山东青岛五十八中高新学校2026届高三一模调研数学试题（含答案）

2026 年青岛五十中高新校区高三一模调研 数学
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 若复数 ，则 ()
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
3. 将函数 的图象向右平移 个单位后,所得图象与原图象重合,则正数 的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 若 ,则 ( )
A. 8 B. -8 C. 2 D. 42
5. 若 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
6. 直线 与圆 交于 两点, ,则 为( )
A. B. C. D.
7. 假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂 1 次(1 个正常细菌分裂成 2 个正常细菌和 1 个非正常细菌)，非正常细菌每小时分裂 1 次(1 个非正常细菌分裂成 2 个非正常细菌)若 1 个正常细菌经过 14 小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为( )
A. B. C. D.
8. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 . 以 为直径的圆和 的渐近线在第一象限交于 点，直线 交 的另一条渐近线于点 ，则 的离心率为( )
A. B. C. 2 D. 3
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某学校组织全体学生参加了文创大赛，随机抽取了 400 名学生的成绩进行统计，得频率分布直方图 (如图), 则 ( )
A. 图中 的值为 0.020
B. 该样本中成绩在区间 内的学生有 160 人
C. 估计全校学生成绩的平均数约为 86.5
D. 估计全校学生成绩的 80% 分位数约为 95
10. 设复数 满足 ,则()
A. B.
C. 关于 的方程 有解
D. 若复数 满足 ,则
11. 已知函数 ,将 的所有极值点按照由小到大的顺序排列,得到数列 ,对于任意的正整数 ,则 ( )
A. B. 是极大值点
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.、
12. 若抛物线 的顶点到它的准线距离为 ，则正实数 _____.
13. 设 是定义在 上的函数,若 是奇函数, 是偶函数,则 _____.
14. 正方体 的棱长为3， 是侧面 (包括边界)上一动点， 是棱 上一点,若 ，且 的面积是 面积的 9 倍，则三棱锥 体积的最大值是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 如图,在棱长为 的正方体 中, 分别是 上的动点,且 .
(1)求证: ；
(2)当三棱锥 的体积取得最大值时，求平面 与平面 的夹角的正切值.
16. 设 的内角 所对的边分别为 ，且有 .
(1)求角 ；
(2)若 边上的高 ，求 .
17. 设函数 .
(I) 求曲线 在点 处的切线方程;
(II) 设 ,若函数 有三个不同零点,求 的取值范围;
(III) 求证: 是 有三个不同零点的必要而不充分条件.
18. 一盒子中有大小与质地均相同的 20 个小球,其中白球 个,其余为黑球.
(1)当盒中的白球数 时有放回地依次取出 3 个球，求恰有一次取到黑球的概率.
(2)当盒中的白球数 时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用 表示事件“第一次取到白球”,用 表示事件“第二次取到白球”,求 与 ,并判断事件 与 是否独立.
(3)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机抽取 10 个球，若其中恰有 3 个白球, 则获奖, 否则不获奖, 要使参与者获奖的可能性最大、最小, 该同学应该分别如何放置白球的数量 .
19. 如图,椭圆 ,已知 右顶点为 ,且它们的交点分别为 .
(1)求 与 的标准方程；
(2)过点 作直线 ，交 于点 ，交 于点 ，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ,求 ; (上述各点均不重合)
(3)点 是 上的动点，直线 交 于点 ，直线 交 于点 ，直线 交 于点 ,直线 与直线 交于点 ,求点 坐标,使直线 与直线 的斜率之积为定值. (上述各点均不重合)
1. C
,
所以 ,
故选: C
2. A
因为 ,所以 .
因此 .
故选: A
3. B
因为图象向右平移 个单位后,所得图象与原图象重合,故 , 故 ,故正数 的最小值为 2,
故选: B.
4. B
二项式 展开式的通项公式为 , 因此 展开式含 的项为 ,
所以 .
故选: B
5. A
由 ,可得 ,即 ,解得 ,
所以 .
故选: A.
6. B
设 ,
由 得, ,则 ,
由 得, ,
故选: B.
7. C
设经过 小时,有 个正常细菌, 个非正常细菌,
则 .
又 ,所以 ,
则 ,则 ,
所以 是首项为和公差均为 的等差数列,
所以 ,
所以 ,所以 .
故选: C.
8. C
如图所示,因为 ,可得点 为线段 的中点,则 ,
可得 ,
因为直线 是双曲线的渐近线,由双曲线的对称性可知 ,
所以 ,
可得直线 的斜率为 ,则 ,
所以双曲线 的离心率为 2 .
故选: C.
9. BD
对于 ,由 ,得 , A 错误;
对于 ,成绩在区间 内的学生人数为 正确;
对于 ,平均数 , C 错误;
对于 D,低于 90 分的频率为 ,设样本数据的 80% 分位数为 ,
则 ,解得 , 正确.
故选: BD
10. ABD
设 ,则 ,
整理得 ,
故 即 ,
故 在双曲线 上,焦点坐标为 ,实半轴长为 ,
故 表示 到两个焦点的距离差的绝对值,
故 ,故 正确;
即为 到原点的距离，故 大于等于实半轴长，故 ，故 成立，
对于 ,由 可得 ,而 ,
故 ,而 ,故矛盾,故 错误;
对于 ,因为 即为 到原点的距离,由 的分析可得 ,
而 ,故 正确;
故选: ABD.
11. BCD
的极值点为 在 上的变号零点.
即为函数 与函数 图像在 交点的横坐标.
又注意到 时, 时, ,
时, .
据此可将两函数图像画在同一坐标系中, 如下图所示.
对于 ,由图像可知 ,则 ,故 错误;
对于 ,注意到 时, ,
结合图像可知当 ,
当 是函数的极大值点， 是函数的极小值点，故 B 正确，
对于 表示两点 与 间距离，由图像可知， 随着 的增大,两点间距离越来越近,即 为递减.
故 ,化简可得
,故 C 正确;
对于 ,由于 ,
故 ,因此 ,
且 ,故
由于 为单调递减函数, 为单调递增函数,
结合 为单调递增函数,
因此 为单调递增函数,由于 ,
可得 ,故 正确.
故选: BCD
12. 2
,因为 为正实数,则 ,则 ,
故答案为: 2 .
13.
由于函数 是奇函数,函数 为偶函数,
所以 ,
即 ,解得 .
14.
由已知 平面 平面 ,
所以 ,
因为 平面 平面 ,
所以 ,
所以 ，又 ，
所以 ，又 的面积是 面积的 9 倍，
所以 ，
以点 为原点， 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ,
设点 的坐标为 ,则 ,
由已知 ,
所以 ,
所以 ,其中 ,
所以点 的轨迹为以点 为圆心, 为半径的圆在侧面 内的一段圆弧,
过点 作 ,因为 平面 ,
所以 平面 ,即 平面 ,
所以 为三棱锥 的高,
所以三棱锥 的体积 ，
因为 ,
所以 ,
所以当 时, 取最大值,最大值为 ,
所以当 时,三棱锥 体积取最大值,最大值为 .
故答案为: .
15.(1)如下图,构建空间直角坐标系 ,令 且 ,
所以 ,
则 ,故 ,
所以 ,即 .
(2)由(1)可得三棱锥 体积取最大，即 面积
最大,
所以当 时 ,故 为 上的中点,
所以 ,故 ,
若 为平面 的法向量,则 ,令 ,故 , 又面 的法向量为 , 所以 ,
设平面 与平面 的夹角为 ,由图可知 为锐角,则 ,所以
所以 ,
所以平面 与平面 的夹角正切值为 .
16.
(2)
(1)(1)由题意得: ，
则 ,
有 ,即 ,因为 所以 .
(2)(2)由 ，则 ，所以 ，
有 ,则 ,
又 ,则 .
17.(I) 求函数 的导数,根据 求切线方程;
(II) 根据导函数判断函数 的单调性,由函数 有三个不同零点,求 的取值范围;
(III) 从两方面必要性和不充分性证明, 根据函数的单调性判断零点个数.
试题解析: (I) 由 ,得 .
因为 ,
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
(II) 当 时, ,
所以 .
令 ,得 ,解得 或 .
与 在区间 上的情况如下:
( ∞,-2) -2
+ 0 - 0 +
↗ ↗ ↗
所以,当 且 时,存在 ,
,使得 .
由 的单调性知,当且仅当 时,函数 有三个不同零点.
(III) 当 时, ,
此时函数 在区间 上单调递增,所以 不可能有三个不同零点.
当 时， 只有一个零点，记作 .
当 时, 在区间 上单调递增;
当 时, 在区间 上单调递增.
所以 不可能有三个不同零点.
综上所述,若函数 有三个不同零点,则必有 .
故 是 有三个不同零点的必要条件.
当 时, 只有两个不同零点,所以 不是 有三个不同零点的充分条件.
因此 是 有三个不同零点的必要而不充分条件.
18.
(2) ， ，不独立；
(3)当 时，获奖的可能性最大；当 时，获奖的可能性最小.
(1)有放回的抽取，每次抽取到白球的概率为 ，取到黑球的概率为
由 次独立重复试验知,恰有一次取到黑球的概率为 .
(2)当 时,盒中有 6 个白球， 14 个黑球， ， ,则 ,所以事件 与 相互不独立.
(3)从 20 个球中取 10 个球，恰有 3 个白球的概率 ， 设 ,当 时, , ,当 时, 当 时, ,因此 ,
而 ,则 ,
所以当 时,参与者获奖的可能性最大; 当 时,参与者获奖的可能性最小.
19. ;
(2) ；
(3) .
(1) 由题意得, ,又因为 在 上,
代入 得 ,所以 ,则 .
(2)设 ，则 ， 又因为 ,所以 , 则 ,同理可得 ,所以 .
(3)设直线 分别为 ，其斜率依次为 ， 设直线 ,联立 得 ,
即有 ,所以 ,代入直线方程得 ,
则 ,设 ,
则经过 的两直线 之间斜率满足关系: ,
将直线 绕原点顺时针旋转 后也会经过 ,
所以两者斜率满足 ,所以 ,
同理将直线 绕原点顺时针旋转 后也会经过 ,
所以两直线斜率满足 ,
设 ,则有 ,代入上式得: ,
得到 ,
所以 ,因此存在定点 ,
使直线 和直线 的斜率之积为定值 5 .