广东揭阳市三校2025-2026学年高三下学期开学综合训练数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东揭阳市三校2025-2026学年高三下学期开学综合训练数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 308.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-25 00:00:00 | ||
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文档简介
2026 年 2 月高三级综合训练 数学
一、单选题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 命题: 的否定是( )
A. B. C. D.
2. 在二项式 的展开式中,第 5 项和第 9 项的系数相等,则 ( )
A. 14 B. 13 C. 12 D. 11
3. 已知 为实数， 是关于 的方程 的一个根，则 的值为( )
A. 14 B. -14 C. 38 D. -38
4. 已知 是各项为正数的等比数列, ,且 与 的等差中项为 4,则 等于 ( )
A. 2 B. C. 4 D. 8
5. 已知点 是圆 外一点,过 作圆 的两条切线,切于 两点, 则切线长 ( )
A. B. C. D.
6. 有很多立体图形都体现了数学的对称美, 其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体. 半正多面体因其最早由阿基米德研究发现, 故也被称作阿基米德体. 某公园中设置的供市民休息的石凳如图所示，它是一个棱数为 24 的半正多面体，且所有顶点都在同一个正方体的表面上, 它也可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的, 若被截正方体的棱长为 ,则该石凳的表面积为( )
A. B. C. D.
7. 如图所示,等边 内有 3 个全等的小三角形，且 ，则 的面积为( )
A. 7 B. C. 14 D.
8. 设 ,则( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选 项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 有选错的得 0 分, 部分选对 的得部分分. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
9. 已知 为两条不同的直线， 两个不同的平面，且 ，则()
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
10. 下列说法正确的有( )
A. 69,63,65,55,71,73,77,78,83,82 这组数据的第 80 百分位数是 80
B. 若一组数据 的方差为 ,则 的方差为 1
C. 若变量 服从二项分布 ，则
D. 若变量 服从正态分布 ,则
11. 纯音的数学模型是函数 ,但我们平时听到的乐音不止是一个音在响,而是许多个音的结合,称为复合音. 复合音的产生是因为发声体在全段振动,产生频率为 的基音的同时, 其各部分, 如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动, 产生的频率恰好是全段振动频率的倍数,如 等. 这些音叫谐音,因为其振幅较小,我们一般不易单独听出来,所以我们听到的声音函数是 . 记 ,则下列结论中正确的是 ( )
A. 为 的一条对称轴 B. 的最小正周期为
C. 的最大值为 D. 关于点 中心对称
三、填空题:共3小题，每小题 5 分，共 15 分. 请把答案填在答题卡的相应位 置上.
12. 若直线 与双曲线 只有一个公共点，则 的一个取值为_____.
13. 已知角 的顶点与原点重合,始边与 轴的正半轴重合,将角 的终边绕原点逆时针旋转 后与单位圆 交于点 ，则 _____.
14. 1202 年, 意大利数学家斐波那契 (Leonardo Fibonacci, 约 1170-约 1250) 以兔子繁殖问题,引入“兔子数列”: ,即 . 人们在自然界中发现了许多斐波那契数列的例子. 斐波那契数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域也有着广泛的应用. 若此数列被 2 除后的余数构成一个新数列 ，则数列 的前 2025 项的和为_____.
四、解答题:共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某校组织本校 2000 名学生进行针对性检测 (检测分为初试和复试), 并随机抽取了 100 名学生的初试成绩, 绘制了频率分布直方图, 如图所示.
(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值; (同一组数据用该区间的中点值作代表) (2)若所有学生的初试成绩， 近似服从正态分布 ，其中 为样本平均数的估计值， ,初试成绩不低于 90 分的学生才能参加复试,试估计能参加复试的人数、(四舍五入精确到整数).
附:若随机变量 服从正态分布 ,则 ,
16. 已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，且满足 ，若方程 恰有两个不同的解,求实数 的取值范围.
17. 如图,在三棱锥 中, , .
(1)求 ，并说明异面直线 与 所成角 的大小在棱 长度增大时是怎样变化的.
(2)判断点 在平面 上的射影是否可能在直线 上？设出你的结论并加以证明.
18. 已知函数 .
(1)当 时,求 的极值;
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(3)证明: .
19. 用一个平面截圆锥, 若圆锥的轴与该平面所成角大于圆锥轴截面的半顶角时, 所得截口曲线是椭圆. 在直角三角形 中， ，点 在线段 上， 为 的平分线,直线 与平面 垂直，垂足为 . 点 ， ，记点 的轨迹为曲线 .
(1)说明:曲线 为椭圆；
(2)建立适当坐标系，求曲线 的方程；
(3)当四面体 体积最大时，求平面 与平面 夹角的大小.
1. C
全称量词 要改为存在量词 ,结论 要否定为 ,条件 保持不变; 所以命题 的否定是 .
故选:
2. C
二项式 展开式的通项为 且 , 依题意可得 ,则 .
故选: C.
3. C
由题意 ,即 , ,解得 ,所以 .
故选: C
4. D
由题可知, ,得 ,解得 或 (舍去). 设等比数列 的公比为 ,则由 ,可得 , 整理得 ,得 或 (舍去),
则 .
故选: D.
5. A
由题意知, ,半径 ,
则 .
故选: A
6. D
由图形可得该多面体的棱长为 ,则 6 个正方形的面积之和为 , 8 个等边三角形的面积之和为 ,所以该石凳的表面积为 .
故选: D.
7.
在 中, ,
又 ，则 为锐角，
，设 ，
在 中,由正弦定理得 ,
由余弦定理得
或 (舍),
所以 ,
所以 ,
故选: B
8. A
方法一: 设 ,
则 ,且 为负数,
所以 ,由 得 .
同理, ,由 得 ,
所以 .
方法二: 设 ,则 ,
所以 .
设 ,则 ,
当 时, ,所以 在 上单调递增,
因为 ,且 ,
即 .
又 ,所以 .
故选: A
9. AC
对于 ,由面面垂直的判定定理即可判断 ,故 正确;
对于 ,若 可得直线 与直线 可能平行、相交、异面,故 错误;
对于 ,若 ,又 则 ,故 正确;
对于 ,若 ,则 或 ,故 错误;
故选: AC.
10. ACD
A. 将数据从小到大排序为55,63,65,69,71,73,77,78,82,83,共 10 个数据. , 这组数据的第 80 百分位数是 ,选项 正确.
B. 若一组数据 的方差为 ,则 的方差为 ,选项 错误.
C. 若变量 服从二项分布 ，则 ，选项 C 正确.
D. 变量 服从正态分布 , 正态密度曲线关于直线 对称,
,
,选项 D 正确.
故选: ACD.
11. BCD
因为 ,
所以 ,
则 不为 的一条对称轴,故选项 不正确;
因为 ,
所以 ,
则 的周期为 ,而 的最小正周期为 ,故 的最小正周期为 ,
故选项 B 正确;
因为
所以
又因为
所以 的周期为 .
故只考虑函数 在 上的最大值即可.
令 ,得: 或 或 或 ;
令 ,得: 或者 或 ;
所以函数 在 和 上单调递增; 在 和 上单调递减.
又因为 ,
所以 的最大值为 ,故选项 C 正确;
因为 ,
所以 ,
则 关于点 中心对称,故选项 正确.
故选: BCD
12. (或 ,答案不唯一)
联立 ,化简并整理得: ,
由题意得 或 ,
解得 或无解,即 ,经检验,符合题意.
故答案为: (或 ,答案不唯一).
13.
由题意可知: ,则 , 又 ,所以 .
故答案为: .
14. 1350
由题意知数列: , 被 2 除后的余数构成一个新数列 , 即数列 是以 3 为周期的数列,一个周期内的三项和为 2,
因为 ,故数列 的前 2025 项的和为 ,
故答案为: 1350
15. (1) 62
(2) 46
(1)设样本平均数的估计值为 ,
则 .
所以, 样本平均数的估计值为 62 .
(2)由(1)可知，样本平均数的估计值 ，
所以 ,
则 .
所以,估计能参加复试的人数为 .
16. (1) ; (2) .
(1) 因为
,
由 得 ,
所以函数 的单调递增区间为 ;
(2)因为 ，所以 ，
即 ,所以 ,
故 ,所以 ,因此 ,
所以 ,令 ,则 ,
作出函数 在 的大致图像如下,
因为方程 恰有两个不同的解,则 与 有两不同交点,
即 与 有两不同交点,
由图像可得,只需 ,即 .
17.(1) 异面直线 与 所成角为 ,
,
,
,因为 在 上单调递减,所以随 长度增大, 减少, 故 增大.
(2)不可能.
证明: 假设点 在平面 上的射影在 上,
则平面 平面 ,平面 平面 平面 平面 ,则有 ,
从而有 ,这与 矛盾,
所以点 在平面 上的射影不可能在 上.
18.(1) 当 时, ,定义域为 ,则
当 时, ; 当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
因此,当 时 有极大值 无极小值.
(2)若 在 上恒成立，
即 在 上恒成立,
设 ,则 ,
① 当 时，有 ，此时函数 在 上单调递增，
有 ,不符合题意;
② 当 时， ，
令 ,解得 ,
若 ,则 ,此时 ,
函数 在 上单调递减,则恒有 ,符合题意;
若 ,则 ,则 ,得 ,得 ,
从而可知,函数 在 上单调递增,在 上单调递减.
注意到当 时, ,此与 相矛盾,不符合题意.
综上,实数 的取值范围为 .
(3)由(2)知，当 时， 在 上恒成立，
令 ,则有 ,
所以 ,
将上面式子相加,可得 ,
即是 ,
故 .
19.(1)曲线 是椭圆的几何理由:
可将“ 的点 ”视作以 为顶点、 为轴的圆锥面上的点,
圆锥轴截面的半顶角为 ,
点 ,点 的轨迹为此圆锥面与平面 的交线.
因为已知直线 与平面 垂直，垂足为 ， ，所以 ，
因为在直角三角形 中, ,点 在线段 上, 为 的平分线, 所以 与平面 所成的角为 ,
,
若圆锥的轴 与平面 所成角 大于圆锥轴截面的半顶角 ,
按圆锥曲线的判定规律可知该截线必为椭圆.
(2)可取空间直角坐标系:令 为原点 ，令平面 为平面 ， 由于 平面 ,可令过点 平行于 的直线为 轴,
又知 中, ,
因为点 在 上且 平分 ,
由角分线定理得 ,
则 .
设平面 内任意点 坐标为 .
向量 .
由 可用向量夹角公式 ,
所以 ,
化简可得 ,所以曲线 的方程为 ;
(3)四面体 的底面可取三角形 (其平面即 )， 面积为 .
若 在上一步所求椭圆上,则其到平面 的距离即 .
四面体体积 ,
要使 最大,需在椭圆上使 取最大值.
下面用两种方法计算求解.
法一: 由椭圆方程可知,当 时, 最大,此时 ,
取上顶点 .
取平面 的一个法向量为 ,
由 与 可求出 与 ,
平面 的法向量 ,
由 ,得 ,令 ,则 ,
所以平面 的一个法向量为 ,
设平面 与平面 夹角为 ,
则 ,
所以平面 与平面 夹角的大小为 .
综上,当四面体体积最大时,平面 与平面 的夹角为 .
法二: 由上可知, ,又因为 ,所以 ,
因为 平面 ,
所以 平面 ,
因为 平面 ，
所以 ,
由 ,平面 平面 ,
所以 即为平面 与平面 夹角,即平面 与平面 的夹角为 .
一、单选题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 命题: 的否定是( )
A. B. C. D.
2. 在二项式 的展开式中,第 5 项和第 9 项的系数相等,则 ( )
A. 14 B. 13 C. 12 D. 11
3. 已知 为实数， 是关于 的方程 的一个根，则 的值为( )
A. 14 B. -14 C. 38 D. -38
4. 已知 是各项为正数的等比数列, ,且 与 的等差中项为 4,则 等于 ( )
A. 2 B. C. 4 D. 8
5. 已知点 是圆 外一点,过 作圆 的两条切线,切于 两点, 则切线长 ( )
A. B. C. D.
6. 有很多立体图形都体现了数学的对称美, 其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体. 半正多面体因其最早由阿基米德研究发现, 故也被称作阿基米德体. 某公园中设置的供市民休息的石凳如图所示，它是一个棱数为 24 的半正多面体，且所有顶点都在同一个正方体的表面上, 它也可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的, 若被截正方体的棱长为 ,则该石凳的表面积为( )
A. B. C. D.
7. 如图所示,等边 内有 3 个全等的小三角形，且 ，则 的面积为( )
A. 7 B. C. 14 D.
8. 设 ,则( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选 项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 有选错的得 0 分, 部分选对 的得部分分. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
9. 已知 为两条不同的直线， 两个不同的平面，且 ，则()
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
10. 下列说法正确的有( )
A. 69,63,65,55,71,73,77,78,83,82 这组数据的第 80 百分位数是 80
B. 若一组数据 的方差为 ,则 的方差为 1
C. 若变量 服从二项分布 ，则
D. 若变量 服从正态分布 ,则
11. 纯音的数学模型是函数 ,但我们平时听到的乐音不止是一个音在响,而是许多个音的结合,称为复合音. 复合音的产生是因为发声体在全段振动,产生频率为 的基音的同时, 其各部分, 如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动, 产生的频率恰好是全段振动频率的倍数,如 等. 这些音叫谐音,因为其振幅较小,我们一般不易单独听出来,所以我们听到的声音函数是 . 记 ,则下列结论中正确的是 ( )
A. 为 的一条对称轴 B. 的最小正周期为
C. 的最大值为 D. 关于点 中心对称
三、填空题:共3小题，每小题 5 分，共 15 分. 请把答案填在答题卡的相应位 置上.
12. 若直线 与双曲线 只有一个公共点，则 的一个取值为_____.
13. 已知角 的顶点与原点重合,始边与 轴的正半轴重合,将角 的终边绕原点逆时针旋转 后与单位圆 交于点 ，则 _____.
14. 1202 年, 意大利数学家斐波那契 (Leonardo Fibonacci, 约 1170-约 1250) 以兔子繁殖问题,引入“兔子数列”: ,即 . 人们在自然界中发现了许多斐波那契数列的例子. 斐波那契数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域也有着广泛的应用. 若此数列被 2 除后的余数构成一个新数列 ，则数列 的前 2025 项的和为_____.
四、解答题:共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某校组织本校 2000 名学生进行针对性检测 (检测分为初试和复试), 并随机抽取了 100 名学生的初试成绩, 绘制了频率分布直方图, 如图所示.
(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值; (同一组数据用该区间的中点值作代表) (2)若所有学生的初试成绩， 近似服从正态分布 ，其中 为样本平均数的估计值， ,初试成绩不低于 90 分的学生才能参加复试,试估计能参加复试的人数、(四舍五入精确到整数).
附:若随机变量 服从正态分布 ,则 ,
16. 已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，且满足 ，若方程 恰有两个不同的解,求实数 的取值范围.
17. 如图,在三棱锥 中, , .
(1)求 ，并说明异面直线 与 所成角 的大小在棱 长度增大时是怎样变化的.
(2)判断点 在平面 上的射影是否可能在直线 上？设出你的结论并加以证明.
18. 已知函数 .
(1)当 时,求 的极值;
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(3)证明: .
19. 用一个平面截圆锥, 若圆锥的轴与该平面所成角大于圆锥轴截面的半顶角时, 所得截口曲线是椭圆. 在直角三角形 中， ，点 在线段 上， 为 的平分线,直线 与平面 垂直，垂足为 . 点 ， ，记点 的轨迹为曲线 .
(1)说明:曲线 为椭圆；
(2)建立适当坐标系，求曲线 的方程；
(3)当四面体 体积最大时，求平面 与平面 夹角的大小.
1. C
全称量词 要改为存在量词 ,结论 要否定为 ,条件 保持不变; 所以命题 的否定是 .
故选:
2. C
二项式 展开式的通项为 且 , 依题意可得 ,则 .
故选: C.
3. C
由题意 ,即 , ,解得 ,所以 .
故选: C
4. D
由题可知, ,得 ,解得 或 (舍去). 设等比数列 的公比为 ,则由 ,可得 , 整理得 ,得 或 (舍去),
则 .
故选: D.
5. A
由题意知, ,半径 ,
则 .
故选: A
6. D
由图形可得该多面体的棱长为 ,则 6 个正方形的面积之和为 , 8 个等边三角形的面积之和为 ,所以该石凳的表面积为 .
故选: D.
7.
在 中, ,
又 ，则 为锐角，
，设 ，
在 中,由正弦定理得 ,
由余弦定理得
或 (舍),
所以 ,
所以 ,
故选: B
8. A
方法一: 设 ,
则 ,且 为负数,
所以 ,由 得 .
同理, ,由 得 ,
所以 .
方法二: 设 ,则 ,
所以 .
设 ,则 ,
当 时, ,所以 在 上单调递增,
因为 ,且 ,
即 .
又 ,所以 .
故选: A
9. AC
对于 ,由面面垂直的判定定理即可判断 ,故 正确;
对于 ,若 可得直线 与直线 可能平行、相交、异面,故 错误;
对于 ,若 ,又 则 ,故 正确;
对于 ,若 ,则 或 ,故 错误;
故选: AC.
10. ACD
A. 将数据从小到大排序为55,63,65,69,71,73,77,78,82,83,共 10 个数据. , 这组数据的第 80 百分位数是 ,选项 正确.
B. 若一组数据 的方差为 ,则 的方差为 ,选项 错误.
C. 若变量 服从二项分布 ，则 ，选项 C 正确.
D. 变量 服从正态分布 , 正态密度曲线关于直线 对称,
,
,选项 D 正确.
故选: ACD.
11. BCD
因为 ,
所以 ,
则 不为 的一条对称轴,故选项 不正确;
因为 ,
所以 ,
则 的周期为 ,而 的最小正周期为 ,故 的最小正周期为 ,
故选项 B 正确;
因为
所以
又因为
所以 的周期为 .
故只考虑函数 在 上的最大值即可.
令 ,得: 或 或 或 ;
令 ,得: 或者 或 ;
所以函数 在 和 上单调递增; 在 和 上单调递减.
又因为 ,
所以 的最大值为 ,故选项 C 正确;
因为 ,
所以 ,
则 关于点 中心对称,故选项 正确.
故选: BCD
12. (或 ,答案不唯一)
联立 ,化简并整理得: ,
由题意得 或 ,
解得 或无解,即 ,经检验,符合题意.
故答案为: (或 ,答案不唯一).
13.
由题意可知: ,则 , 又 ,所以 .
故答案为: .
14. 1350
由题意知数列: , 被 2 除后的余数构成一个新数列 , 即数列 是以 3 为周期的数列,一个周期内的三项和为 2,
因为 ,故数列 的前 2025 项的和为 ,
故答案为: 1350
15. (1) 62
(2) 46
(1)设样本平均数的估计值为 ,
则 .
所以, 样本平均数的估计值为 62 .
(2)由(1)可知，样本平均数的估计值 ，
所以 ,
则 .
所以,估计能参加复试的人数为 .
16. (1) ; (2) .
(1) 因为
,
由 得 ,
所以函数 的单调递增区间为 ;
(2)因为 ，所以 ，
即 ,所以 ,
故 ,所以 ,因此 ,
所以 ,令 ,则 ,
作出函数 在 的大致图像如下,
因为方程 恰有两个不同的解,则 与 有两不同交点,
即 与 有两不同交点,
由图像可得,只需 ,即 .
17.(1) 异面直线 与 所成角为 ,
,
,
,因为 在 上单调递减,所以随 长度增大, 减少, 故 增大.
(2)不可能.
证明: 假设点 在平面 上的射影在 上,
则平面 平面 ,平面 平面 平面 平面 ,则有 ,
从而有 ,这与 矛盾,
所以点 在平面 上的射影不可能在 上.
18.(1) 当 时, ,定义域为 ,则
当 时, ; 当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
因此,当 时 有极大值 无极小值.
(2)若 在 上恒成立，
即 在 上恒成立,
设 ,则 ,
① 当 时，有 ，此时函数 在 上单调递增，
有 ,不符合题意;
② 当 时， ，
令 ,解得 ,
若 ,则 ,此时 ,
函数 在 上单调递减,则恒有 ,符合题意;
若 ,则 ,则 ,得 ,得 ,
从而可知,函数 在 上单调递增,在 上单调递减.
注意到当 时, ,此与 相矛盾,不符合题意.
综上,实数 的取值范围为 .
(3)由(2)知，当 时， 在 上恒成立，
令 ,则有 ,
所以 ,
将上面式子相加,可得 ,
即是 ,
故 .
19.(1)曲线 是椭圆的几何理由:
可将“ 的点 ”视作以 为顶点、 为轴的圆锥面上的点,
圆锥轴截面的半顶角为 ,
点 ,点 的轨迹为此圆锥面与平面 的交线.
因为已知直线 与平面 垂直，垂足为 ， ，所以 ，
因为在直角三角形 中, ,点 在线段 上, 为 的平分线, 所以 与平面 所成的角为 ,
,
若圆锥的轴 与平面 所成角 大于圆锥轴截面的半顶角 ,
按圆锥曲线的判定规律可知该截线必为椭圆.
(2)可取空间直角坐标系:令 为原点 ，令平面 为平面 ， 由于 平面 ,可令过点 平行于 的直线为 轴,
又知 中, ,
因为点 在 上且 平分 ,
由角分线定理得 ,
则 .
设平面 内任意点 坐标为 .
向量 .
由 可用向量夹角公式 ,
所以 ,
化简可得 ,所以曲线 的方程为 ;
(3)四面体 的底面可取三角形 (其平面即 )， 面积为 .
若 在上一步所求椭圆上,则其到平面 的距离即 .
四面体体积 ,
要使 最大,需在椭圆上使 取最大值.
下面用两种方法计算求解.
法一: 由椭圆方程可知,当 时, 最大,此时 ,
取上顶点 .
取平面 的一个法向量为 ,
由 与 可求出 与 ,
平面 的法向量 ,
由 ,得 ,令 ,则 ,
所以平面 的一个法向量为 ,
设平面 与平面 夹角为 ,
则 ,
所以平面 与平面 夹角的大小为 .
综上,当四面体体积最大时,平面 与平面 的夹角为 .
法二: 由上可知, ,又因为 ,所以 ,
因为 平面 ,
所以 平面 ,
因为 平面 ，
所以 ,
由 ,平面 平面 ,
所以 即为平面 与平面 夹角,即平面 与平面 的夹角为 .
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