广东普宁市第二中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题（含答案）

普宁二中 2025-2026 学年度高一第二学期第一次月考数学 试卷
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 答案一律写在答题卡上, 写在本试卷上无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
3. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. 或 B. 或
C. D. 或
2. 函数 的定义域为( )
A. B. C. D.
3. 已知幂函数 为奇函数,且在区间 上是增函数,则 ( )
A. 1 或 4 B. 0 或 4 C. 1 或 2 D. 0 或 2
4. 命题“ ”为真命题的充要条件是( )
A. B. C. D.
5. 若 ,则
A. B. 2
C. D. -2
6. 在直角坐标系中,以原点为角 的顶点, 轴正半轴为 的始边,此时 终边与单位圆交点 ; 某种折扇 (如图 1) 的平面图如图 2 的扇形 ,已知该扇形面积 ,其圆心角为 . 则该扇形的弧长为( )
图1
图2
A. B. C. D.
7. 已知定义在 上的偶函数 在 上是减函数,若 ,则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
8. 设 ,若对任意实数 都有 ,以下说法错误的是( )
A. B.
C. D. 满足条件的有序实数组 的组数为 4
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项 中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分.
9. 物理中位移的合成是向量加法的几何基础,例如: 在 中, 为线段 中点 (如左图),在封闭回路 中, ; 在封闭回路 中, ; 将两式相加,由于 和 互为相反向量,其和为 ,整理可得 . 类比这个过程,在右图的四边形 中, 分别为线段 中点,则()
A.
B.
C.
D.
10. 下列说法正确的是( )
A. 若 ，则 的值域为
B. 若 时, 的最大值为
C. 函数 的最小值为
D. 设 为正实数,则 的最小值为
11. 已知 是定义在 上的奇函数,且满足 ; 当 时, , 下列说法正确的是( )
A. 的图象关于点 对称 B. 为周期函数
C. D. 函数 有且仅有 2 个零点
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数 的图象恒过定点_____.
13. 已知 ,则 _____.
14. 已知函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称, ,若 在 上是增函数,则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. (1)计算
( 2 )若 是第四象限角，求 的值.
16. 我市为打造世界级旅游胜地，方便游客游玩，拟建设旅游轻轨. 经调研测算，每辆列车的载客数量 (单位:人)与发车时间间隔 (单位:分钟，且 )有关:当发车时间间隔达到或超过 15 分钟时,每辆列车均为满载状态,载客量为 600 人；当 时，每辆列车的载客数量 与 成正比. 假设每辆列车的日均总车票收入 (单位: 万元).
(1)求 关于 的函数表达式；
(2)当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均总车票收入最大？并求出该最大值.
17. 已知 是 上的偶函数,
(1)求 的取值集合；
(2)若 ，函数 在 上的最大值为 -1, 求 的值以及 的单调递减区间.
18. 已知 ,函数 .
(1)判断 的单调性，说明理由;
(2)若 有两个零点 ,
① 求实数 的取值范围;
② 证明: .
19. 函数 的定义域为 ,若存在正实数 ,对任意的 ,总有 , 则称函数 具有性质 ,
(1)分别判断下列函数是否具有性质 ，并说明理由;
① ② .
( 2 )已知 为给定的正实数，若函数 具有性质 ，求 的取值范围.
(用含字母 的式子表示)
1. B
由集合 得 , 则 或 .
故选: B
2. B
由题可得: . 因 在 上单调递增, 则 .
所以函数 的定义域为 .
故选: B.
3. D
在区间 上是单调增函数, ,
即 ,又 ,
当 时, 是奇函数,
当 时, 是偶函数,不符合题意.
所以 .
故选: D
4. A
由 ,解得 ,所以
而 恒成立,即 恒成立,所以 .
故选: A
5. B
,
,
则 ,
即 ,
,
解得 .
故选: B
6. C
由题意可得, ,则 ,
设扇形的半径为 ,则 ,得 ,
则该扇形的弧长为 .
7. A
由 上的偶函数 在 上是减函数,得 在 上单调递增,
由 ,得 ,
由 ,得 ,
由 ,得 ,由 , 得 ,则 ,因此 , 所以 的大小关系为 .
8. C
对于 : 两个正弦型函数恒等,其振幅必须相等,故 ,解得 正确; 对于 : 两个正弦型函数恒等,其周期必须相等,故 ,解得 正确;
对于 : 当 时, ,可得 ,又 , 所以 ;
当 时, ,
可得 ,解得 ,又 ,所以 ;
当 时, ,
可得 ,解得 ,又 ,所以 ;
当 时, ,
可得 ,解得 ,又 ,所以 ;
综上, 的可能取值为 错误;
对于 D: 由以上分析可知，满足条件的有序实数组共有 4 组:
正确.
9. AB
因为 ,
则 ,
且 分别为 的中点,则 ,
所以 . 即 , A 正确,
又 ,
所以 , B 正确,
,
即 ,
即 , C 错误;
如图:
由条件可知 ,
,即 ,
所以 ,
即 ,故 D 错误,
故选: AB
10. BCD
对于 ,当 时, ,故选项 错误;
对于 ,
所以有 ,故 ,
当且仅当 时等号成立; 故选项 B 正确;
对于
,
当且仅当 时,即 时等号成立,故 正确;
对于 ,因为 为正数,令 ,则 ,
且 ,根据基本不等式可得
,
当且仅当 时,即 时,等号成立,此时 ,解得 . 该条件符合 为正实数的要求,故最小值可以取到. 故 D 正确.
故选: BCD.
11. ACD
对于选项 A: 因为 是定义在 上的奇函数,则 ,
可得 ,即 ,
所以函数 的图象关于点 对称,故 正确;
对于选项 : 因为 ,
令 ,可得 ,即 ,
当 时, ,且 是定义在 上的奇函数,
当 时, ,且 ,
可知函数 在 上的值域为 ,
由 可得 ,
可知函数 在 上的值域为
则不存在非零实数 ,使得 ,
所以 不为周期函数,故 错误;
对于选项 : 因为 ,且 ,
则 ,故 正确;
对于选项 : 令 ,可得 ,
因为函数 在 上的值域为
且 ,可知 ,即 ,
且 ,则可取 ,
可知 的交点只可能在 内,
分别作出 在 内的图象,
由图象可知: 在 内有 2 个交点,
所以函数 有且仅有 2 个零点,故 正确.
12.
当 ,即 时,不论 为何值,只要 且 ,都有 . 考点: 图象恒过定点
13.
由题意,因为 ,
所以 .
故答案为: .
14.
函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称, .
① 当 时， 在区间 上是增函数， . 由于 在区间 上是增函数, ,化为 , 解得 ,舍去.
② 当 时， 在区间 上是减函数， .
由于 在区间 上是增函数, ,解得 .
综上可得: .
故答案为 .
15. (1)
(1)原式
,
(2)
是第四象限角,
原式
16. (1)
( 2 )发车间隔为 10 分钟时，每辆列车的日均总车票收入最大，且最大值为 万元
(1) 当 时, ;
当 时, ,且当 时, ,
解得 . 综上所述, .
(2)当 时， ，
当且仅当 时,等号成立;
当 时, 在 上单调递减,此时 ,且 ,
所以当发车间隔为 10 分钟时,每辆列车的日均总车票收入最大,且最大值为 万元.
17.
; 单调递减区间为
(1)因为
所以
因为 是 上的偶函数,所以对 ,
所以 ,即 ,解得 ,
即 的取值集合为 .
(2)若 ，由(1)可知 ，
则
所以
所以当 ，所以 ，所以 ，
所以当 时， 取得最大值，
即 ,解得 ,
所以 ,
由 ,解得 ,
即 的单调递减区间为 .
18.(1)任取 ,且 ,
由
当 时, ,因 ,则 ,
则 ,故 ,即函数 在 上单调递减;
当 时， ， ，因 ，则 ，
则 ,故 ,即函数 在 上单调递增.
(2)① 有两个零点即方程 有两个正根 ， 即方程 有两个正根 ,也即函数 与 在 上有两个交点.
由(1)可得 在 上单调递减,在 上单调递增,
且当 时, ,当 时, ,
故需使 ，即实数 的取值范围为 ；
②依题意， ，两式相减，得 ，即
因 ,则 ,则 ,即 ,故得
另一方面,要证 ,需证 ,即证 ①,
因 ,则 代入①, ,即
,②
因 且 ,则 ,则 ,
则 ② 式左边大于 .
设 ,因 在 上恒成立,
故② 式成立，从而①式成立，故有 ，
综上, 得证.
19(1)对任意 ,得 ,
当 时,
所以 不具有性质 ;
对任意 ,得 .
所以 具有性质 .
(2)由于 ，函数 的定义域为 ，
若函数 具有性质 ,则对于任意实数 ,
有 ,
即 ,即 ,
由于函数 在 上单调递增,得 ,
即 ,
当 时,得 ,对任意实数 恒成立;
当 时,易得 ,由 ,得 ,
得 ,得 ,
由题意得 对任意实数 恒成立,
所以 解得 .
当 时,易得 ,由 ,得 ,
得 ,得 .
由题意得 对任意实数 恒成立,
所以 解得 .
综上所述， 的取值范围为 .