2025-2026学年下学期山东九五协作体高三数学3月学习质量评估试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期山东九五协作体高三数学3月学习质量评估试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 58.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-24 00:00:00 | ||
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文档简介
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高三年级 3 月学习质量综合评估 数 学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知 为实数，虚数1-i 是方程 的根，则 的值为
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
2. 已知集合 ，则 中元素的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知 为向量，则 “ ” 是 “ 或 ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若 ,则
A. B.
C. D.
5. 除以 7 所得的余数为
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
6. 已知 ,则
A. B. C. D.
7. 已知 为两两不相等的正数，设函数 ，则
A. 没有零点 B. 有唯一零点
C. 至多有一个零点 D. 至少有一个零点
8. 将两个球放入棱长为 1 的正方体中，则这两个球体积和的最大值为
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项 中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分。
9. 已知一组数据 的平均数为 5 ，方差为 2，则该组数据的
A. 极差可能为 1 B. 众数可能为 5
C. 中位数可能为 5 D. 第 25% 分位数可能为 3
10. 高斯函数 又称为下取整函数. 表示不超过 的最大整数,比如 . 设 ,则
A. 是奇函数 B. 是周期函数
C. 的值域为 D. 方程 有且仅有 2 个实数根
11. 已知 是椭圆 上任意一点， 分别为 的长轴、 短轴. 若 为坐标原点,直线 ,则
A. 为 的对称中心 B. 与 有两个公共点
C. 到 的距离的最大值为 D. 四边形 的面积为 8
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 若 为偶函数，则实数 的值为_____.
13. 已知点 分别在曲线 和 上运动，则 的最小值为_____.
14. 已知 为集合 的非空子集，满足:
① ；
② 中元素均为奇数， 中元素均为偶数；
③ 中所有元素的和分别记为 ，且 .
则正整数 的最小值为_____。
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 的值；
(2)求 的面积.
16. (15分)
如图，直三棱柱 中， .
(1)证明: ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. (15 分)
已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)关于 的方程 有三个实根 , 且 ,求 的取值范围.
18.(17分)
甲乙两人玩游戏,甲有标号为 的 张卡片,乙有标号为1,2,3, 的 张卡片. 规则如下: 甲乙交替从对方手中抽取一张卡片,甲先抽；若抽到的卡片数字与自己手中的某张卡片数字相同，则将这两张卡片丢弃， 否则，将抽到卡片放入自己手中；当有一位玩家手中没有卡片时，该玩家获胜， 游戏结束.
(1)已知 ，记 为游戏结束时，甲乙双方抽取的次数和. 对于正整数 ， 求 ,并根据 ,求 .
(2)记甲有 张卡片，乙有 张卡片时，甲获胜的概率为 。
(i) 求 ; (ii) 求 .
19.(17分)
已知 为双曲线 右支上一点， 为坐标原点，曲线 在 处的切线 与 的两条渐近线分别交于 两点 位于第一象限),当 的坐标为 时, 的面积为 4 .
(1)求 的方程；
(2)记线段 的中点为 ，过 作直线 ，交两条渐近线于 ， 两点
( 位于第一象限)，记 的面积 .
(i) 证明: 为定值;
(ii) 过 作渐近线的平行线交直线 于点 ，过 作直线 ，交两条渐近线于 ， 两点( 位于第一象限)；过 作渐近线的平行线交直线 于点 ，过 作直线 ，交两条渐近线于 ， 两点( 位于第一象限)，依此类推,过 作渐近线的平行线交直线 于点 ,过 作直线 ,交两条渐近线于 两点 位于第一象限 ; 记 的面积为 . 证明: .
参考公式:
①若向量 ，则 的面积为 ；
②过双曲线 上一点 的切线方程为 .
高三年级 3 月学习质量综合评估 数学试题参考答案及评分标准
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B D D C C D
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 BC BD ACD
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. .
四、解答题:共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.
(1)因为 ，所以由正弦定理得 . 2 分因为 ,所以 ,
所以 , 4 分
所以 ,所以 . 6 分
(2)因为 ，所以 . 8 分
所以 .
所以 , 11 分
所以 . 所以 的面积为 . 13 分
16.
(1)不妨设 ，则 ，
所以 ,所以 : 1 分
因为 为直三棱柱,所以 平面 ,
平面 ,所以 :
又 ,所以 平面 : 3 分
因为 平面 ,所以 .
因为 为正方形,所以 ,
又 ,所以 平面 , 6 分
因为 平面 ,所以 . 7 分
(2)以 为坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ,
所以 . 8 分
设 分别为平面 的法向量,
则 ,即 ,取 ,则 ,
所以 : 10 分
设 分别为平面 的法向量,
则 ,即 ,取 ,则 ,
所以 : 12 分
所以 , 所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
17.
(1)当 时, , 2 分
4 分
所以函数 在 的切线方程为 . 5 分
( 2 )当 时， ，在 单调递增，当 时， .
方程 ①有三个不同的实数解 ，
且 .
若 ,则 ,
此时方程①任意三个实数解之和必大于 0，不符合题意: 7 分若 ,
当 时,方程①可竖理为 ②至多两个负数解,
当 时,方程①即为 ③至多一个非负解.
所以方程②有两个不同的实数解 ,
且 ,
因为方程③有非负解 ,
由 ,可知 . 10 分
由 ,得 .
方程②变为 ，
由判别式 ,并结合 ,
可知 .
经检验,此时 为负数,符合题意.
综上,实数 的取值范围是 . 15 分
18.
(1)由题意可知 , 2 分
所以 , 4 分
所以 .
6 分
(2)(i)由题意可知 ，
所以 . 9 分
(ii) 因为 ,所以 , 10 分
又因为 , 11 分
所以 ,
所以 ,
所以数列 的奇数项与偶数项都是
公差为 1 的等差数列, 12 分
又因为 ,
所以当 为奇数时, ,
所以 : 14 分
所以当 为偶数时, ,
所以 : 16 分
综上: 17 分
19.
(1)因为当 的坐标为 时， 的面积为 4，
所以 ,解得 ,
所以双曲线 的方程为 . 4 分
(2)(i)双曲线 的渐近线方程为 ，设 ，
由题意可知 ,
由 ,解得 ,
由 ,解得 , 6 分
因为 为线段 的中点,
所以 ,
命题得证. 9 分
(ii) 由 ,解得 ,
由 ,解得 ,
过 作渐近线的平行线方程为: ,直线 ,
由 ,解得 , 12 分
所以 为线段 的中点,则 ,
以此类推可知 , 所以 , 15 分所以数列 为首项为 1,公比为 的等比数列,
所以 . 17 分
高三年级 3 月学习质量综合评估 数 学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知 为实数，虚数1-i 是方程 的根，则 的值为
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
2. 已知集合 ，则 中元素的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知 为向量，则 “ ” 是 “ 或 ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若 ,则
A. B.
C. D.
5. 除以 7 所得的余数为
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
6. 已知 ,则
A. B. C. D.
7. 已知 为两两不相等的正数，设函数 ，则
A. 没有零点 B. 有唯一零点
C. 至多有一个零点 D. 至少有一个零点
8. 将两个球放入棱长为 1 的正方体中，则这两个球体积和的最大值为
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项 中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分。
9. 已知一组数据 的平均数为 5 ，方差为 2，则该组数据的
A. 极差可能为 1 B. 众数可能为 5
C. 中位数可能为 5 D. 第 25% 分位数可能为 3
10. 高斯函数 又称为下取整函数. 表示不超过 的最大整数,比如 . 设 ,则
A. 是奇函数 B. 是周期函数
C. 的值域为 D. 方程 有且仅有 2 个实数根
11. 已知 是椭圆 上任意一点， 分别为 的长轴、 短轴. 若 为坐标原点,直线 ,则
A. 为 的对称中心 B. 与 有两个公共点
C. 到 的距离的最大值为 D. 四边形 的面积为 8
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 若 为偶函数，则实数 的值为_____.
13. 已知点 分别在曲线 和 上运动，则 的最小值为_____.
14. 已知 为集合 的非空子集，满足:
① ；
② 中元素均为奇数， 中元素均为偶数；
③ 中所有元素的和分别记为 ，且 .
则正整数 的最小值为_____。
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 的值；
(2)求 的面积.
16. (15分)
如图，直三棱柱 中， .
(1)证明: ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. (15 分)
已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)关于 的方程 有三个实根 , 且 ,求 的取值范围.
18.(17分)
甲乙两人玩游戏,甲有标号为 的 张卡片,乙有标号为1,2,3, 的 张卡片. 规则如下: 甲乙交替从对方手中抽取一张卡片,甲先抽；若抽到的卡片数字与自己手中的某张卡片数字相同，则将这两张卡片丢弃， 否则，将抽到卡片放入自己手中；当有一位玩家手中没有卡片时，该玩家获胜， 游戏结束.
(1)已知 ，记 为游戏结束时，甲乙双方抽取的次数和. 对于正整数 ， 求 ,并根据 ,求 .
(2)记甲有 张卡片，乙有 张卡片时，甲获胜的概率为 。
(i) 求 ; (ii) 求 .
19.(17分)
已知 为双曲线 右支上一点， 为坐标原点，曲线 在 处的切线 与 的两条渐近线分别交于 两点 位于第一象限),当 的坐标为 时, 的面积为 4 .
(1)求 的方程；
(2)记线段 的中点为 ，过 作直线 ，交两条渐近线于 ， 两点
( 位于第一象限)，记 的面积 .
(i) 证明: 为定值;
(ii) 过 作渐近线的平行线交直线 于点 ，过 作直线 ，交两条渐近线于 ， 两点( 位于第一象限)；过 作渐近线的平行线交直线 于点 ，过 作直线 ，交两条渐近线于 ， 两点( 位于第一象限)，依此类推,过 作渐近线的平行线交直线 于点 ,过 作直线 ,交两条渐近线于 两点 位于第一象限 ; 记 的面积为 . 证明: .
参考公式:
①若向量 ，则 的面积为 ；
②过双曲线 上一点 的切线方程为 .
高三年级 3 月学习质量综合评估 数学试题参考答案及评分标准
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B D D C C D
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 BC BD ACD
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. .
四、解答题:共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.
(1)因为 ，所以由正弦定理得 . 2 分因为 ,所以 ,
所以 , 4 分
所以 ,所以 . 6 分
(2)因为 ，所以 . 8 分
所以 .
所以 , 11 分
所以 . 所以 的面积为 . 13 分
16.
(1)不妨设 ，则 ，
所以 ,所以 : 1 分
因为 为直三棱柱,所以 平面 ,
平面 ,所以 :
又 ,所以 平面 : 3 分
因为 平面 ,所以 .
因为 为正方形,所以 ,
又 ,所以 平面 , 6 分
因为 平面 ,所以 . 7 分
(2)以 为坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ,
所以 . 8 分
设 分别为平面 的法向量,
则 ,即 ,取 ,则 ,
所以 : 10 分
设 分别为平面 的法向量,
则 ,即 ,取 ,则 ,
所以 : 12 分
所以 , 所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
17.
(1)当 时, , 2 分
4 分
所以函数 在 的切线方程为 . 5 分
( 2 )当 时， ，在 单调递增，当 时， .
方程 ①有三个不同的实数解 ，
且 .
若 ,则 ,
此时方程①任意三个实数解之和必大于 0，不符合题意: 7 分若 ,
当 时,方程①可竖理为 ②至多两个负数解,
当 时,方程①即为 ③至多一个非负解.
所以方程②有两个不同的实数解 ,
且 ,
因为方程③有非负解 ,
由 ,可知 . 10 分
由 ,得 .
方程②变为 ，
由判别式 ,并结合 ,
可知 .
经检验,此时 为负数,符合题意.
综上,实数 的取值范围是 . 15 分
18.
(1)由题意可知 , 2 分
所以 , 4 分
所以 .
6 分
(2)(i)由题意可知 ，
所以 . 9 分
(ii) 因为 ,所以 , 10 分
又因为 , 11 分
所以 ,
所以 ,
所以数列 的奇数项与偶数项都是
公差为 1 的等差数列, 12 分
又因为 ,
所以当 为奇数时, ,
所以 : 14 分
所以当 为偶数时, ,
所以 : 16 分
综上: 17 分
19.
(1)因为当 的坐标为 时， 的面积为 4，
所以 ,解得 ,
所以双曲线 的方程为 . 4 分
(2)(i)双曲线 的渐近线方程为 ，设 ，
由题意可知 ,
由 ,解得 ,
由 ,解得 , 6 分
因为 为线段 的中点,
所以 ,
命题得证. 9 分
(ii) 由 ,解得 ,
由 ,解得 ,
过 作渐近线的平行线方程为: ,直线 ,
由 ,解得 , 12 分
所以 为线段 的中点,则 ,
以此类推可知 , 所以 , 15 分所以数列 为首项为 1,公比为 的等比数列,
所以 . 17 分
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