2025-2026学年下学期四川宜宾一中高二数学3月第二次周考试卷(含答案)
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期四川宜宾一中高二数学3月第二次周考试卷(含答案) |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 74.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-24 00:00:00 | ||
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文档简介
宜宾市一中 2024 级高二下期第二次周考 数学试题
满分:150 分考试时间: 120 分钟
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的选项中, 只有一项是 符合题目要求的。
1. 已知函数 ，则 ( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 函数 的单调减区间是( )
A. B. C. D.
3. 已知函数 ,则( )
A. 有极小值,且极小值为 0 B. 有极小值,且极小值为 -2
C. 有极大值,且极大值为 0 D. 有极大值,且极大值为 -2
4. 已知函数 在 上是单调函数，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5. 若函数 在区间 内存在单调递减区间，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 已知定义域为 的函数 满足 ,且 ,则不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
7. 函数 在 的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
8. 已知函数 ，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。
9. 已知 ,下列说法正确的是( )
A. 在 处的切线方程为 B. 的单调递减区间为
C. 的极大值为 D: 方程 有两个不同的解
10. 记 为数列 的前 项和. 若 ，则()
A. B
C. D.
11. 已知 ,则下列不等式正确的有( )
A B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 曲线 在点 处的切线方程为_____.
13. 已知函数 在 处取得极值 5,则 .
14. 已知函数 有两个零点，则实数 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 已知等差数列 的公差为 4， 是公比大于 0 的等比数列，且 ， .
(1)求 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
16. 已知函数
( 1 )求 的单调区间；
( 2 )若 ，求 的最大值与最小值.
17. 如图，在四棱锥 中，侧面 为等腰直角三角形，底面 为直角梯形， 为 的中点.
(1)求证: ；
(2)求平面 与平面 所成的锐角二面角的余弦值.
18. 已知双曲线 经过点 为左右顶点，且 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设过 的直线与双曲线交于 ， 两点(不与 重合)，记直线 ， 的斜率为 ,证明: 为定值.
19. 已知函数
(1)试讨论函数 的单调性；
(2)当 时,不等式 恒成立，求正整数 的最大值.
宣夷市一中 2024 级高二下期数学第二次周考参考答案
1.D 2.D 3.D 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A 9.BC 10.ACD 11.ACD
12.y +1 =0; 13.-7; 14. (0,1)
11. ACD:A 项,令 ,则 ,令 ,解得 , 所以函数 在 上单调递增. 所以当 时, ,即 , A 正确: B项,令 ,则 ,于是 ,但 , B 错误;
项，令 ，则 ，当 时， ， 函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增,故 在 时,取得最小值 ,所以 在 上恒成立，故 在 上恒成立， 正确；
D 项，令 ，因为 ，则 ，构造函数 ，
在 上恒成立,
即 在 上单调递增. 又 ,即 在 上恒成立,
则有 ,化简得 ,将 代入不等式可得: ,
化简得: , D 正确.
14. ; 解: ,
(1)当 时， ，则 在 单调递减，最多只有一个零点
(2)当 时， 在 递减，在 内递增
答案第 1 页，共 4 页
显然当 时,
因为 恒成立,所以 ,
成立
当 时, 上
单调递增,又 ,
当 时，有 两个不同的零点，故答案为:(0,1)
15.(1)由题意，设数列 的公比为 ，则 ，
,所以 ,解得 或 (舍),
所以 .
(2)记 和 的前 项和分别为 和 ，又 ， ,所以 .
16.(1) 因为 .
令 ,得 或 ,当 变化时, 的变化情况如表所示.
(-∞,-4) -4 (-4,2) 2 (2,+∞)
+ 0 - 0 +
单调递增 28 单调递减 -8 单调递增
所以 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 .
(2)由(1)知当 时， 取得极小值-8.
因为 . 所以 .
17.( 1 )连接 ，由 ， 为 中点，得 ，
又 四边形 为直角梯形, ,
所以 ，则四边形 是平行四边形，
,在 中, ,
则 ,则 ,又 平面 平面 , 平面 ，又 平面 ， .
(2)由(1)可得 ， ， 两两垂直，以点 为坐标原点，分别以 ， ， 方向为 轴正方向,建立如图空间直角坐标系.
,
易知平面 的法向量为 ，设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,取 , ,
故平面 与平面 所成的锐角二面角的余弦值为 .
18.(1)依题意， ， ， ，由双曲线 过点 ，得 ， 解得 ，所以双曲线 的标准方程为 .
(2)依题意，直线 不垂直于 轴,设直线 方程为 ， 由 消去 并整理得: ,显然
,设 ,
于是 ,则 ,
因此 ,
所以 为定值一 .
19. (1) ,
当 时，由 ，得 ；由 ，得 ，所以 在 上单调递
减，在 上单调递增；当 时，由 ，得 ；由 ，得
或 ,此时, 在 上单调递减,在 和 上单调递增;
当 时, 对任意的 恒成立,此时, 在 上单调递增;
当 时,由 ,得 ; 由 ,得 或 ,
此时, 在 上单调递减,在 和 上单调递增.
综上可知,当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递减,在 和 上单调递增;
当 时, 在 上单调递增; 当 时, 在 上单调递减,在 和 上单调递增.
(2)当 时,不等式 恒成立, 整理可得 ,原题意等价于 对任意 恒成立, 令 ,则 , 令 ,则 ,所以 在区间 上单调递增, 因为 ,所以 在区间 内存在唯一零点 , 即 ,所以 ,当 时, ,即 ; 当 时, ,即 ; 可知 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增; 所以 , 因为 ,则 ,即 , 且 为正整数,则 ,所以整数 的最大值是 4 .
满分:150 分考试时间: 120 分钟
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的选项中, 只有一项是 符合题目要求的。
1. 已知函数 ，则 ( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 函数 的单调减区间是( )
A. B. C. D.
3. 已知函数 ,则( )
A. 有极小值,且极小值为 0 B. 有极小值,且极小值为 -2
C. 有极大值,且极大值为 0 D. 有极大值,且极大值为 -2
4. 已知函数 在 上是单调函数，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5. 若函数 在区间 内存在单调递减区间，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 已知定义域为 的函数 满足 ,且 ,则不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
7. 函数 在 的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
8. 已知函数 ，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。
9. 已知 ,下列说法正确的是( )
A. 在 处的切线方程为 B. 的单调递减区间为
C. 的极大值为 D: 方程 有两个不同的解
10. 记 为数列 的前 项和. 若 ，则()
A. B
C. D.
11. 已知 ,则下列不等式正确的有( )
A B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 曲线 在点 处的切线方程为_____.
13. 已知函数 在 处取得极值 5,则 .
14. 已知函数 有两个零点，则实数 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 已知等差数列 的公差为 4， 是公比大于 0 的等比数列，且 ， .
(1)求 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
16. 已知函数
( 1 )求 的单调区间；
( 2 )若 ，求 的最大值与最小值.
17. 如图，在四棱锥 中，侧面 为等腰直角三角形，底面 为直角梯形， 为 的中点.
(1)求证: ；
(2)求平面 与平面 所成的锐角二面角的余弦值.
18. 已知双曲线 经过点 为左右顶点，且 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设过 的直线与双曲线交于 ， 两点(不与 重合)，记直线 ， 的斜率为 ,证明: 为定值.
19. 已知函数
(1)试讨论函数 的单调性；
(2)当 时,不等式 恒成立，求正整数 的最大值.
宣夷市一中 2024 级高二下期数学第二次周考参考答案
1.D 2.D 3.D 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A 9.BC 10.ACD 11.ACD
12.y +1 =0; 13.-7; 14. (0,1)
11. ACD:A 项,令 ,则 ,令 ,解得 , 所以函数 在 上单调递增. 所以当 时, ,即 , A 正确: B项,令 ,则 ,于是 ,但 , B 错误;
项，令 ，则 ，当 时， ， 函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增,故 在 时,取得最小值 ,所以 在 上恒成立，故 在 上恒成立， 正确；
D 项，令 ，因为 ，则 ，构造函数 ，
在 上恒成立,
即 在 上单调递增. 又 ,即 在 上恒成立,
则有 ,化简得 ,将 代入不等式可得: ,
化简得: , D 正确.
14. ; 解: ,
(1)当 时， ，则 在 单调递减，最多只有一个零点
(2)当 时， 在 递减，在 内递增
答案第 1 页，共 4 页
显然当 时,
因为 恒成立,所以 ,
成立
当 时, 上
单调递增,又 ,
当 时，有 两个不同的零点，故答案为:(0,1)
15.(1)由题意，设数列 的公比为 ，则 ，
,所以 ,解得 或 (舍),
所以 .
(2)记 和 的前 项和分别为 和 ，又 ， ,所以 .
16.(1) 因为 .
令 ,得 或 ,当 变化时, 的变化情况如表所示.
(-∞,-4) -4 (-4,2) 2 (2,+∞)
+ 0 - 0 +
单调递增 28 单调递减 -8 单调递增
所以 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 .
(2)由(1)知当 时， 取得极小值-8.
因为 . 所以 .
17.( 1 )连接 ，由 ， 为 中点，得 ，
又 四边形 为直角梯形, ,
所以 ，则四边形 是平行四边形，
,在 中, ,
则 ,则 ,又 平面 平面 , 平面 ，又 平面 ， .
(2)由(1)可得 ， ， 两两垂直，以点 为坐标原点，分别以 ， ， 方向为 轴正方向,建立如图空间直角坐标系.
,
易知平面 的法向量为 ，设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,取 , ,
故平面 与平面 所成的锐角二面角的余弦值为 .
18.(1)依题意， ， ， ，由双曲线 过点 ，得 ， 解得 ，所以双曲线 的标准方程为 .
(2)依题意，直线 不垂直于 轴,设直线 方程为 ， 由 消去 并整理得: ,显然
,设 ,
于是 ,则 ,
因此 ,
所以 为定值一 .
19. (1) ,
当 时，由 ，得 ；由 ，得 ，所以 在 上单调递
减，在 上单调递增；当 时，由 ，得 ；由 ，得
或 ,此时, 在 上单调递减,在 和 上单调递增;
当 时, 对任意的 恒成立,此时, 在 上单调递增;
当 时,由 ,得 ; 由 ,得 或 ,
此时, 在 上单调递减,在 和 上单调递增.
综上可知,当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递减,在 和 上单调递增;
当 时, 在 上单调递增; 当 时, 在 上单调递减,在 和 上单调递增.
(2)当 时,不等式 恒成立, 整理可得 ,原题意等价于 对任意 恒成立, 令 ,则 , 令 ,则 ,所以 在区间 上单调递增, 因为 ,所以 在区间 内存在唯一零点 , 即 ,所以 ,当 时, ,即 ; 当 时, ,即 ; 可知 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增; 所以 , 因为 ,则 ,即 , 且 为正整数,则 ,所以整数 的最大值是 4 .
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