2025-2026学年下学期陕西延安高三数学3月二模试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期陕西延安高三数学3月二模试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 143.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-24 00:00:00 | ||
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文档简介
绝密★启用前
延安市校联考 2026 年普通高中模拟预测(二) 数学试题
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。
3. 作答非选择题时, 将答案书写在答题卡上, 书写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 (选择题 共 58 分)
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求)
1. 已知集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数 ,若 ,则 的大小关系不可能是( )
A. B. C. D.
4. 延安国营风力发电厂的风力发电机的三片风叶之间两两所成的角度为 ,当其中一片风叶 与塔杆叠合时, 一位身高 1.8 米的技术人员站在另一片风叶 OA 端头的正下方, 测得塔杆顶部仰角为 60° (如左下图所示)；若该技术人员站在离塔杆 60 米处，则测得塔杆顶部仰角为 45°mgs方时叶片顶端最高离地面( )
A.81.8 米
B.89.8 米 C.95.8 米 D.101.8 米
5. 图 1 是陕西大荔中学花园中的一座仿古亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体, 如图 2 所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为 4 , 体积之比为 3:1, 且该几何体的所有顶点都在球 的表面上,则球 的体积为( )
图1
图2
A. B. C. D.
6. 城区某中学安排 2 位数学老师、4 位英语老师到 A，B 两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排 3 位老师，其中 A 中学至少需要安排 1 位数学老师，那么有( )种不同的安排方式
A. 9 B. 12 C. 14 D. 16
7. 已知点 分别在圆 上运动,点 在直线 上运动,则 的最小值为 ( )
A. B. 3 C. D. 4
8. 某小区内有一块直角扇形的草坪如下图所示, 两条互相垂直的小路 AC 与 BC 分别长 4 米和 3 米。物业公司准备在四边形 OACB 围成的区域种植丁香花。如果小路面积忽略不计，则丁香花种植面积为( )
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
二、多项选择题 (本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。每小题有多个选项符合题目要求, 全部选对得 6 分，选对但不全得部分分，有选错的得 0 分)
9. 赓续绵延秦川情，携手共谱新篇章。2026 年 “十五五” 筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游一新陕西”主题宣传文案，共收到 300 篇作品。由专业评委进行打分，满分 100 分，不低于 60 分为及格，不低于 分为优秀,若征文得分 (单位: 分) 近似服从正态分布 ,且及格率为 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 随机取 1 篇征文, 则评分在 [60,90) 内的概率为 0.6
B. 已知优秀率为 10%，则
C. 越大， 的值越大
D. 越小，评分在 的概率越大
10. 设复数 满足 ,则()
A.
B. 不存在复数 ,使得 为纯虚数
C. 不存在 ,关于 的方程 有解
D. 若复数 满足 ,则 的最小值为
11. 已知 ,则下列说法正确的是( )
A. 在定义域内单调递增
B. 的对称中心为
C. 已知 ， 为方程 的两个根， 且 ，则 的取值范围为(-2,+ ∞)
D. 若 ，则 的最小值为
第 II 卷(非选择题 共 92 分)
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 沙漏也叫作沙钟，是一种测量时间的装置。现有一个沙漏(如图)上方装有 的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过 分钟时剩余的细沙量为 ，且 ( 为常数)，经过 16 分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的 ，需经过的时间为_____分钟。
13. 如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”。画法如下:在水平直线上取长度为 1 的线段 ，作一个等边 ,然后以点 为圆心, 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点 (第一段圆弧),再以点 为圆心, 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点 ,再以点 为圆心, 为半径逆时针画圆弧...... 以此类推，当得到的“蚊香”恰好有 7 段圆弧时，“蚊香”的长度为_____。
蚊香
14. 杜甫在《绝句》中写道:“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。”从这十四个字中任取两个字，则声母相同的概率是_____。
四、解答题: (本题共 5 小题, 共 77 分; 15 题 13 分; 16-17 题 15 分; 18-19 题 17 分; 解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤)
15. 已知数列 是等比数列, ,数列 满足: .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
16. 中,角 所对的边分别为 且 .
(1)若 ，求 的值；
(2)求 面积的最大值。
17. 已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)当 时，求函数 的最小值；
(3)若函数 存在极小值点 ，且 ，求 的值。
18. 在四棱锥 中，四边形 为矩形， 为锐角三角形, ， 为棱 的中点，平面 与平面 的交线为 ，直线 与 相交于点 .
(1)求线段 长度的最小值；
(2)若异面直线 与 所成角为 .
(i) 求平面 与平面 夹角的余弦值;
(ii) 求三棱锥 的外接球的表面积。
19. 已知直线 与抛物线 相切,抛物线 与抛物线 关于 对称, 点 为 上一动点，若过点 可以作 的两条切线 分别交 于 两点.
(1)求 ；
(2)若点 的纵坐标为-4，求 ；
(3)求证:直线 与抛物线 相切.
延安市校联考 2026 年普通高中模拟预测(二) 数学试题
第 I 卷(选择题 共 58 分)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C D A A B A B B AD BC
11 12 13 14
ABD 64
第 II 卷(非选择题 共 92 分)
15.
(1)设等比数列 的公比为 ,则 ,所以
因为 ,
当 时, ,(4 分)
两式相减得 ,
则 时, ; (5 分)
当 时，由 得 ，解得 符合该式； (6 分)
所以 . (7 分)
(2)由于 ，(9 分)
所以 . (13 分)
16.
(1)因为 ，则 ，即 ，(4 分) 又 ,代入得 所以 ; (7 分)
(2) ，结合 ，可得 (8 分)
由正弦定理得 ,代入得 (9 分)
由于 ,可知得 ,因为 为锐角,否则
) 得 ; 令
; 当且仅当 去等号; ,
(12 分),此时 (13 分),当 ,
17.
(1)当 时，函数 ，所以 ，即切点为 ，
又因为 ，所以切线斜率 ，(4 分)
所以切线方程为 ,即 (5 分)
( 2 )当 时， ，定义域为 ，所以 ，( 6 分)
因为 在 上单调递增,而 在 上单调递减,(7 分)
所以 在 上单调递增,(8 分)
又因为 ,所以当 时, 单调递减,(9 分)
当 时, 单调递增,
所以 是 的极小值点,也是最小值点,( 10 分)
即最小值为 . (11 分)
(3)已知 ，所以 ，
因为 是极小值点，所以 ，即 ，化简得: .(12 分)
又因为 ,代入得: ,将 代入得: ,即 ,
设 ,求导得: ,令 得 ,(13 分)
且当 时, ,当 时, ,
所以 在 单调递减,在 单调递增,
所以 在 处取得最小值,(14 分)
又因为当 时 时, ,
故有唯一解为 ,代入 得 . (15 分)
18.
(2)
(1)可证 ， 平面 ，建系并标点， ，根据题意结合向量共线可得 (4 - ,进而分析线段 长度的最小值;
(2)利用空间向量结合向量夹角可得 . (i) 分别求平面 与平面 的法向量，利用空间向量求面面夹角; (ii) 设三棱锥 的外接球的球心为 ，根据外接球的定义结合空间中两点间距离可得球心坐标, 进而可得半径和表面积.
(1)因为 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
且 平面 ,平面 平面 ,所以 ,
又因为 平面 ,可得 平面 ,
以 为坐标原点， ， 分别为 ， 轴，过点 垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，(3 分)
设 ,则 ,
可得 ,则 ,
可得 ,
则 (5 分)
由题意可知: 直线 的一个方向向量为 ,且 ,
设 ,则 ,
因为 ,则 ,可得 ,(6 分)
则 ,即 (7 分)
则 ,
令 ,则 ,(8 分)
当且仅当 时,等号成立,
所以线段 长度的最小值为 . (9 分)
(2)由(1)可知: ， ，
由题意可得: ,
解得 ，即 ，则 . (11 分)
(i) 因为 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
设 ,则 ,可得 分
设平面 的法向量为 ,则 ,
设 ,则 ,可得 ;
则 ,(14 分)
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ;
(ii) 设三棱锥 的外接球的球心为 ,半径为 ,则 ,(15 分)
即 ,解得 ,(16 分)
可得 ，所以三棱锥 的外接球的表面积为 .(17 分)
19.
(2)8
(3)证明见解析
(1)联立方程组 求解；(2)设切线方程，联立方程组求出 坐标的关系，代入求解；(3)求出直线 的方程,联立方程组判断 .
(1)已知直线 与抛物线 相切,
联立方程组 ,得 (2 分)
,解得 或 (舍去). (3 分)
(2) ，
抛物线 与抛物线 关于 对称，所以 ，
设
切线 的方程为 ,即 ,(6 分)
联立方程组 ,得 ,
即 ,(7 分)
,即 ,
同理 ,(8 分)
所以 是方程 的两个根,
(9 分)
若点 的纵坐标为 -4,则 分
代入可得
(3)直线 的方程为 ，即 ，(13 分)
代入可得 ,即 (14 分)
联立方程组 ,得 ,(15 分)
分
直线 与抛物线 相切. (17 分)
延安市校联考 2026 年普通高中模拟预测(二) 数学试题
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。
3. 作答非选择题时, 将答案书写在答题卡上, 书写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 (选择题 共 58 分)
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求)
1. 已知集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数 ,若 ,则 的大小关系不可能是( )
A. B. C. D.
4. 延安国营风力发电厂的风力发电机的三片风叶之间两两所成的角度为 ,当其中一片风叶 与塔杆叠合时, 一位身高 1.8 米的技术人员站在另一片风叶 OA 端头的正下方, 测得塔杆顶部仰角为 60° (如左下图所示)；若该技术人员站在离塔杆 60 米处，则测得塔杆顶部仰角为 45°mgs方时叶片顶端最高离地面( )
A.81.8 米
B.89.8 米 C.95.8 米 D.101.8 米
5. 图 1 是陕西大荔中学花园中的一座仿古亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体, 如图 2 所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为 4 , 体积之比为 3:1, 且该几何体的所有顶点都在球 的表面上,则球 的体积为( )
图1
图2
A. B. C. D.
6. 城区某中学安排 2 位数学老师、4 位英语老师到 A，B 两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排 3 位老师，其中 A 中学至少需要安排 1 位数学老师，那么有( )种不同的安排方式
A. 9 B. 12 C. 14 D. 16
7. 已知点 分别在圆 上运动,点 在直线 上运动,则 的最小值为 ( )
A. B. 3 C. D. 4
8. 某小区内有一块直角扇形的草坪如下图所示, 两条互相垂直的小路 AC 与 BC 分别长 4 米和 3 米。物业公司准备在四边形 OACB 围成的区域种植丁香花。如果小路面积忽略不计，则丁香花种植面积为( )
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
二、多项选择题 (本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。每小题有多个选项符合题目要求, 全部选对得 6 分，选对但不全得部分分，有选错的得 0 分)
9. 赓续绵延秦川情，携手共谱新篇章。2026 年 “十五五” 筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游一新陕西”主题宣传文案，共收到 300 篇作品。由专业评委进行打分，满分 100 分，不低于 60 分为及格，不低于 分为优秀,若征文得分 (单位: 分) 近似服从正态分布 ,且及格率为 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 随机取 1 篇征文, 则评分在 [60,90) 内的概率为 0.6
B. 已知优秀率为 10%，则
C. 越大， 的值越大
D. 越小，评分在 的概率越大
10. 设复数 满足 ,则()
A.
B. 不存在复数 ,使得 为纯虚数
C. 不存在 ,关于 的方程 有解
D. 若复数 满足 ,则 的最小值为
11. 已知 ,则下列说法正确的是( )
A. 在定义域内单调递增
B. 的对称中心为
C. 已知 ， 为方程 的两个根， 且 ，则 的取值范围为(-2,+ ∞)
D. 若 ，则 的最小值为
第 II 卷(非选择题 共 92 分)
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 沙漏也叫作沙钟，是一种测量时间的装置。现有一个沙漏(如图)上方装有 的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过 分钟时剩余的细沙量为 ，且 ( 为常数)，经过 16 分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的 ，需经过的时间为_____分钟。
13. 如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”。画法如下:在水平直线上取长度为 1 的线段 ，作一个等边 ,然后以点 为圆心, 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点 (第一段圆弧),再以点 为圆心, 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点 ,再以点 为圆心, 为半径逆时针画圆弧...... 以此类推，当得到的“蚊香”恰好有 7 段圆弧时，“蚊香”的长度为_____。
蚊香
14. 杜甫在《绝句》中写道:“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。”从这十四个字中任取两个字，则声母相同的概率是_____。
四、解答题: (本题共 5 小题, 共 77 分; 15 题 13 分; 16-17 题 15 分; 18-19 题 17 分; 解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤)
15. 已知数列 是等比数列, ,数列 满足: .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
16. 中,角 所对的边分别为 且 .
(1)若 ，求 的值；
(2)求 面积的最大值。
17. 已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)当 时，求函数 的最小值；
(3)若函数 存在极小值点 ，且 ，求 的值。
18. 在四棱锥 中，四边形 为矩形， 为锐角三角形, ， 为棱 的中点，平面 与平面 的交线为 ，直线 与 相交于点 .
(1)求线段 长度的最小值；
(2)若异面直线 与 所成角为 .
(i) 求平面 与平面 夹角的余弦值;
(ii) 求三棱锥 的外接球的表面积。
19. 已知直线 与抛物线 相切,抛物线 与抛物线 关于 对称, 点 为 上一动点，若过点 可以作 的两条切线 分别交 于 两点.
(1)求 ；
(2)若点 的纵坐标为-4，求 ；
(3)求证:直线 与抛物线 相切.
延安市校联考 2026 年普通高中模拟预测(二) 数学试题
第 I 卷(选择题 共 58 分)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C D A A B A B B AD BC
11 12 13 14
ABD 64
第 II 卷(非选择题 共 92 分)
15.
(1)设等比数列 的公比为 ,则 ,所以
因为 ,
当 时, ,(4 分)
两式相减得 ,
则 时, ; (5 分)
当 时，由 得 ，解得 符合该式； (6 分)
所以 . (7 分)
(2)由于 ，(9 分)
所以 . (13 分)
16.
(1)因为 ，则 ，即 ，(4 分) 又 ,代入得 所以 ; (7 分)
(2) ，结合 ，可得 (8 分)
由正弦定理得 ,代入得 (9 分)
由于 ,可知得 ,因为 为锐角,否则
) 得 ; 令
; 当且仅当 去等号; ,
(12 分),此时 (13 分),当 ,
17.
(1)当 时，函数 ，所以 ，即切点为 ，
又因为 ，所以切线斜率 ，(4 分)
所以切线方程为 ,即 (5 分)
( 2 )当 时， ，定义域为 ，所以 ，( 6 分)
因为 在 上单调递增,而 在 上单调递减,(7 分)
所以 在 上单调递增,(8 分)
又因为 ,所以当 时, 单调递减,(9 分)
当 时, 单调递增,
所以 是 的极小值点,也是最小值点,( 10 分)
即最小值为 . (11 分)
(3)已知 ，所以 ，
因为 是极小值点，所以 ，即 ，化简得: .(12 分)
又因为 ,代入得: ,将 代入得: ,即 ,
设 ,求导得: ,令 得 ,(13 分)
且当 时, ,当 时, ,
所以 在 单调递减,在 单调递增,
所以 在 处取得最小值,(14 分)
又因为当 时 时, ,
故有唯一解为 ,代入 得 . (15 分)
18.
(2)
(1)可证 ， 平面 ，建系并标点， ，根据题意结合向量共线可得 (4 - ,进而分析线段 长度的最小值;
(2)利用空间向量结合向量夹角可得 . (i) 分别求平面 与平面 的法向量，利用空间向量求面面夹角; (ii) 设三棱锥 的外接球的球心为 ，根据外接球的定义结合空间中两点间距离可得球心坐标, 进而可得半径和表面积.
(1)因为 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
且 平面 ,平面 平面 ,所以 ,
又因为 平面 ,可得 平面 ,
以 为坐标原点， ， 分别为 ， 轴，过点 垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，(3 分)
设 ,则 ,
可得 ,则 ,
可得 ,
则 (5 分)
由题意可知: 直线 的一个方向向量为 ,且 ,
设 ,则 ,
因为 ,则 ,可得 ,(6 分)
则 ,即 (7 分)
则 ,
令 ,则 ,(8 分)
当且仅当 时,等号成立,
所以线段 长度的最小值为 . (9 分)
(2)由(1)可知: ， ，
由题意可得: ,
解得 ，即 ，则 . (11 分)
(i) 因为 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
设 ,则 ,可得 分
设平面 的法向量为 ,则 ,
设 ,则 ,可得 ;
则 ,(14 分)
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ;
(ii) 设三棱锥 的外接球的球心为 ,半径为 ,则 ,(15 分)
即 ,解得 ,(16 分)
可得 ，所以三棱锥 的外接球的表面积为 .(17 分)
19.
(2)8
(3)证明见解析
(1)联立方程组 求解；(2)设切线方程，联立方程组求出 坐标的关系，代入求解；(3)求出直线 的方程,联立方程组判断 .
(1)已知直线 与抛物线 相切,
联立方程组 ,得 (2 分)
,解得 或 (舍去). (3 分)
(2) ，
抛物线 与抛物线 关于 对称，所以 ，
设
切线 的方程为 ,即 ,(6 分)
联立方程组 ,得 ,
即 ,(7 分)
,即 ,
同理 ,(8 分)
所以 是方程 的两个根,
(9 分)
若点 的纵坐标为 -4,则 分
代入可得
(3)直线 的方程为 ，即 ，(13 分)
代入可得 ,即 (14 分)
联立方程组 ,得 ,(15 分)
分
直线 与抛物线 相切. (17 分)
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