2025-2026学年下学期浙江杭州学军中学高二数学3月周末3试卷（含解析）

杭州学军中学 2025 学年高二(下)数学周末练(3)
一、单选题
1. 等比数列 中, 是其前 项和,若 ,则 ( )
A. 4 B. 5 C. 7 D. 或
2. 若 为第二象限角,且 ,则 ( )
A.
B.
C.
D.
3. 已知空间中三条直线 与平面 分别交于不同的三点 ，则 “ 三点共线”是“直线 共面”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 ,则圆柱的体积为
A. B. C. D.
5. 某晚会由 4 个歌舞节目和 2 个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前 3 个节目中至少有一个是机器人表演节目, 则不同的节目安排方法有 ( ) 种.
A. 216 B. 360 C. 432 D. 672
6. 在平面直角坐标系 中,已知两圆相交于两点 ,且圆心都在直线 上,则 的值为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
7. 设 是椭圆 的上顶点,若 上的任意一点 都满足 ,则 的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知点 ， ，定义 为 ， 的"镜像距离". 若点 ， 在曲线 上，则 的最小值为( )
A. 1 B. C. 2 D.
二、多选题
9. 设 分别为随机事件 的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有( )
A. B. 若 ,则
C. 试卷第 1 页，共 4 页
10. 若 ,且 ,则下列结论正确的是( )
A. B. 展开式中二项式系数和为 729
C. 展开式中所有项系数和为 126 D.
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,直线 交双曲线 于 两点，点 为 上一动点记直线 的斜率分别为 ,若 ，且 到 的渐近线的距离为 ，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线 的离心率为
B. 过右焦点的直线与双曲线 相交 两点,线段 长度的最小值为 4
C. 若 的角平分线与 轴交点为 ,则
D. 若双曲线 在 处的切线与两渐近线交于 两点,则
三、填空题
12. 平面向量 ，满足 ， ， ，则 _____.
13. 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 _____.
14. 随机将1,2,3,4,5,6这 6 个数分成 两组,其中 组 2 个数, 组 4 个数, 组最小的数为 组最小的数为 , 记 ,则 _____.
四、解答题
15. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ， ， 为线段 中点， 为线段 上的动点.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)设直线 与平面 所成角为 ，求 的取值范围.
16. 已知甲盒中装有 3 个白球, 2 个黑球; 乙盒中装有 2 个白球, 3 个黑球, 这些球除颜色外完全相同.
(1)若从两个盒子中一次性各摸出 2 个球，用 表示摸出的 4 个球中白球的个数，求 的分布列和数学期望.
(2)若先从甲盒中一次性摸出 2 个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球.
(i) 计算在乙盒中摸出的是黑球的概率;
(ii) 如果在乙盒中摸出的是黑球, 计算甲盒中恰剩一个黑球的概率.
17. 已知函数 .
(1)是否存在实数 ，使得 为函数 的极小值点. 若存在，求 的值；若不存在，请说明理由； (2)若 图象上总存在关于点 对称的两点，求 的取值范围.
18. 如图,双曲线 的左右焦点分别为 ,双曲线 与 有相同的渐近线和焦距. 过 上一点 作 的两条切线,切点分别为 在 轴上方,连接 交 于点 .
(注: 过曲线 外一点 作曲线的两条切线,则两切点所在直线方程为 )
(1)求双曲线 的方程；
(2)证明:直线 与 切于点 ，且 ；
(3)当点 在第三象限，且 时，求 的值.
19. 甲、乙、丙三人玩传花游戏，开始时由甲手持鲜花，随机地将花传给乙或丙，接花者再随机地将花传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去从一个人手中将花传给另一个人称为一次传花，设经过 次传花后，花回到甲手里的概率记为 ,假设每一次传花互不影响.
(1)求 和 的值；
(2) 求 ；
(3)设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，证明: .
《高二(下)数学周末练 (3)》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B D C A C D ABC ACD
题号 11
答案 ACD
1. A
因为 ,
又因为 ,
所以 为公比为 2 的等比数列,
所以 ;
故选: A.
2. A
由题意得, ,化简得 ,
整理得, ,
因为 为第二象限角,所以 .
故选: A
3. B
如图所示,空间中三条直线 与平面 分别交于不同的三点 ,
且 三点共线,但直线 不共面,
所以“ 三点共线”是“直线 共面”的不充分条件;
若直线 共面,设其为 ,则 均在平面 内,也在平面 内,
则 在平面 与 的交线上,所以 三点共线,
所以“ 三点共线”是“直线 共面”的必要条件;
所以“ 三点共线”是“直线 共面”的必要不充分条件.
故选: B.
4. D
根据题意,不妨设圆柱的高为 ,又因为轴截面为正方形,
故可得底面半径为 .
则 ,解得 ,
故可得圆柱体积 .
故选: D.
5. C
步骤 1: 先排 4 个歌舞节目: ,排好后会产生 5 个空位 (包括两端);
步骤 2: 将 2 个机器人节目插入空位: ;
步骤 3: 排除“前 3 个节目全是歌舞”的情况: 先从 4 个歌舞节目中选 3 个排在前 3 个位置,有 种方法,
剩下的 1 个歌舞节目和 2 个机器人节目排在后 3 个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞- 机器人”的排列,
有 种方法. 故不满足条件的情况有 .
故总数为:
故选: C
6. A
根据相交圆的性质可知直线 与直线 垂直,
线段 的中点在直线 上,
所以 ,
所以线段 的中点的坐标为 ,
则有 ,
因此 .
故选: A
7. C
设 ,由 ,因为 ,所以
因为 ,当 ,即 时, ,即 ,符合题意,由 可得 ,即 ;
当 ,即 时, ,即 ,化简得, ,显然该不等式不成立.
故选: C.
8. D
由函数 可得 ,即 ,
所以 的反函数为 ,
由点 在曲线 上，可知点 在其 反函数上，
所以
相当于 上的点 到曲线 上点 的距离,
即 ,
利用反函数性质可得 与 关于 对称,
的最小值相当于点 到直线 的距离最小值的 2 倍,
点 到直线 的距离 ，由于 恒在 下方，
所以 ,
,求导得: ,令
得 ,又 在 上单调递增,
所以可得 对 恒成立, 对 恒成立,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 ,
所以 ,
所以 .
故选: D
9.
对于 ,由全概率公式得, ,故 正确;
对于 ,所以 ,所以 相互独立,
那么 ,故 B 正确;
对于 ,故 正确;
对于 表示在 发生的条件下 发生的概率, 表示在 发生的条件下 发生的概率, 两者之和不一定为 1,例如: 设 为“掷骰子点数为偶数”, 为“掷骰子点数为奇数”, 为“掷骰子点数大于 2”,则 ,和为 错误.
10. ACD
解: 对于 ,令 ,可得 ,
即 ,
即 ,①
令 ,得 ,即 ,②
由于 的展开式中 ,所以 ,③
所以①-②-③得: ，
而 ,
所以 ,解得: ,故 正确;
对于 ,由于 ,则 ,
所以展开式中二项式系数和为 ,故 错误;
对于 ,由于 ,则 的所有项系数为
,故 正确;
对于 ,由于 ,则 ,
等式两边求导得: ,
令 ,则 ,故 正确.
故选: ACD.
11. ACD
由题意知 ,
设 ,则 ,
,相减整理得 ,
,故 ,双曲线的方程为 ,
对于 A: ,故 ,选项 A 正确;
对于 : 因实轴长 ,故选项 错误;
对于 C: 记 ,由角平分线定理得: , 又 ,所以 ,于是 ,所以 , ,故选项 C 正确;
对于 : 设 ,
时, ,
切线方程为 ,整理得 ,
同理 时, ,
切线方程为 ,整理得 ,
时, 或 ,切线方程为 或 ,切线方程也可表示为 ,
所以过 的切线方程为 ,与渐近线 联立解得 ,故
; 与渐近线 联立,解得 ,
于是 ,故选项 D 正确,
故选: ACD
12.
设 ,由 ,可得 ,①
又 ,则 ,②
联立①②解得 ，
则 ,
所以 ,
故答案为: .
13.
由题意可得: ,
当 时, ,
所以曲线 在点 处的切线为:
,即 ,
设切线 与曲线 的切点为 ,
对 求导可得: ,
又因为切线的斜率等于曲线在切点处的导数,
所以 ,即 ,
又因为 在切线 上,
所以 ,
所以 在曲线 上,
即 ,求解可得: .
故答案为: .
14.
6 个数分成 两组,共有 种分组方法,
当 时, 中含有1,共 5 种情况, 有 4 种情况, 有 1 种情况;
当 时, 中含有 2 不含 1,共 4 种情况, 有 4 种情况;
当 时, 中含有 3 不含1,2,共 3 种情况, 有 3 种情况;
当 时, 中含有 4 不含1,2,3,共 2 种情况, 有 2 种情况;
当 时, 中含有 5 不含1,2,3,4,共 1 种情况, 有 1 种情况;
故答案为:
15.(1)因为 ,且 为线段 中点,所以 .
又因为 底面 平面 ,所以 .
而 ,且 ,因此 平面
而 平面 ,因此 .
又因为 ，所以 平面 .
而 平面 ，所以平面 平面 .
(2)法一:由(1)可知直线 与平面 所成角为 ，
因此
不妨设 ,则 ,
所以
法二: 以 为原点, 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系.
不妨设 ,设 ,则
设平面 的一个法向量 ,
,即 ,令 ,则 ,
则 ,
因此 .
16.(1)依题意， 的可能值为0,1,2,3,4，
,
所以 的分布列为:
0 1 2 3 4
数学期望 .
(2)(i)设事件 “从甲盒中摸出 2 个白球”，事件 “从甲盒中摸出 1 个白球和 1 个黑球”， 事件 “从甲盒中摸出 2 个黑球”,事件 “从乙盒中摸出 1 个黑球”,
显然 ,且 两两互斥, ,
则 ,
所以在乙盒中摸出的是黑球的概率是 .
(ii) 在乙盒中摸出的是黑球,甲盒中恰剩一个黑球的事件是在事件 发生的条件下,事件 发生, 因此 ,
所以在乙盒中摸出的是黑球,甲盒中恰剩一个黑球的概率为 .
17.(1)由题意，得函数 的定义域为 ,
且 ,
若 为函数 的极值点,则 ,
此时 ,
函数 在 上单调递减,
故 不是函数 的极值点,所以不存在 满足条件.
(2)由题意可知 在 上有解,
所以 在 上有解,
该方程化简得 ,
令 ,得 ,
所以问题等价于方程 在 上有解,
令 ,有 ,
当 时, 在 单调递减,
又 ,所以 在 上无零点,不成立,
当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,且 ,
所以有 ,
令 ,则 ,
当 时, ,故 在 上单调递增,
又 ,故当 时, ,
故 ，又 ，故 ，
故 在 上有一个零点，在 上没有零点.
综上,当 时, 图象上总存在一对关于点 对称的两点.
18.(1) 的渐近线方程为 ，
的渐近线方程为 ,
所以 ,得 ,所以双曲线 的方程为 .
(2)已知 ，且满足 ，
设切点 ,
根据题意得,直线 方程为 .
直线 与 联立,得 ,
化简得 ,
所以直线 与 切于点 .
所以 .
直线 与 联立,得 ,即 ,
得 ,
所以 ,即 为 中点,
所以 .
(3)法一:因为 ，则 ，
直线 与直线 联立,
得 ,即 ,
将点 代入 ,
得 ,化简得 ,
由 得, ,
所以 .
法二: 因为 ,点 与点 关于原点对称,所以 .
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
,
所以 .
19.(1)第 1 次传花后到乙或丙手里， ，第 2 次传花后乙或丙有 的概率将花传到甲手里， 故 ,
经过 4 次传花共有 16 种情形,
甲 乙 丙 甲 乙
甲 乙 丙 甲 丙
甲乙丙乙甲
甲乙丙乙丙
甲乙甲乙丙
甲乙甲丁
甲乙甲丙乙
甲 乙 甲 丙 甲
甲丙甲乙甲
甲丙甲乙丙
甲丙甲丙甲
甲丙 甲 丙 乙
甲 丙 乙 甲 丙
甲 丙 乙 甲 乙
甲 丙 乙 丙 甲
甲 丙 乙 丙 乙
其中花回到甲手里共有 6 种情形，
根据古典概型得 .
(2)结合题意得概率 为经过 次传花后花回到甲手里,
要使传花 次后,花回到甲手里,则第 次传花,花不在甲手里,在乙或丙手里,且下一次传花都有 的概率将花传到甲手里,
故 ,
所以 与 之间的递推关系为: .
得 ,所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,
所以 .
(3)由(2)知 ，所以 ，
设 ,
其中 ,
所以
故 ,
所以
因此 ,
设数列 的前 项和为 ,则 ,①
所以 ,②
由 ① 一② 得 ,
所以 ,即 ,得证.