陕西渭南市普通高中联盟2025-2026学年高二下学期阶段性检测（一）数学试卷（含答案）

渭南市普通高中联盟 2025-2026 学年第二学期阶段检测(一) 高二数学试题
注意事项:
1. 本试题共 4 页, 满分 150 分, 时间 120 分钟。
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
3. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第 I 卷(选择题 共 58 分)
一、单项选择题(本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求)
1. 为提升居住品质，渭南市临渭区万科城小区业委会制定了一个为期 5 周的“公共设施微更新计划”，第 5 周投入的资金是第 1 周的 2 倍; 这 5 周累计投入的总资金为 60 万元。则该小区在第 2 周用于设施改造的 资金是 ( )
A. 6 万 B. 8 万 C. 10 万 D. 12.5 万
2. 等差数列 的第 9 项为( )
A. 20 B. 22 C. 18 D. 26
3. 西岳华山北峰索道在晚高峰实行 “分批放行” 策略。第 1 批次放行 32 人；每一批次的人数都是上一批次的一半，当某批次计算人数不足 1 人时，该批次停止放行，该策略下实际通过索道的游客总人数是( )
A. 62 B. 63 C. 64 D. 65
4. 韩城司马迁祠内有一座 4 层仿古灯塔, 顶层悬挂 2 盏宫灯, 且每下一层灯数是上一层的平方加 1 倍问整座塔共悬挂多少盏灯 ( )
A. 710 B. 711 C. 712 D. 713
5. 已知数列 满足对任意的 ,都有 . 若 ,则 ( )
A. 8 B. 18 C. 20 D. 27
6. 已知等比数列 ,其公比 ,则 的最小值为 ( )
A. 2 B. C. D.
7. 已知函数 ，其中 的零点个数为 ，则 ( )
A. 10 B. 20 C. 55 D. 15
8. 有一系列点 ,每一个点 均位于抛物线 的图象上. 点 为抛物线的焦点,以点 为圆心的 都与 轴相切,且 与 外切. 若 , 且 的前 项之和为 ,则以下说法正确的是 ( )
A. B. 是等比数列
C. D.
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。每小题有多个选项符合题目要求，全 部选对得 6 分，选对但不全得部分分，有选错的得 0 分)
9. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数, 他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类,将图中的 称为六边形数,将六边形数按从小到大的顺序排成数列 , 则( )
6
6
28
A. B.
C. 不是等比数列 D.
10. 已知等差数列 的公差为 ,其前 项和为 ,且 ,则( )
A. B.
C. 若 ，则 D. 若 ,则
11. 已知半径为 的圆 与射线 轴正半轴均相切,半径是 的圆 与射线 轴正半轴均相切,且与圆 外切,则下列结论的是 ( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则数列 是公比为 2.24 的等比数列
C. 若 ,则点 的坐标为
D. 若 ，则数列 的前 项和小于
第 II 卷(非选择题 共 92 分)
三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 已知等差数列 的公差为 . 数列 满足 ,设 的前 项和为 , 则 _____
13. 已知数列 满足 ，则 _____.
14. 粗细都是 lcm 的一组圆环依次相扣,悬挂在某处,最上面圆环的外直径是 ,每个圆环的外直径皆比它上面的圆环的外直径少 1cm，则从上向下数第 4 个环底部与第 2 个环顶部距离是_____；记从上向下数第 个环底部与第一个环顶部距离是 ，则 _____.
四、解答题:(本题共 5 小题, 共 77 分; 15 题 13 分; 16-17 题 15 分; 18-19 题 17 分; 解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤)
15. 已知各项均为正数的数列 ,满足 .
(1)求 ；
(2)设数列 满足 ，记其前 项和为 ，且 ，求 .
16. 设数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
17. 已知 为正项数列 的前 项和,且 .
(1)求 的通项公式.
(2)已知数列 满足: ， ， .
(i) 求 .
(ii) 证明: .
(iii) 若 ,求 的取值范围.
18. 已知数列 满足 .
(1)证明:求 的值，并证明数列 为等比数列；
(2) 设 ，求数列 的前 项和 ；
(3) 设 ，求证: .
19. 如图，一动点 从点 出发，在正方形 的各顶点上移动. 每次移动时，动点 有 的概率沿水平方向向左或右移动一次,有 的概率沿竖直方向向上或下移动一次,每次移动独立. 设动点 移动了 步之后,停在点 的概率为 .
(1) 求 ;
(2)求 的通项公式；
(3)记点 的前 次移动中，到达过点 的次数为 ，求证: .
参考公式: 若随机变量 服从两点分布且 ,则
渭南市普通高中 2025-2026 学年第二学期阶段检测(一) 高二数学试题 参考答案
第 I 卷 (选择题 共 58 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B A C B A D BC BD
题号 11
答案 AD
第 II 卷 (非选择题 共 92 分)
三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. -20
13. 21
14. 分 分
15. (1)
(2) .
(1)将 代入递推式，配方得 ，推出 ，可得 的公比，进而求得 的通项公式:
(2)由 表达式得连续四项和，代入 得 ，结合 枚举出唯一解 ,再代入具体项计算比值.
(1)由题意得 ，则有 ，(2 分)整理得 ，(3 分) 即 ，两边同时平方，得 ，(5 分)即 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列,(6 分) 所以 . (7 分)
(2) ,
则 ,(8 分)
即 ,(9 分)
所以 ,(10 分)
若 ,则 ,显然不成立,
若 ,即 ,
此时若: ,则 ,亦不成立,
故 ,于是 ,
若 ,不成立,
所以 ,
综上 分)
所以 . (12 分) 故 . (13 分)
16.
(2)
(1)根据递推公式进行整理得到数列通项公式即可.
(2)通过对所需要的数列的通项公式进行裂项，运用裂项相消的方法求和即可.
(1)当 时， ，得 . (3 分)
当 时, ,(5 分)
,(7 分)
两式相减得 ,则 . (8 分)
当 时, 符合上式,(9 分)
所以 . (10 分)
(2)由(1)得 ，(12 分)
所以 ，(14 分) 故 . (15 分)
17.
(2) (i) ; (ii) 证明见解析; (iii)
(1)由 与 关系推导证明 是等比数列，进而求出其通项公式；
(2)(i)通过 与条件 矛盾分析确定的 值；(ii)推导证明 与 的关系；
(iii) 利用等比数列通项得到 ,结合 的不等式求解 的范围.
(1)将 代入 ，得 . (1 分)
由 ,得 ,(2 分)
两式相减得 ,即 ,(3 分)
因为 为正项数列,所以 ,则 为等比数列,且首项和公比均为 ,
所以 . (4 分)
(2)(i) ,若 ,则 ,得 ,这与 矛盾,
所以 ,则 ,又 ,所以 ,得 .
同理得 ,(6 分)
又因为 ,所以 ,所以 . (7 分)
(ii) 证明: ,又 ,所以 .
得 ,即 . (9 分)
(iii) 因为 , 所以 .
,(10 分)
因为 ,所以 ,即 ,
由 ,且
分
可得 ,又 ,所以 ，(12 分)
所以数列 是以 为首项，2 为公比的等比数列. (13 分)
因为 ,所以 ,(14 分)
若 ,则 ,即 ,
解得 . (15 分)
18.
(1)根据递推公式及等比数列的定义证明即可;
(2)由(1)求出 ，即可求出 ，从而得到 ，利用错位相减法计算可得；
(3)由数列的通项公式可得 ，利用放缩法即可得到 ，再利用裂项相消法即可证明.
(1)当 时,可得 ,(2 分)
当 时,可得 ,(3 分)
因为
所以 ， (5 分)所以数列 为首项为 1，公比为 4 的等比数列.
(2)由(1)得 ，
则 ,
所以 ，(7 分)
所以 ,
则 ,
所以
,(12 分)
即 ; (13 分)
(3)因为
,(15 分)
所以 ，即命题得证. (17 分)
19.(1)设事件 表示第 次沿水平方向移动，事件 表示第 次沿竖直方向移动，
,(1 分)
,(2 分)
另一种计算 的方法:
四次移动中，两次水平移动和两次竖直移动的概率为 ；
四次移动中,全部水平移动的概率为 ;
四次移动中,全部竖直移动的概率是 ; (5 分)
相加得 . (6 分)
(2)设连续移动两步，动点位置变化的概率为 ，动点位置不变的概率为
则 ; (7 分)
根据全概率公式, ,(8 分)
则 ，(9 分)
因为 ，所以 ，
所以 . (11 分)
(3)设移动 步之后，动点停留在点 的概率为 ，
则根据全概率公式, ,
又因为 ，所以 ， ，(13 分)
设随机变量 满足: ① 当移动 步之后,动点停留在点 ，则 ；(14 分)
② 当移动 步之后，动点不停留在点 ，则 ；
显然 服从两点分布,且 ,(15 分)
所以 . (17 分)