2025-2026学年下学期山西朔州市怀仁一中高三数学3月第一次模拟试卷（含答案）

怀仁一中 2026 年高三年级第一次模拟考试 数学试卷
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的.
1. ( )
A. B. c. D.
2. 近年来中国微短剧市场规模呈快速上升趋势，已知 2020~2025 年中国微短剧市场规模(单位:亿元)依次为9.4,36.8,101.7,373.9,504.4,677.9, 则这 6 个数据的中位数为( )
A. 101.7 B. 373.9 C. 284.0 D. 237.8
3. 已知 ，则 中所有元素的和为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 12
4. 已知向量 ，且 ，则 ( )
A. B.
C. D.
5. 函数 是偶函数，则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知三棱锥 的所有棱长都为 4，点 分别为 中点，点 分别为 ， 中点，则几何体 的体积为( )
A. B.
C. D.
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 的直线与 的右支交于点 ，则 ( )
A. B. C. D.
8. 若关于 的方程 有 2 个不同实根，设 ，则( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，且 ，则()
A. B.
C. 直线 与 轴有公共点 D. 的面积为 4
10. 已知圆锥的顶点为 ,底面的圆心为 ,该圆锥的侧面展开图是半圆,点 是底面圆周上不同两点,则( )
A. 该圆锥的母线长为
B. 该圆锥的表面积为
C. 的最小值为
D. 当 时，二面角 的正切值为 2
11. 已知 ,则( )
A. 是偶函数
B. 的图象关于直线 对称
C. 的值域为
D. 当 在 有 2 个不同实根 时, 的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 某自动化生产线连续生产编号为 1 到 10 的 10 个产品, 计划从中抽取 3 个进行检测, 若抽取的 3 个产品编号不全是连续整数，则抽取方法种数为_____.
13. 若 ,且 ,则 _____.
14. 已知数列 的前 项和为 ,若 ,则满足 的 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 的内角 所对的边分别为 .
(1)若 ，求 ；
(2)证明: .
16. 如图,线段 的中点都是 .
(1)若 ，证明:平面 平面 ；
(2)若 ，且点 到平面 的距离为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 随着居民生活水平提升、消费观念转变以及技术不断革新，智能小家电市场前景广阔，记 2021~2030 年的年份代码分别为1~10，下表为 2021~2025 年中国智能小家电市场规模 (单位:千亿元).
年份代码 1 2 3 4 5
市场规模 1.6 1.7 1.9 2.1 2.3
(1)从这 5 年中国智能小家电市场规模中的数据中任取 3 个，记取到的数据小于这 5 个数据平均数的个数为 ,求 的分布列与期望;
(2)某传媒机构预测出 2026~2030 年中国智能小家电市场规模 (单位:千亿元)，并求出 年中国智能小家电市场规模 关于 的相关系数为 0.994,求 关于 的回归直线方程 .
附:①样本相关系数 ，②回归直线方程 中斜率和截距的最小二
乘估计公式分别为 .
18. 已知椭圆 上顶点为 ,直线 与椭圆 交于两点 . 当 时, .
(1)求椭圆 的方程；
(2)当 的外接圆面积最大时,求其外接圆的方程.
19. 已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时，证明:对任意正数 ，均有 ；
(3)设 是任意三角形的三边长，若一定存在以 为三边长的三角形，求 的取值范围.
怀仁一中 2026 年高三年级第一次模拟考试 数学试卷参考答案
一、选择题
1. C 2. D 3. A
二、多选题
9. AD 10. ACD 11. AD
三、填空题
12. 112 13. 2 14.49
8. 解: 由原方程 ,可得 ,并将方程转化成 或 ,即 或 .
设 ,
因为 ,因为 ,所以 在 单调递增.
当 ,当 ,
又因为 在 上是连续的函数,所以根据零点存在定理, 有唯一根 ,即 ,
两边取对数得 ,化简得 ,整理得 ,
因为 在 严格递增,故 . 所以 在 单调递增,
在 单调递减,故函数 在 取得最小值 ,
同理函数 在 取得最小值 ,
因为 .
因为当 和 时 与 均趋近于正无穷,从而当两个函数的最小值一正一负时,方程有
且仅有 2 个实根,即 且 ,即 整理得 即 所以 ,即 的取值范围为 .
11. 解: 的定义域为 ,关于原点对称, ,所以 为偶函数, A 正确; ,所以 关于 对称, B 错; 当 时, , ,则 , 当 时, , ,则 , 综上可得 的值域为 错； 时, ,图象如下所示:
所以 ,则 正确.
14. 解: 由 知, ,所以 ,
所以数列 是以 为首项,2 为公差的等差数列,则 ,
所以 .
则满足 的 的最小值,
即满足 的 的最小值.
令 ，易知 为单调递减函数.
又 ,令 ,解得 .
因为 ,
当 时, ,
所以 .
当 时, , 所以 .
因此满足不等式的 的最小值为 49 .
四、解答题
15. 解: (1) 因为 ,再由余弦定理得 化简整理得 .
(2)因为 ，再由正弦定理得 ， 又因为在三角形中 ,所以 ,
,所以 ,
所以
16. 解: (1) 因为 ,且 平面 ,则 平面 又因 平面 ,所以 .
由 可得 ,因为线段 的中点都是 ,
所以 ,则得 ,
即 ,即 ,所以 .
又因 平面 ,所以 平面 ,
而 平面 ,故平面 平面 .
(2)在平面 内,以过 且垂直 的直线为 轴,以 所在的直线为 轴,建立空间直角坐标系,如图:
设 ,则 , 因为 ,所以 .
设平面 的法向量为 , 所以 ,即 ,故可取 .
又因为点 到平面 的距离为 ，且 ，
依题意可得 ，联立 ，解得 ，
将 代入 ，解得 .
所以 ,满足 .
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,故可取 .
因为 ,
设直线 与平面 所成角为 , 所以 .
17. 解: (1)5个数据的平均数为 ,
其中小于 1.92 的数据有 3 个, 大于等于 1.92 的数据有 2 个,
所以 的所有可能取值为1,2,3,
,
所以分布列为:
1 2 3
0.3 0.6 0.1
所以
(2)由题意 , 又 ,故 ,
所以 ,且 ,
所以 ,
所以 ,
所以回归直线方程为 .
18. 解: (1) 因为上顶点为 ,所以 ,
当 时,直线 ,代入椭圆方程得 ,整理得 ,
解得 ,故
又 ,所以 ,解得 , 所以椭圆方程为
(2)设 ， ， 外接圆方程为
代入 得 ,两式相加得 ,
两式相减得
又 点既在 ,又在椭圆 上,所以
代入 到外接圆方程得 ,
故
设 ,则
所以外接圆半径
时 ,故其在 上单调递增,在 时 取最大值,
此时, ,
即
所以 的外接圆面积最大时,其外接圆的方程为
19. 解: (1) 因为 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
令 ,则 ,
令 ,则 在 上恒成立,
所以 在 上单调递增,所以 ,即 ,
则 ,故 在 单调递增, ,
所以当 时, ,即 ,
因此 在 上单调递增;
(2)我们证明:当 时，证明:对任意正数 ，均有 ； 令
则 ,
因为 时,指数函数 是单调递减函数且 ,所以 , 又因为 , 所以 ,又因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 在 上单调递减,即 ,
即 ,
所以 ,即 ,
综上,当 时,对任意正数 ,均有 ,
所以 时,对任意正数 ,均有 .
(3)由题设，对任何 ， 需恒成立，
而 ,其中 ,
若 ,
则由局部保号性可得存在 ,使得 ,总有 ,
在 为减函数,故 ,矛盾;
故 ,由 (1) 结论可得 在 上单调递增.
设 是任意三角形的三边长,不妨设 ,则 ,
当 时,由 (2) 中结论可得 ,
而 在 上单调递增,故 ,故 ,
而 ,故 构成三角形三边.
当 ,考虑函数 ,
此时
,
故当 时, 即 ,
当 时,令 ,
则由(1)的讨论可得 在 上为增函数,
且 ,而 ,
故存在 使得 ,
此时 可为三角形三边,当 不为三角形三边,
综上, .