2025-2026学年下学期河南南阳高一数学3月第一次教学检测试卷（含答案）

高一数学学科春期第一次教学检测
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.)
1. 若角 的终边经过点 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 计算 的结果为( )
A. B. C. D.
3. 下列关于向量的说法中，错误的是( )
A. 若向量 互为相反向量，则
B. 若 ,则
C. 若两个相等向量的起点相同, 则它们的终点一定相同
D. 若 与 是共线向量, 则 三点共线
4. 以下变换中,能将函数 的图象变为函数 的图象的是 ( )
A. 每个点的横坐标缩短为原来的 ，再向左平移 个单位长度
B. 每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍,再向左平移 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的
D. 向右平移 个单位长度,再将每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍
5. (课本 P52B3 变式) 已知函数① ，② ，③ ，④ ， ⑤ ，则下列选项中同时满足( 1 )是偶函数，( 2 )最小正周期是 ，( 3 )对称轴相同这三个条件的是( )
A. ①②⑤ B. ①③④ C. ②③⑤ D. ③④⑤
6. 函数 的单调递减区间和值域分别为( )
A. B.
C. D.
7. (滚动) 已知函数 ,将 图象上点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变),再将所得图象向右平移 个单位长度,得到函数 的图象. 若 ,总存在唯一实数 ,使得 ,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 的部分图象如图所示,若函数 的图象关于 轴对称，则 的最小值为( )
A. B. C. D. 1
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.)
9. 下列说法正确的是( )
A. 周期函数不一定有最小正周期
B. 若 为第二象限角,则 为第四象限角
C. 终边经过点 的角的集合是
D. 若一扇形的圆心角为 4 , 圆心角所对应的弦长为 2,则此扇形的面积为
10. 已知函数 在 上单调,且 在 上恰有 2 个零点, 则下列结论不正确的是( )
A. 的取值范围是
B. 在 上单调递增
C. 的图象在 上恰有 2 条对称轴
D. 函数 在 上可能有 3 个零点
11. 已知 是表示不超过 的最大整数 (比如: )，则下列说法错误的是 ( )
A. 函数 是周期函数，最小正周期是
B. 函数 是周期函数，最小正周期是
C. 若函数 ,则 的值域是
D. 当 时,函数 的零点有 5 个
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12.(滚动)若 ，则 的大小关系是_____.
13. 已知关于 的方程 在 上有解,则实数 的取值范围为_____.
14. 已知函数 的定义域均为 是偶函数,且 ，若 ，则 _____.
四、解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
15. (课本 P12 练习 3)
(1)已知扇形的周长为 ，面积为 ，求扇形圆心角的弧度数.
(2)一个扇形的周长为 ，当扇形的圆心角 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.
16.(1)已知 ，且 ，求 的值；
(2)在平面直角坐标系中，以 轴的非负半轴为角的始边，如果角 的终边与单位圆交于点 ,角 的终边所在射线经过点
求 .
17. 某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据，如下表:
0
- 6
(1)求函数 的解析式；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值；
(3)将 图象上的所有点向右平移 个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变),得到函数 的图象. 的图象关于 中心对称,求 的最小值.
18. 深圳半程马拉松是国内知名赛事，已知某选手在“半马”中的心率变化分为“匀速跑心率上升” 和“冲刺跑心率波动”两个阶段，具体如下:总运动时长为 90 分钟，记起跑时刻为 (单位: 分钟). 当 时，为“匀速跑心率上升”阶段，心率从最低心率 60 次/分钟开始，按振幅为 45 次/ 分钟的正弦函数规律逐渐上升,当 时达到最高心率 150 次/ 分钟; 当 时, 为“冲刺跑心率波动”阶段，心率波动的最小正周期为 10 分钟，最高心率为 180 次/ 分钟，当 时,心率为 150 次/分钟且呈上升趋势. 设该选手的心率(单位:次/分钟)关于时间 (单位: 分钟) 的函数为 其中 .
(1)求 的解析式；
(2)已知 ， ，且 “高效燃脂区间”为120-170次/分钟，求该选手在 “高效燃脂区间”内的运动时长;
19. 已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求函数 的解析式；
( 2 )求关于 的方程 在 上所有的实数根之和；
(3)当 时，关于 的方程 恰有 3 个不同实根，求实数 的取值范围.
数学学科春期第一次教学检测 答案
A 点 到原点的距离为 ，所以
2.【答案】A . 故选:A
3.【答案】B 由向量 互为相反向量,得 的长度相等,即 ,则 正确; 当 时,向量 可以不平行,则 错误; 由 ,得表示向量 的有向线段的长度和方向都相同. 由两个相等向量的起点相同，得这两个向量的终点一定相同，则 C 正确；由 ，且有公共点 ，得 三点共线，则 正确. 故选:
4.【答案】B
结合三角函数图象变换，依次画出①②③④⑤的函数图象，
图1
图2
图5
图3
图4
由图象可知，②⑤不是周期函数，故②⑤不符合；①③④均为偶函数，最小正周期为 ，对称轴为 ,符合所有条件. 故选:
6.【答案】D 由题 ,则 ,即 ,又 为 上的增函数,且 ,所以所求函数值域为 ; 函数 的单调递减区间即为函数 在 上的减区间,所以 ,解得所求单调递减区间为 . 故选: D
7.【答案】B 将 图象上点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变),再将所得图象向右平移 个单位长度,可得: ,当 ,可得 ,则 , 因为存在唯一实数 ,使得 ,即 是 的子集,且 唯一,由 图像可知, , ，所以实数 的取值范围为
8.【答案】D 由图可知 ,则 ,所以 ,又 ,又由图可知 ,根据五点法作图原理,得 ,解得 ,从而 的图象关于 轴对称, 为偶函数, ,所以 . 故选: D.
9.【答案】ABD 对于 A，函数 是周期函数，但没有最小正周期，故 A 正确； 对 因为 为第二象限角,所以 ,所以 ,所以 ,所以 为第四象限角. 故 正确; 对 : 当 时,终边经过点 的角的集合是 ; 当 时,终边经过点 的角的集合是 . 故 C 错误; 对 D: 由题意可得,扇形的半径 ,所以扇形面积为: ,故 D 正确. 故选: ABD
10.【答案】 选项， 时， ，因为 在 上单调,所以 时, 在 上恰有 2 个零点,故 ,由 ,解得 ,则 不正确; 选项,当 时, ,因为 ,所以 ,所以 ,所以 在 上单调递增,则 正确; 选项,当 时,由 ,得 ,则 的图象在 上恰有 3 条对称轴, 故 不正确; D 选项,由 ,得 ,因为 , 所以 ,则 在 上恰有 2 个零点,故 D 错误.故选: ACD
对于 ,因为 的最小正周期是 ,即
,所以 ,所以函数 是周期函数,最小正周期是 ,故 正确; 对于 ,因为 则
,所以 不是函数 的最小正周期,故 错误; 对于 ,因为 ,所以 , 所以当 时， ；当 时， ，则 ，故 C 正确; 对于 D,函数 的零点就是函数 与 的图象的交点,其中,函数 是周期为 1 的函数,其值域为 ,当 时,函数 与 的图象如下,
由图象可知,它们在 内有 6 个交点,故 D 错误. 故选: BD.
12.【答案】 如图所示,在单位圆中,作出 内的一个角及其余弦线、正弦线、正切线 . 由图知， ,即 .
13.【答案】 令 ,则 ,原方程可转化为关于 的方程 在 上有解,分离参变量得: ,即等价于直线 与函数 的图象在 内有交点. 又因为 的图象开口向下,对称轴为直线 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ， 即 . 故答案为: .
14.【答案】 因为 是偶函数,则 , 所以 ,所以 . 当 时, ,又 ,所以 ,所以 , 所以 ,所以 是以 6 为周期的周期函数,所以
15.【答案】(1) ；(2)圆心角 等于 2 弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是 . ( 1 )设扇形的半径为 ，弧长为 ，圆心角为 ，依题意， ，即 ， 又 ，则 ，即 ，解得 或 ，当 时， ，则 ,不符合题意,当 时, ,则 ,符合题意,所以所求扇形圆心角的弧度数为 .
(2)设扇形的半径为 ，则弧长为 ，由 ，得 ，则 ,因此扇形的面积为 当 时, 取到最大值,此时扇形的面积取得最大值 ,所以当扇形的圆心角 等于 2 弧度时,这个扇形的面积最大,最大面积是 .
16.【答案】(1)2 ; (2)- .
(1)因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，
所以 .
(2)① 点到原点 的距离 ，依题意 ，
因角 的终边所在射线经过点 ,则 ,
17.【答案】( 1 ) ( 2 )最大值为 ，最小值为-6( 3 )，
( 1 )由题意知 ，解得 ， ，又 ，解得 ，所以 .
(2) ， ， ，所以 在区间 上的最大值为 ,最小值为 -6 .
(3)将 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象,再将图象上所有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变),得到 的图象,所以 的图象关于 中心对称,所以 ,解得 ,因为 ,所以当 时,此时 取得最小值为 .
18.【答案】 分钟
( 1 )“匀速跑心率上升”阶段， 时为最低心率 60 次/ 分钟， 时为最高心率 150 次/分钟, 且振幅为 45 次/分钟,
周期为 120,且 ,解得 , ,又 ,
“冲刺跑心率波动”阶段， ，显然 ，
又 ,且当 时,心率呈上升趋势, ,
,
综上所述,
(2)“匀速跑心率上升”阶段，
的最大值为 150,且 “高效燃脂区间”为 120-170 次/ 分钟,
只需 ,即
,由 解得 , “匀速跑心率上升”阶段的“高效燃脂区间”内的运动时长约为 分钟, “冲刺跑心率波动”阶段，由(1)可知 的最小值为 140 ，
只需 ,即 ,
不难知道一个周期内的非 “高效燃脂区间”内的运动时长占比为 ,
一个周期内的 “高效燃脂区间”内的运动时长为
共有 3 个周期,则有 20 分钟的“高效燃脂区间”内的运动时长, 综上所述，该选手在“高效燃脂区间”内的运动时长约为 43 分钟.
19.【答案】(1)
(1) 由图可得 最大值为 ,则 , 令 ,则有 ,解得 ,
又 ,故 ,即 ;
(2)令 ，则 ，
当 时, ,
由 ,则 ,则 有四个不同的根,
设这四个根从小到大分别为 ,由 有对称轴 与 ,
则 ,
即有 ，故实数根之和为 ；
(3)当 时， ，则 ，
故 ,其中 及 有且仅有一根,
有且有两个不同的根,
令 ,则 ,
则 或 ，
若 ,即 时,有且仅有一根,
则 需要有两根,
则 ,解得 .