山东菏泽第一中学人民路校区2026届高三下学期3月学情检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 山东菏泽第一中学人民路校区2026届高三下学期3月学情检测数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 185.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-24 00:00:00 | ||
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文档简介
2026 年 3 月菏泽一中人民路校区高三学情检测数学试题
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知复数 ，则 ( )
A. B. C. D. 1
3. 已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的关系是( )
A. 垂直 B. 共线 C. 夹角为 D. 夹角为
4. 已知函数 是 上的增函数,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 设 分别是椭圆 的左、右焦点,过点 作 轴的垂线交 于 两点,其中点 在第一象限,且 . 若 是 上的动点,则满足 是直角三角形的点 的个数为( )
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
6. 正三棱台 的上、下底边长分别为 6,18,该正三棱台内部有一个内切球(与上、下底面和三个侧面都相切), 则正三棱台的高为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 已知数列 满足 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 所有项恒大于等于
B. 若 ,则 是单调递增数列
C. 若 是常数列,则
D. 若 ,则 是单调递增数列
8. 在平面直角坐标系 中, ,其中 , ,则当 面积最小时, ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项 中, 有多项符合题目要求, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 选错得 0 分.
9. 设样本空间 含有等可能的样本点,且 ,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 斜率为 2 的直线 与双曲线 的两条渐近线交于 两点,与双曲线交于 两点, 是线段 的中点,则下列说法正确的是 ( )
A. 是双曲线两条渐近线所构成的“ ”形图象的方程
B. 也是线段 的中点
C. 若 过双曲线的焦点,则直线 的斜率是
D. 若 过双曲线的焦点,点 的坐标为 ,则
11. 已知 的定义域为非零有理数集,且满足下面三个性质:
① ；
② ；
③ 当 时， ，其中 下列说法正确的是( )
A. 若 ,则
B. 恰有两个整数解
C. 若 ,则 中至少有两个相等
D. 若 ,则
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 ,则 _____.
13. 用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色, 要求每个正四面体四个面颜色各不相同.我们规定:如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式. 那么不同的上色模式共有_____种.
14. 在平面直角坐标系 中,射线 ,半圆 : . 现从点 向上方区域的某方向发射一束光线,光线沿直线传播,但遇到射线 时会发生镜面反射. 设光线在发生反射前所在直线的斜率为 ,若光线始终与半圆 没有交点,则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 份.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 在 中,角 所对的边分别为 ,
(1)求 的外接圆半径；
(2)若 为锐角三角形，求 周长的取值范围.
16. 如图,正方体 的棱长为 1,点 分别在线段 上,且
(1)若 ,证明: ;
( 2 )若 ，点 分别在直线 上，且 ，求 的取值. 范围.
17. 箱子里有四张卡片,分别写有数字1,2,3,4,每次从箱子中随机抽取一张卡片,各卡片被抽到的概率均为 ,记录卡片上的数字,然后将卡片放回箱子. 重复这个操作,直到满足下列条件之一结束:
(a) 第一次抽取的卡片上写的数字是 4 ;
(b) 设 为大于等于 2 的整数,第 次抽取的卡片上写的数字大于第 次抽取的卡片上写的数字.例如,当记录的数字依次为3,2,2,4时,这个操作在第 4 次结束.
(1)若操作进行了 4 次仍未结束，求前四次抽取的情况总数；
(2)求操作在第 次结束的概率.
18. 已知函数 .
(1)设直线 与曲线 交于点 ，求 点纵坐标的最小值；
(2) 取遍全体正实数时，曲线 在坐标平面上扫过一片区域，该区域的下边界为函数 ,求 的解析式;
(3)证明:当 时，对任意正实数 ， . (附: )
19. 在直角坐标系 中,椭圆 经过点 ,短半轴长为 . 过点 作直线 交 于 两点,直线 交 轴于点 ,直线 交 轴于点 ,记直线 的斜率分别为 和 .
(1)求 的标准方程；
(2)证明 是定值，并求出该定值；
(3)设点 ，证明 上存在异于其上下顶点的点 ，使得 恒成立，并求出所有满足条件的 点坐标.
1. B
由题可知 中的元素表示满足 的奇数 , 故 .
故选: B.
2. D
由 .
故选: D
3. B
设已知两个向量的夹角为 ,
由题
,所以 共线.
故选: B.
4. A
因为函数 是 上的增函数,
所以 .
故选: A.
5. C
由题 ,又 .
,即
取上顶点时 最大,此时 .
不会为直角, 只有当 或 是直角才符合题意,
所以由对称性可知满足 是直角三角形的点 的个数为 4 .
故选: C.
6. D
由题可知上下底正三角形的高分别为 , 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心, 故如左图所示作截面,得到右图,设内切球半径为 ,
则有 即 , 所以正三棱台的高为 6 .
故选: D.
7. C
选项: 数列 满足 ,
当 ,可得 选项错误;
B 选项: 若 ,可得 ,且 恒成立,
由 ,又函数 在 上单调递减,
可得 时, ,
时, ,故 不是单调递增数列, 选项错误;
选项: 若 是常数列,即 ,即 ,解得 选项正确;
D 选项: 若 ,可得 ,
则 ,
所以数列 不是单调递增数列, D 选项错误.
8. C
如图所示,
设 ,则 ,
所以由 可得 ,
,
记 ,则 ,
所以 时, ,解得 (舍去) 或 ,
时, ,解得 ,
所以 时 可取最小值,而 ,
所以 .
故选: C.
9. ABD
对于选项 : 因为 ,则 ,
所以 ,故 A 正确;
对于选项 B:因为 ，则 ，
可得 ,
所以 ,故 正确;
对于选项 C: 因为 ,则 ,且 ,
所以 ,故 错误;
对于选项 D:因为 ，则 ，
可得 ,
所以 ,故 D 正确.
故选: ABD.
10. ABD
对于 或 ,这恰为双曲线两条渐近线,故 正确;
对于 B. 设直线方程为 ，分别联立 与 ，
得 和 ,
这两式的两根之和都是 ,所以 中点为同一个,故 正确;
对于 C. 因为 ,
所以 ,
所以直线 的斜率是 ,故 错误;
对于 . 由 选项可知 ,即 ,故 正确.
故选: ABD.
11. AC
A: 令 ,有 ,即 ;
令 ,有 ,即 ;
令 ,有 ,即 是偶函数;
因为
,所以 , A 正确;
B: 假设选项正确,对于任意除 1 和 -1 以外的整数 ,有 ,
即 ,而 ,且 ,
所以 ,矛盾,故 错误.
C: ,所以 , 若 ,结论显然成立;
若 ,则 ,即 或 ,结论依然成立, 正确;
D: ,
错误.
故选: AC
12.
由题得 ,
所以
.
故答案为: .
13. 2
假设一个正四面体四个顶点为 ,则 作底面顶点时,通过旋转,除底面外三个面的朝向有三种, 如图所示:
同理 作底面顶点时也分别有 3 种,一共有 12 种,
即一个正四面体可以通过旋转得到 12 种朝向.
因为四种颜色的排列数有 种,
所以一共有 种不同的上色模式.
故答案为: 2
14.
将半圆依次沿着 作对称,如图所示:
光线在镜面发生反射可以等效处理为: 光线进入了镜子后的空间,
因此问题就转化为光线如何与镜子内外的圆没有交点, 光线变化的范围如图所示.
当光线与 相切时,光线所在直线斜率为 ,
由对称性可知当光线遇射线 时反射光线若与 相切,则入射光线所在直线为 与圆 相切,
当光线与圆 相切但遇射线 时反射光线不与 相切时, 此时 ,所以光线斜率为
当光线与 相切时,光线斜率为 ,
所以由图可知 的取值范围是 .
故答案为: .
15.
(2)
(1) 由 可得
故 ,由于 ,故
由余弦定理得
由于 ,所以 ,
,根据 解得 ,
所以 的外接圆半径为 .
(2)由(1)知， ，
由正弦定理有 ，
所以
,
因为 为锐角三角形,所以 解得 ,
所以 ,则 ,
所以 ,则 .
所以 周长的取值范围为 .
16.(1)连接 ，当 ，则 是 的中点， 是 的中点，
所以 ,
因为 面 面 ,所以 ,
所以 .
(2)以 点为原点， ， 方向为 ， ， 轴正方向建立空间直角坐标系，则
，所以 ，
所以 ,所以 ,
又 ,设直线 的方向向量为 ,
则由 得 ,
取 ,又 ,
所以
由 得 ,
易知 在 单调递减, 单调递增
所以 ,所以 .
17. (1)15;
( 2 )操作在第 次结束的概率为 .
(1)由题意可得若操作进行了 4 次仍未结束, 则前四次抽取的卡片数字可能为: 1111, 2111, 3111, 2211, 3211, 3311, 2221, 3221, 3321, 3331, 2222, 3222, 3322, 3332, 3333, 共有 15 种情况.
(2)设操作在第 次结束的概率为 ，操作在第 次未结束的概率为 .
则当 时， ；当 时， .
接下来我们讨论操作进行了 次,但是并没有结束的情形,抽取的数字结构如下所示:
分别设序列中的3,2,1的个数为 ,可知 .
利用隔板法, 可以知道对应情形的数量, 操作如下:
令 ,即 ,
一共有 种情形,
各情形概率均为 ,所以有 ,
当 时, .
经检验,其对 依然成立,所以 .
18.(1) 时, .
令 ,当且仅当 时等号成立,
所以 点纵坐标的最小值为 .
(2) ，定义域为 ，
令 ,
则 ,
① 当 ，即 时， ， 在 上单调递增，
② 当 ,即 时,由 ,
在 上单调递减,在 上单调递增,
综上所述, .
(3)由第(2)问可知 恒成立，所以只需证明 即可.
①若 ,构造
因为 ,所以 在 上恒成立, 在 上单调递增,所以 , 即 在 上恒成立;
② 若 ,
因为 ,所以
构造 ,则 .
令 ,则 ,所以 在 单调递增,
而 ,所以 恒成立,
在 单调递增, .
因为 ,即 ,
,所以 ,
而 ,即证 在 上恒成立.
19.(1) 由已知得 ,则 的标准方程为 .
(2)将椭圆向右平移 个单位，再向下平移 1 个单位得 ， 即 ,
运用齐次化方法,构造 平移后的直线 ,
设 ,则 过点 ,则 ,
整理得 ,
显然 和 是 的两个根,
,
,得证.
(3)根据角平分线性质，可得 ,设 ，
直线 ,令 ,得 ,同理 ,
代入 ,则 ,
两边平方化简得 ,
即 , 即 ,得 ,即满足条件的轨迹是一个定圆,
联立其和椭圆,得 ,解得 或-5(舍),
综上,椭圆 上存在点 或 使得 恒成立.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知复数 ，则 ( )
A. B. C. D. 1
3. 已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的关系是( )
A. 垂直 B. 共线 C. 夹角为 D. 夹角为
4. 已知函数 是 上的增函数,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 设 分别是椭圆 的左、右焦点,过点 作 轴的垂线交 于 两点,其中点 在第一象限,且 . 若 是 上的动点,则满足 是直角三角形的点 的个数为( )
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
6. 正三棱台 的上、下底边长分别为 6,18,该正三棱台内部有一个内切球(与上、下底面和三个侧面都相切), 则正三棱台的高为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 已知数列 满足 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 所有项恒大于等于
B. 若 ,则 是单调递增数列
C. 若 是常数列,则
D. 若 ,则 是单调递增数列
8. 在平面直角坐标系 中, ,其中 , ,则当 面积最小时, ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项 中, 有多项符合题目要求, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 选错得 0 分.
9. 设样本空间 含有等可能的样本点,且 ,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 斜率为 2 的直线 与双曲线 的两条渐近线交于 两点,与双曲线交于 两点, 是线段 的中点,则下列说法正确的是 ( )
A. 是双曲线两条渐近线所构成的“ ”形图象的方程
B. 也是线段 的中点
C. 若 过双曲线的焦点,则直线 的斜率是
D. 若 过双曲线的焦点,点 的坐标为 ,则
11. 已知 的定义域为非零有理数集,且满足下面三个性质:
① ；
② ；
③ 当 时， ，其中 下列说法正确的是( )
A. 若 ,则
B. 恰有两个整数解
C. 若 ,则 中至少有两个相等
D. 若 ,则
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 ,则 _____.
13. 用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色, 要求每个正四面体四个面颜色各不相同.我们规定:如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式. 那么不同的上色模式共有_____种.
14. 在平面直角坐标系 中,射线 ,半圆 : . 现从点 向上方区域的某方向发射一束光线,光线沿直线传播,但遇到射线 时会发生镜面反射. 设光线在发生反射前所在直线的斜率为 ,若光线始终与半圆 没有交点,则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 份.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 在 中,角 所对的边分别为 ,
(1)求 的外接圆半径；
(2)若 为锐角三角形，求 周长的取值范围.
16. 如图,正方体 的棱长为 1,点 分别在线段 上,且
(1)若 ,证明: ;
( 2 )若 ，点 分别在直线 上，且 ，求 的取值. 范围.
17. 箱子里有四张卡片,分别写有数字1,2,3,4,每次从箱子中随机抽取一张卡片,各卡片被抽到的概率均为 ,记录卡片上的数字,然后将卡片放回箱子. 重复这个操作,直到满足下列条件之一结束:
(a) 第一次抽取的卡片上写的数字是 4 ;
(b) 设 为大于等于 2 的整数,第 次抽取的卡片上写的数字大于第 次抽取的卡片上写的数字.例如,当记录的数字依次为3,2,2,4时,这个操作在第 4 次结束.
(1)若操作进行了 4 次仍未结束，求前四次抽取的情况总数；
(2)求操作在第 次结束的概率.
18. 已知函数 .
(1)设直线 与曲线 交于点 ，求 点纵坐标的最小值；
(2) 取遍全体正实数时，曲线 在坐标平面上扫过一片区域，该区域的下边界为函数 ,求 的解析式;
(3)证明:当 时，对任意正实数 ， . (附: )
19. 在直角坐标系 中,椭圆 经过点 ,短半轴长为 . 过点 作直线 交 于 两点,直线 交 轴于点 ,直线 交 轴于点 ,记直线 的斜率分别为 和 .
(1)求 的标准方程；
(2)证明 是定值，并求出该定值；
(3)设点 ，证明 上存在异于其上下顶点的点 ，使得 恒成立，并求出所有满足条件的 点坐标.
1. B
由题可知 中的元素表示满足 的奇数 , 故 .
故选: B.
2. D
由 .
故选: D
3. B
设已知两个向量的夹角为 ,
由题
,所以 共线.
故选: B.
4. A
因为函数 是 上的增函数,
所以 .
故选: A.
5. C
由题 ,又 .
,即
取上顶点时 最大,此时 .
不会为直角, 只有当 或 是直角才符合题意,
所以由对称性可知满足 是直角三角形的点 的个数为 4 .
故选: C.
6. D
由题可知上下底正三角形的高分别为 , 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心, 故如左图所示作截面,得到右图,设内切球半径为 ,
则有 即 , 所以正三棱台的高为 6 .
故选: D.
7. C
选项: 数列 满足 ,
当 ,可得 选项错误;
B 选项: 若 ,可得 ,且 恒成立,
由 ,又函数 在 上单调递减,
可得 时, ,
时, ,故 不是单调递增数列, 选项错误;
选项: 若 是常数列,即 ,即 ,解得 选项正确;
D 选项: 若 ,可得 ,
则 ,
所以数列 不是单调递增数列, D 选项错误.
8. C
如图所示,
设 ,则 ,
所以由 可得 ,
,
记 ,则 ,
所以 时, ,解得 (舍去) 或 ,
时, ,解得 ,
所以 时 可取最小值,而 ,
所以 .
故选: C.
9. ABD
对于选项 : 因为 ,则 ,
所以 ,故 A 正确;
对于选项 B:因为 ，则 ，
可得 ,
所以 ,故 正确;
对于选项 C: 因为 ,则 ,且 ,
所以 ,故 错误;
对于选项 D:因为 ，则 ，
可得 ,
所以 ,故 D 正确.
故选: ABD.
10. ABD
对于 或 ,这恰为双曲线两条渐近线,故 正确;
对于 B. 设直线方程为 ，分别联立 与 ，
得 和 ,
这两式的两根之和都是 ,所以 中点为同一个,故 正确;
对于 C. 因为 ,
所以 ,
所以直线 的斜率是 ,故 错误;
对于 . 由 选项可知 ,即 ,故 正确.
故选: ABD.
11. AC
A: 令 ,有 ,即 ;
令 ,有 ,即 ;
令 ,有 ,即 是偶函数;
因为
,所以 , A 正确;
B: 假设选项正确,对于任意除 1 和 -1 以外的整数 ,有 ,
即 ,而 ,且 ,
所以 ,矛盾,故 错误.
C: ,所以 , 若 ,结论显然成立;
若 ,则 ,即 或 ,结论依然成立, 正确;
D: ,
错误.
故选: AC
12.
由题得 ,
所以
.
故答案为: .
13. 2
假设一个正四面体四个顶点为 ,则 作底面顶点时,通过旋转,除底面外三个面的朝向有三种, 如图所示:
同理 作底面顶点时也分别有 3 种,一共有 12 种,
即一个正四面体可以通过旋转得到 12 种朝向.
因为四种颜色的排列数有 种,
所以一共有 种不同的上色模式.
故答案为: 2
14.
将半圆依次沿着 作对称,如图所示:
光线在镜面发生反射可以等效处理为: 光线进入了镜子后的空间,
因此问题就转化为光线如何与镜子内外的圆没有交点, 光线变化的范围如图所示.
当光线与 相切时,光线所在直线斜率为 ,
由对称性可知当光线遇射线 时反射光线若与 相切,则入射光线所在直线为 与圆 相切,
当光线与圆 相切但遇射线 时反射光线不与 相切时, 此时 ,所以光线斜率为
当光线与 相切时,光线斜率为 ,
所以由图可知 的取值范围是 .
故答案为: .
15.
(2)
(1) 由 可得
故 ,由于 ,故
由余弦定理得
由于 ,所以 ,
,根据 解得 ,
所以 的外接圆半径为 .
(2)由(1)知， ，
由正弦定理有 ，
所以
,
因为 为锐角三角形,所以 解得 ,
所以 ,则 ,
所以 ,则 .
所以 周长的取值范围为 .
16.(1)连接 ，当 ，则 是 的中点， 是 的中点，
所以 ,
因为 面 面 ,所以 ,
所以 .
(2)以 点为原点， ， 方向为 ， ， 轴正方向建立空间直角坐标系，则
，所以 ，
所以 ,所以 ,
又 ,设直线 的方向向量为 ,
则由 得 ,
取 ,又 ,
所以
由 得 ,
易知 在 单调递减, 单调递增
所以 ,所以 .
17. (1)15;
( 2 )操作在第 次结束的概率为 .
(1)由题意可得若操作进行了 4 次仍未结束, 则前四次抽取的卡片数字可能为: 1111, 2111, 3111, 2211, 3211, 3311, 2221, 3221, 3321, 3331, 2222, 3222, 3322, 3332, 3333, 共有 15 种情况.
(2)设操作在第 次结束的概率为 ，操作在第 次未结束的概率为 .
则当 时， ；当 时， .
接下来我们讨论操作进行了 次,但是并没有结束的情形,抽取的数字结构如下所示:
分别设序列中的3,2,1的个数为 ,可知 .
利用隔板法, 可以知道对应情形的数量, 操作如下:
令 ,即 ,
一共有 种情形,
各情形概率均为 ,所以有 ,
当 时, .
经检验,其对 依然成立,所以 .
18.(1) 时, .
令 ,当且仅当 时等号成立,
所以 点纵坐标的最小值为 .
(2) ，定义域为 ，
令 ,
则 ,
① 当 ，即 时， ， 在 上单调递增，
② 当 ,即 时,由 ,
在 上单调递减,在 上单调递增,
综上所述, .
(3)由第(2)问可知 恒成立，所以只需证明 即可.
①若 ,构造
因为 ,所以 在 上恒成立, 在 上单调递增,所以 , 即 在 上恒成立;
② 若 ,
因为 ,所以
构造 ,则 .
令 ,则 ,所以 在 单调递增,
而 ,所以 恒成立,
在 单调递增, .
因为 ,即 ,
,所以 ,
而 ,即证 在 上恒成立.
19.(1) 由已知得 ,则 的标准方程为 .
(2)将椭圆向右平移 个单位，再向下平移 1 个单位得 ， 即 ,
运用齐次化方法,构造 平移后的直线 ,
设 ,则 过点 ,则 ,
整理得 ,
显然 和 是 的两个根,
,
,得证.
(3)根据角平分线性质，可得 ,设 ，
直线 ,令 ,得 ,同理 ,
代入 ,则 ,
两边平方化简得 ,
即 , 即 ,得 ,即满足条件的轨迹是一个定圆,
联立其和椭圆,得 ,解得 或-5(舍),
综上,椭圆 上存在点 或 使得 恒成立.
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