易知 ，
游戏I第1局获胜的概率为 ，第 2 局获胜的概率为 ，则第1局和第2 局均未获胜的概率为
因此可知 ,
,
随机变量 的分布列为
0 1 2 3
125 512 225 512 135 12 27 51
随机变量 的期望 或 .
(3)应该参加游戏 II，理由如下:
记 分别为一次参加游戏 , II所获奖金总额,
游戏I第1局获胜的概率为 ，第 2 局获胜的概率为 ，第 3 局获胜的概率为 ，
,
游戏II第1局获胜的概率为 ，第2局获胜的概率为 ，第3局获胜的概率为
,
,
从奖金期望角度来看,应选择参加游戏II.
19. (1) 由题意得 ,则 ,
则有 ,
令 ,则 ,
取 ,则 ,
则 ,
(2) (i) ,
易得 是 的两个根,
则有 ,且 ,
由 ,
则 ,
因为 ,则有 ,
则
因为 ,则有 ,
则 ,
于是 ,得证;
(ii) ,迭代得 ,
即 ,
其中 ,且 ,
若存在正整数 使得 成等比数列,
即 ,结合 ,可得 ,
因为 ,
所以 ,
同时除以 得 ,
因为 ,则可设 ,
则有 ,即 ,
易得等号左边为偶数之差,结果为偶数,右边为奇数 1 , 矛盾,
故 无正整数解满足 ,
因此,不存在这样的正整数 使得 成等比数列.
一、单选题
1. 的虚部是( )
A. B. C. D.
2. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
3. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 和 的等差中项为 6,则 ( )
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
4. 已知点 在圆 上，直线 的斜率为 ( 是原点)，则 ( )
A. B. 1 C. D.
5. 若 为第二象限角,且 ,则 ( )
A.
B.
C.
D.
6. 某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐, 小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有( )
A. 120 种 B. 144 种 C. 240 种 D. 288 种
7. 已知双曲线 的左右焦点分别为 ,经过 的直线与 的右支交于 两点，且 ， ，则 的离心率是( )
A. B. C. D.
8. 不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下列说法正确的是( )
A. 若样本数据 的方差 ,则所有的 都相等
B. 以模型 去拟合一组数据时,令 ,求得线性回归方程为 ,则
C. 在 的展开式中,含 项的系数是 -69
D. 某校高三年级男生的身高 (单位:cm)近似服从 ，随机选择一名该校高三年级的男生,则
(若 ,则 )
10. 设数列 的前 项和为 ,且 ,则 ( )
A. 数列 是等比数列 B.
C. 的前 项和为 D.
11. 在棱长为 3 的正方体 中， 为棱 上一点，且满足 . 下列说法正确的是( )
A. 点 到平面 的距离为
B. 直线 与直线 所成角的余弦值为
C. 若过点 的平面 垂直于直线 ,则平面 截正方体所得截面的周长为
D. 若动点 在侧面 及其边界上运动，且 ，则直线 与平面 所成角的正切值的取值范围是
三、填空题
12. 过点 且倾斜角为 的直线与抛物线 相交于 两点,则 _____.
13. 若函数 有两个极值,则实数 的取值范围为_____.
14. 已知圆柱 ,点 是上底面圆周上的一动点,点 在下底面的圆周上,且满足 ,三棱锥 外接球的表面积为 ,则三棱锥 体积的最大值为_____.
四、解答题
15. 记 内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 边上的高的最大值.
16. 如图，多面体 中，四边形 为正方形，四边形 为矩形， 为 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)当平面 平面 时，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 已知椭圆 的两个焦点分别为 ,点 是 上的一个动点, 当 面积取得最大值 时， .
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 与 交于 两点，点 关于 轴的对称点为 ( 与 不重合).
(i) 求证: 直线 过定点;
(ii) 求 面积的最大值.
18. 某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有 3 局，每局获胜可获对应奖金, 奖金可累计.具体规则如下:
游戏I:抛掷质地均匀的相同硬币
第 1 局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得 100 元奖金；第 2 局，抛三枚，向上的图案相同则获胜, 得 500 元奖金; 第 3 局, 抛四枚, 向上的图案相同则获胜, 得 900 元奖金;
游戏II:抛掷质地均匀的特殊骰子(三组对面分别标记 0,2,6 的骰子).
第 1 局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得 300 元奖金；第 2 局，抛三颗，向上的数字相同则获胜, 得 600 元奖金; 第 3 局, 抛四颗, 向上的数字是 2, 0, 2, 6 (不计顺序) 则获
胜, 得 900 元奖金.
(1)求游戏I第 2 局获胜的概率；
(2)若销售部门的 3 位员工均选择游戏 I，设 为前两局均未获胜的人数，求 的分布列和数学期望;
(3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由.
19. 对于可导函数 ,从初始值 出发,定义序列 . 已知 .
(1)设 ，求函数 的解析式，并求 的值；
(2)记 ， ，并设 .
(i) 求证: ;
(ii) 是否存在正整数 使得 . 理由. 若存在,求出所有满足条件的 .
1. D
, 的虚部为 .
2. A
因为集合 ,
所以 ,
所以 .
3. C
设等差数列 的公差为 ,
由题意得, ,
则 .
4. B
依题意,直线 的方程为 ,圆 的圆心为 ,半径 ,
点 到直线 的距离 ,显然点 在圆 上,
所以 .
故选: B
由题意得, ,化简得 ,
整理得, , 因为 为第二象限角,所以 .
故选: A
6. C
由题意可得, 小王同学有两天吃同一种套餐, 先从 5 天中选出两天吃同一种套餐, 然后将 4 种不同的套餐安排在这两天和另外 3 天中，则不同的方案共有 种.
故选: C.
7. A
设 ,则 ,
由双曲线的定义,可得 ,所以 ,
又由 ,
因为 ,所以 ,
在 中，由余弦定理得 ，
，即 ，
即 ,所以 ,则 ,
在 中,由余弦定理得 ,
即 ,解得 ,所以 ,
所以双曲线的离心率为 .
8. A
不等式 ,
可化为 ,
当 ,有 ,
因此原不等式恒成立等价于 对任意 恒成立,
因为 ,所以 对任意 恒成立,
设 ,则需 .
故 在 上单调递增, ,
因此, .
故选: A
9. AC
对于 ,因为 , 所以 ,故 A 正确;
对于 ,由回归方程 ,得 ,
所以 ,所以 ,故 B 错误;
对于 ,在展开式中含 项为: ,
所以在展开式中含 项的系数是 -69,故 正确;
对于 ,因为高三年级男生的身高 (单位: ) 近似服从 ,
所以 , 即 ,
所以 ,故 D 错误.
10. AC
,当 时, ,得 .
当 时, ,即 .
是以 1 为首项，公比为 2 的等比数列， ，A 选项正确，B 选项错误.
记 ,数列 的前 项和
选项正确.
因为 是以 1 为首项,公比为 4 的等比数列,
, D 选项错误.
故选: AC
11. ACD
以点 为坐标原点, 所在直线分别为 轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则 ,
对于 A 选项, ,
设平面 的一个法向量为 ,则 ,
取 ,可得 ,所以点 到平面 的距离为 , A 对;
对于 选项， ， ，
所以直线 与直线 所成角的余弦值为 错;
对于 选项,设平面 交直线 于点 ,交直线 于点 ,
,
因为 ,所以 ,
所以 ,解得 ,即点 ,
,解得 ,即点 ,
故截面为 ,且 ,
，故 的周长为 ，C 对；
对于 选项,设点 ,则 ,其中 ,
因为 ,则 ,故 ,
由 可得 ,
易知平面 的一个法向量为 ,
设直线 与平面 所成角为 ,则
因为函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 ,
又因为 ,故 ,即 ,
故 ,
当 取最小值时, 最小,此时 ,
此时 的最小值为 ,
当 取最大值, 最大,此时 ,
此时 的最大值为 ,
故直线 与平面 所成角的正切值的取值范围是 对.
故选: ACD.
12.
因为直线过点 且倾斜角为 ,
所以该直线的斜率为 ,
所以该直线的方程为 ,与抛物线方程联立,
得 ,
设 ,
13.
函数 的定义域为 ,
,
函数 在 有两个极值,
在 有两个不相等的实数根,
即 在 有两个不相等的实数根,
令 ,对称轴为 ,
要使 在 有两个不相等的实数根,
则需满足 ,解得 ,
综上,实数 的取值范围为 .
14.
设圆柱 的底面圆半径为 ,则需满足 ,可得 ;
易知三棱锥 的外接球与圆柱 的外接球相同,其半径 满足 ,解得
设外接球球心为 ,
所以 ,解得 ,即圆柱的高为 6,
因为点 是上底面圆周上的一动点,即点 到底面 的距离为 6,
取 的中点为 ,连接 ,因此 ,如下图:
因为 ，所以 ，
当点 到 的距离最大时， 的面积最大，此时三棱锥 的体积最大；
因为点 在下底面的圆周上,所以点 到 的距离最大值为 ,
因此 ,
所以三棱锥 体积的最大值为 .
15. (1)
(2)2
(1)由 可得 ,
由正弦定理得 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 .
(2)依题意， ，设 边上的高为 ，
由 ,可得 ,
由余弦定理 可得 ,
即 ,当且仅当 时等号成立,
因此 ,
所以 边上的高的最大值为 2 .
16.(1)证明:如图所示，连接 交 于点 ，
因为四边形 为正方形,所以 为 的中点,
又因为 为 的中点,所以 ,
因为 平面 平面 ,所以 平面 ,
又因为四边形 为矩形,所以 ,
因为 平面 平面 ,所以 平面 ,
又因为 ,且 平面 平面 ,
所以平面 平面 ,
因为 平面 ，所以 平面 .
(2)解:因为四边形 为矩形，所以 ，
又因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 ,所以 ,
又因为四边形 为正方形,所以 ,
以 为坐标原点,以 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系,
如图所示,设 ,则 ,
可得 ,
所以向量 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
取 ,可得 ,所以 ,
设直线 与平面 的夹角为 ,
可得 ,
所以直线 与平面 的夹角的正弦值为 .
17. (1)因为 ，又 ，所以 ， 又 面积取得最大值 ，所以 ，
在 中， ，所以 ，所以 ，
又 ,所以 ,所以 ,解得 ,
所以 ,所以椭圆 的方程为 ;
(2)(i)当过点 的直线 不与 轴重合时，
设直线 的方程为 ,
由 ,得 ,
整理得 ,
由韦达定理得 ,
因为 为点 关于 轴的对称点,所以 ,所以 ,
所以直线 的方程为 ,
由对称性,直线 所过定点一定在 轴上,
令 ,可得
所以直线 过定点 ;
当过点 的直线与 轴重合时,显然过点 ;
综上所述: 直线 过定点 ;
(ii) 记直线 过定点为 ,
则
,
当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以 面积的最大值为 .
18.(1)由题意知,游戏I第 2 局获胜的概率 .
(2)易知 ，
游戏I第1局获胜的概率为 ，第 2 局获胜的概率为 ，则第1局和第2 局均未获胜的概率为
因此可知 ,
,
随机变量 的分布列为
0 1 2 3
125 512 225 512 135 12 27 51
随机变量 的期望 或 .
(3)应该参加游戏 II，理由如下:
记 分别为一次参加游戏 , II所获奖金总额,
游戏I第1局获胜的概率为 ，第 2 局获胜的概率为 ，第 3 局获胜的概率为 ，
,
游戏II第1局获胜的概率为 ，第2局获胜的概率为 ，第3局获胜的概率为
,
,
从奖金期望角度来看,应选择参加游戏II.
19. (1) 由题意得 ,则 ,
则有 ,
令 ,则 ,
取 ,则 ,
则 ,
(2) (i) ,
易得 是 的两个根,
则有 ,且 ,
由 ,
则 ,
因为 ,则有 ,
则
因为 ,则有 ,
则 ,
于是 ,得证;
(ii) ,迭代得 ,
即 ,
其中 ,且 ,
若存在正整数 使得 成等比数列,
即 ,结合 ,可得 ,
因为 ,
所以 ,
同时除以 得 ,
因为 ,则可设 ,
则有 ,即 ,
易得等号左边为偶数之差,结果为偶数,右边为奇数 1 , 矛盾,
故 无正整数解满足 ,
因此,不存在这样的正整数 使得 成等比数列.
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