河北石家庄2026届高三教学质量检测一（石家庄一模）数学试卷（含答案）

2026届石家庄市普通高中学校毕业年级教学质量检测(一) 数 学
(本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟)
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.
1. 若复数 满足 ,则
A. B. 13 C. D. 5
2. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
3. 已知抛物线 的焦点为 ,点 在抛物线 上,则
A. B. 4 C. 3 D. 5
4. 已知平面向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为
A. B. C. D.
5. 已知数列 是等比数列,公比 ,前 项和为 ,满足 ,且 , 则
A. B. 4
C. D. 2
6. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知定义在 上的偶函数 ,满足 ,且当 时, . 若 ,则 的大小关系为
A. B.
C. D.
8. 已知 ,若圆 上总存在点 满足 ,则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题: 本题共3小题, 每小题 6 分, 共18分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ,则
A.
B. 函数 的零点为
C. 曲线 上任意一点处切线的倾斜角不小于
D. 若 ,且 ,则
10. 下列说法正确的是
A. 设一组样本数据 的方差为 2,则数据 的方差为 8
B. 10个样本数据5，6，7，4，5，7，8，3，9，4的第60百分位数是6
C. 用 这10个数字，可以组成 648 个没有重复数字的三位数
D. 已知随机变量 的概率分布为 ,则实数 的值为
11. 已知三棱柱 的所有棱长均为 ,记 ,则
A. 当 时,
B. 当 时,三棱柱 的体积为
C. 当 时,直线 与平面 所成角的余弦值为
D. 当 时,三棱锥 的外接球的球面与侧面 的交线长为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知随机事件 满足 ,则 _____.
13. 已知 为坐标原点,双曲线 的左、右焦点分别为 为双曲线右支上一点,满足 ,且 的面积为 ,则双曲线 的离心率为_____.
14. 已知数列 满足 ,当 时, ,若数列 中存在连续 5 项 ， ， ， 构成等差数列，则 的最小值是_____.
四、解答题:本题共5小题, 共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
已知 中,内角 的对边分别为 ,且满足 .
(1)若 ，求 的值；
(2)求角 的最大值，并判断此时 的形状.
16. (本小题满分 15 分)
如图,在四棱锥 中, 是正三角形,四边形 是菱形, , ,点 是棱 上的一点.
(1)若 为棱 的中点,求证: 平面 ；
(2)若平面 平面 ,是否存在点 ,使得点 到平面 的距离为 . 若存在,求出 的值; 若不存在, 请说明理由.
17. (本小题满分 15 分)
某市为增强高中学生的数学建模能力, 组织了一次 “数学建模竞赛” 活动.本次竞赛活动满分为 100 分, 得分不低于 80 分为优秀. 为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了 100 名学生的分数组成样本，并按分数分成以下 6 组: , ,统计结果如图所示.
(1)求该样本中学生分数为优秀的人数；
(2)从该样本分数不低于70分的学生中, 用比例分配的分层随机抽样的方法选取 11 人进行座谈,若从座谈名单中随机抽取 3 人进行个案研究,记分数在 [90,100] 的人数为 ,求 的分布列和均值;
(3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取 50 人，这 50 名学生的分数相互独立. 记分数为优秀的人数为 ，当 最大时，求 的值.
18. (本小题满分17分)
已知椭圆 的右焦点 ，短轴长为 2 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)记 为坐标原点，直线 与椭圆 交于 两点，过点 作直线 的垂线,垂足为 .
(i) 求证:直线 恒过定点;
(ii) 求 面积的取值范围.
19. (本小题满分17分)
已知函数 ,其中 .
(1)当 时,求函数 的单调区间;
(2)记函数 的极小值点为 ，若 满足 ，设集合 ， ,其中 表示不大于 的最大整数.
(i) 求 和 的表达式,并判断1,2,3,4,5,6与集合 的关系(参考数据: );
(ii) 定义: 若集合 满足: ,且 ,则称集合 是正整数集的一个 “互补覆盖”. 求证: 集合 是正整数集的一个 “互补覆盖”.
2026 年石家庄市普通高中毕业年级教学质量检测(一) 数学答案
一、单选题:
1-4 ADBC 5-8 DACB
二、多选题:
9. AC 11. BCD
三、填空题:
12. 13. 14. 2
四、解答题(仅提供一种或两种答案，其他答案请教研组参照评分细则商议决定):
15.(1) 中，由正弦定理得
2 分
4 分
. 6 分
(2) 中，由余弦定理得 8 分
,当且仅当 时,等号成立, 10 分
的最大值为 , 11 分
又 为等边三角形. 13 分
16.(1)证明:在四棱锥 中，连接 ，交 于
点 ,连接 , 1 分
因为四边形 为菱形,所以 为 的中点,
为 的中点, , 3 分
又 平面 平面 ,
平面 .
5 分
(2)取 的中点 ，连接 ， ，
四边形 是菱形,且 ,
为正三角形, ,
为正三角形, ,
6 分
平面 平面 ,
平面 平面 ,
平面 ,且 ,
平面 . 8 分
以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 Oxyz ,
,
, 10 分
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,则 . 12 分假设存在点 ,使得点 到平面 的距离为 ,
设 ,点 到平面 的距离为 , 则 ,
解得 , 14 分
所以存在点 ，当 时，点 到平面 的距离为 . 15 分
7 分
故 ,故 ;
,故 ,故 ;
故 故 .
故 ; 9 分
(ii) 先证明: .
假设存在正整数 满足 ,
记 ,其中 ,且 .
若 ,则 ,即 ,显然等式右侧为整数,左侧为无理数,故 .
故 , 10 分
故 ,与假设矛盾,故假设不成立,
因此 ; 12 分
再证明: .
解法一: 由 (1) 知 时成立,设任意一个大于 6 的正整数为 ,一定存在正整数 满足 ,
即证明 的整数中有 个在集合 中,有 个在集合 中, ,只需证明 即可. 14 分
易知 ,且 , 15 分
又因为 , 16 分
即 ,故 . 又 ,于是原结论成立,综上知,集
合 是正整数集的一个"互补覆盖". 17 分
解法二: 由 (1) 知 时成立,假设存在一个大于 6 的正整数为 ,不存在正整数
满足 ,
或 时,无理数等于有理数,显然不成立,
所以 ,且 13 分
所以 ,且 14 分
所以 且 16 分
化简得 ,显然不成立
故假设不成立, 所以原命题得证. 17 分