广东广州市天河区2026届普通高中毕业班适应性训练（二模）数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东广州市天河区2026届普通高中毕业班适应性训练（二模）数学试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 332.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-25 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
2026 届普通高中毕业班适应性训练 数学
本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号 填写在答题卡相应的位置上, 再用 2B 铅笔把考号的对应数字涂黑.
2.选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑: 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案; 不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案: 不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁, 考试结束后, 将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分、在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 在 的二项展开式中,第 4 项的二项式系数是( )
A. 56 B. -56 C. 70 D. -70
3. 已知复数 满足 ,则复数 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 已知等比数列 满足 ,记 为其前 项和,则 ( )
A. 4 B. 6.5 C. 8 D. 12
5. 函数 是奇函数的充要条件是( )
A. B.
C. D.
6. 在 中,已知 ,则向量 在 上的投影向量为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知点 在圆 上,点 ,当 最大时,则 ( )
A. B. C. D.
8. 在锐角 中，角 所对的边分别为 且 ，则 的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 为普及法制教育，对 50 名市民开展了一次法律知识竞赛答题活动，测试成绩统计如表所示, 其中两个数据被遮盖.
成绩/分 92 93 95 96 98 99 100
人数 5 7 8 14 13
下列结论正确的是 ( )
A. 众数为 99 B. 极差为 9
C. 25% 分位数为 96 D. 平均数大于中位数
10. 如图，在正四面体 中，点 分别为各棱的中点，则( )
A.
B. 平面
C.
D. 直线 与直线 所成角的余弦值为
11. 对于函数 ,下面说法正确的有( )
A. 当 时，函数 有两个零点
B. 当 时,函数 不存在极值点
C. 当 最小值为 时,
D. 当 时,函数 在区间 单调递减
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 的渐近线为_____.
13. 已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为_____.
14. 我们把经过同一点且半径相等的圆称为共点等圆. 在平面上过同一点 有 个共点等圆,其中任何两个圆都有两个不同的交点,但任何三个圆除点 外无其他公共点, 记这 个共点等圆共有 个交点,若 ,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 的周期为 ,且 .
(1)求函数 的解析式；
(2)比较 与 的大小.
16. 某公司为了了解 商品销售收入 (单位:万元)与广告支出 (单位:万元)之间的关系,现收集的 5 组样本数据如下表所示,且经验回归方程为 .
2 5 6 8 9
16 20 21 m 28
10.96 19.24 22 27.52 30.28
(1)求 的值；
(2)现从这 5 组数据的残差中抽取 2 组进行分析 (观测值减去预测值称为残差)，记 表示抽到数据的残差为负的组数,求 的分布列和期望;
(3)已知 ，且当 时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据 ,判断经验回归方程的拟合效果是否良好.
17. 已知函数 .
(1)直线 过点 且与曲线 相切,求直线 方程;
(2)已知 在导函数 的图象上，以点 为圆心的 与 轴都相切，且 与 彼此外切. 若 ,且 ,求数列 的前 项之和 .
18. 如图. 底面为平行四边形的直四棱柱 ， ， ，点 为边 上的中点,点 是空间一点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若平面 与平面 所成角的余弦值为 ，求 ；
(3)若 ，直线 平面 ，则在平面 ， 内是否存在点 ，使得 的长为定值,若存在,指出点 的位置,若不存在,请说明理由.
19. 已知点 为抛物线 的焦点,点 在 上.
(1)求 的方程与点 坐标:
(2)过点 的直线，与抛物线 相交于 两点，一条垂直于 轴的直线，分别与线段 和直线 相交于 两点.
(i) 若 为线段 的中点,求证: 直线 为抛物线 的切线;
(ii) 若直线 为抛物线 的切线,过点 作直线 的垂线,垂足为 ,求 的最大值.
1. C
集合 ,则 .
故选: C.
2. A
第 4 项的二项式系数为 .
故选: A.
3. C
由 ,得 ,
所以复数 在复平面内对应的点为 ,
所以对应点位于第三象限.
故选:C.
4. C
因为数列 为等比数列,且 ,则 ,
又因为 ,即 ,
可得 ,可得 ,
所以 .
5.
代入 得 ,因此 ,
代入 得 ,结合 即 ,
整理得 对任意 恒成立,平方化简得 对任意 恒成立,因此 , 因此 是奇函数等价于 且 ,即 ,
反之若 ,必有 ,
此时 确实是奇函数,故充要条件为 .
6. D
两边平方得 ,即 ,
又 两边平方得 ,
即 ,即 ,
如图， ，向量 与 的夹角为 ，
所以向量 在 上的投影向量为 .
7. D
设圆 的圆心为 ,则 ,半径 ,
过 作圆的切线,设交点为 ,如图,
由图可知,当 与圆相切,且 点在第四象限时, 最大,
因为 ,所以 ,
又 ,所以 ,
所以 .
8. A
由 可得
因此 ,
由于 ,
故 ,即 ,又 ,故 ,
结合 为锐角,则 ,故 ,且 ,此时 ,
因此 且 ,故 ,
又 ,则 ,
故 ,
由于 ,则 ,
故 .
9. AC
根据题意, 总共有 50 名市民,
所以成绩为 92 或 93 的共 人,
则 99 分有 14 人，众数为 99 ，A 正确；
极差为 , B 错误;
因为 ,则第 13 个数分值为 正确;
中位数是第 25 和第 26 两个数的平均数, 由于这两个数都是 99,
所以中位数为 99 ,
设成绩为 92 的有 个人,
平均数为
所以平均数小于中位数, 错误.
10.
对于 ,取 中点 ,连接 ,
在正四面体 中,根据题意,可得 ,
所以 ,同理 ,
又 平面 ,
所以 平面 平面 ,则 ,
又 ,所以 , A 正确;
对于 ,根据正四面体的性质可知 ,则 ,又 ,
所以 ,同理 ,
又 平面 ,
所以 平面 , B 正确;
对于 ,设正四面体 棱长为 1,
顶点 在平面 上的射影为点 ,则 为 的重心,
所以 ,
所以 ,
,
所以 , C 错误;
对于 ,因为 ,
所以 为直线 与直线 所成的角, 则 , D 正确.
11. BCD
函数 的定义域为 ,
当 时, ,解得 ,
不妨取 ,当 时, ,函数 在 上单调递减,
当 时, ,函数 在 上单调递增,
,
易知当 时,函数 ,此时函数只有一个零点,故 错误;
当 时,若 ,因 ,则 ,则 在 上单调递增, 无极值点;
若 ,因 ,则 ,则 在 上单调递减,无极值点; 综上,当 时,函数 不存在极值点,故 正确;
由 项分析可知,当 最小值为 时,有 ,
,即 ,
令 ,则 ,即 ,
令 ,
当 时， ,当 时，
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
则 的解为 ,
即 ,此时 ,即 ,故 正确;
当 时,函数
由 ,可得 ,即函数 的定义域为 ,
则 ,因 ,
则 ,
故当 时, ,即 在 上单调递减,故 正确.
12.
由双曲线方程为 ,知: 双曲线的实轴长为 ,虚轴长为 ,
由题意得: ，解得 ，
双曲线的渐近线方程为 ,
因此, 的渐近线为 .
13.
,
在区间 上单调递增,
在区间 上恒成立,
在区间 上恒成立,
在区间 内恒成立,
,
的取值范围为 .
14. 21
过同一点 有 个等圆,当增加第 个圆时,
第 个圆与前 个圆各有一个除 外的交点,
因此递推关系为: ,
当 时,三个等圆过同一点 ,
每两个圆有 2 个交点,但 是公共点,
所以除 外,每两个圆有 1 个交点,
三个圆中两两组合的数量为 ,
因此 ,
由递推关系式可得:
...
将这些式子累加得:
所以 ,
又因为 ,所以 ,整理得: ,
因式分解得: ,解得: 或 ,
又 ,
所以 .
15. (1)
(2)
(1)由条件可知, ,得 ,
可知,函数 关于直线 对称,
所以 ,得 ,
因为 ,所以 时, ,
所以 ;
(2) ， 在区间 单调递增,所以 ,则 , 所以 .
16.(1) ,
因为 ,即 ,
解得 .
(2)5 组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值，
所以 可能取值为 0,1,2,
所以 的分布列为
0 1 2
1 10 3 5
期望 .
(3) ,
所以经验回归方程的拟合效果是不良好.
17.
(2)
(1) 因为 ,则 ,
设切点坐标为 ,则切线斜率 ,
可得切线方程为 ,即 ,
代入点 可得 ，解得 ，
所以直线 方程为 .
(2)由(1)可知: ，则 ，
由题意可知: 的圆心为 ,半径 ,
因为 与 外切,则 ,
可得 ,且 ,
整理可得 ,即 ,
可知数列 是以首项 ，公差 的等差数列，
则 ,即 ,
则 ,
所以 .
18. (1)连接 ,交 于点 ,连接 .如图:
因为四棱柱 为直四棱柱，所以四边形 为矩形，
所以 为 中点,又 为 中点,
所以 ,又 平面 平面 ,所以 平面 .
(2)以 为基底，设 ，
则 , , .
设平面 的法向量为 ,
则 .
令 ,则 ,所以 .
设平面 的法向量为 ,
又 .
由
所以 .
令 ,则 .
所以 .
又
由 ,
所以 ,
所以 或 (舍去).
所以 .
(3)因为三棱柱 为直四棱柱，且 ，故可以 为原点， 所在的射线为 轴,建立如图空间直角坐标系.
则 .
设 ,则 ,
因为 平面 ,所以 .
整理得 ,即 在以 为球心, 为半径的球上,也在平面
上,其中平面 的一个法向量 ,
要使得 为定值,则 ,
由已知 ，由(2)得平面 的法向量 ，
而 ,且点 平面 ,
则 平面 ,
则直线 与平面 无交点,故不存在点 使得 为定值.
19.( 1 ) 点 在 ,
;
点 为抛物线 的焦点， ；
(2)(i) 过点 的直线与抛物线 相交于 两点， 此直线一定存在斜率，
设过点 的直线方程为 ,
将 代入 ,得到 ,
整理得到 ,
如图,设 ,则有 ,
为线段 的中点, ,
,
,
在直线 上， ，
,
在 上, ,
,
,
切点为 ,
与切点为 的斜率相等, 直线 为抛物线 的切线;
(ii) 由 (i) 知,当 为抛物线 的切线时,
,
直线 的方程为 ,
如图, 作出符合题意的图形,
过点 作直线 的垂线,垂足为 ,
在直线 上, , ,
,
,
,
,
,
,
设 ,整理得到 ,
则 ,解得 ,
的最大值为 的最大值为 4 .
本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号 填写在答题卡相应的位置上, 再用 2B 铅笔把考号的对应数字涂黑.
2.选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑: 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案; 不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案: 不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁, 考试结束后, 将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分、在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 在 的二项展开式中,第 4 项的二项式系数是( )
A. 56 B. -56 C. 70 D. -70
3. 已知复数 满足 ,则复数 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 已知等比数列 满足 ,记 为其前 项和,则 ( )
A. 4 B. 6.5 C. 8 D. 12
5. 函数 是奇函数的充要条件是( )
A. B.
C. D.
6. 在 中,已知 ,则向量 在 上的投影向量为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知点 在圆 上,点 ,当 最大时,则 ( )
A. B. C. D.
8. 在锐角 中，角 所对的边分别为 且 ，则 的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 为普及法制教育，对 50 名市民开展了一次法律知识竞赛答题活动，测试成绩统计如表所示, 其中两个数据被遮盖.
成绩/分 92 93 95 96 98 99 100
人数 5 7 8 14 13
下列结论正确的是 ( )
A. 众数为 99 B. 极差为 9
C. 25% 分位数为 96 D. 平均数大于中位数
10. 如图，在正四面体 中，点 分别为各棱的中点，则( )
A.
B. 平面
C.
D. 直线 与直线 所成角的余弦值为
11. 对于函数 ,下面说法正确的有( )
A. 当 时，函数 有两个零点
B. 当 时,函数 不存在极值点
C. 当 最小值为 时,
D. 当 时,函数 在区间 单调递减
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 的渐近线为_____.
13. 已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为_____.
14. 我们把经过同一点且半径相等的圆称为共点等圆. 在平面上过同一点 有 个共点等圆,其中任何两个圆都有两个不同的交点,但任何三个圆除点 外无其他公共点, 记这 个共点等圆共有 个交点,若 ,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 的周期为 ,且 .
(1)求函数 的解析式；
(2)比较 与 的大小.
16. 某公司为了了解 商品销售收入 (单位:万元)与广告支出 (单位:万元)之间的关系,现收集的 5 组样本数据如下表所示,且经验回归方程为 .
2 5 6 8 9
16 20 21 m 28
10.96 19.24 22 27.52 30.28
(1)求 的值；
(2)现从这 5 组数据的残差中抽取 2 组进行分析 (观测值减去预测值称为残差)，记 表示抽到数据的残差为负的组数,求 的分布列和期望;
(3)已知 ，且当 时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据 ,判断经验回归方程的拟合效果是否良好.
17. 已知函数 .
(1)直线 过点 且与曲线 相切,求直线 方程;
(2)已知 在导函数 的图象上，以点 为圆心的 与 轴都相切，且 与 彼此外切. 若 ,且 ,求数列 的前 项之和 .
18. 如图. 底面为平行四边形的直四棱柱 ， ， ，点 为边 上的中点,点 是空间一点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若平面 与平面 所成角的余弦值为 ，求 ；
(3)若 ，直线 平面 ，则在平面 ， 内是否存在点 ，使得 的长为定值,若存在,指出点 的位置,若不存在,请说明理由.
19. 已知点 为抛物线 的焦点,点 在 上.
(1)求 的方程与点 坐标:
(2)过点 的直线，与抛物线 相交于 两点，一条垂直于 轴的直线，分别与线段 和直线 相交于 两点.
(i) 若 为线段 的中点,求证: 直线 为抛物线 的切线;
(ii) 若直线 为抛物线 的切线,过点 作直线 的垂线,垂足为 ,求 的最大值.
1. C
集合 ,则 .
故选: C.
2. A
第 4 项的二项式系数为 .
故选: A.
3. C
由 ,得 ,
所以复数 在复平面内对应的点为 ,
所以对应点位于第三象限.
故选:C.
4. C
因为数列 为等比数列,且 ,则 ,
又因为 ,即 ,
可得 ,可得 ,
所以 .
5.
代入 得 ,因此 ,
代入 得 ,结合 即 ,
整理得 对任意 恒成立,平方化简得 对任意 恒成立,因此 , 因此 是奇函数等价于 且 ,即 ,
反之若 ,必有 ,
此时 确实是奇函数,故充要条件为 .
6. D
两边平方得 ,即 ,
又 两边平方得 ,
即 ,即 ,
如图， ，向量 与 的夹角为 ，
所以向量 在 上的投影向量为 .
7. D
设圆 的圆心为 ,则 ,半径 ,
过 作圆的切线,设交点为 ,如图,
由图可知,当 与圆相切,且 点在第四象限时, 最大,
因为 ,所以 ,
又 ,所以 ,
所以 .
8. A
由 可得
因此 ,
由于 ,
故 ,即 ,又 ,故 ,
结合 为锐角,则 ,故 ,且 ,此时 ,
因此 且 ,故 ,
又 ,则 ,
故 ,
由于 ,则 ,
故 .
9. AC
根据题意, 总共有 50 名市民,
所以成绩为 92 或 93 的共 人,
则 99 分有 14 人，众数为 99 ，A 正确；
极差为 , B 错误;
因为 ,则第 13 个数分值为 正确;
中位数是第 25 和第 26 两个数的平均数, 由于这两个数都是 99,
所以中位数为 99 ,
设成绩为 92 的有 个人,
平均数为
所以平均数小于中位数, 错误.
10.
对于 ,取 中点 ,连接 ,
在正四面体 中,根据题意,可得 ,
所以 ,同理 ,
又 平面 ,
所以 平面 平面 ,则 ,
又 ,所以 , A 正确;
对于 ,根据正四面体的性质可知 ,则 ,又 ,
所以 ,同理 ,
又 平面 ,
所以 平面 , B 正确;
对于 ,设正四面体 棱长为 1,
顶点 在平面 上的射影为点 ,则 为 的重心,
所以 ,
所以 ,
,
所以 , C 错误;
对于 ,因为 ,
所以 为直线 与直线 所成的角, 则 , D 正确.
11. BCD
函数 的定义域为 ,
当 时, ,解得 ,
不妨取 ,当 时, ,函数 在 上单调递减,
当 时, ,函数 在 上单调递增,
,
易知当 时,函数 ,此时函数只有一个零点,故 错误;
当 时,若 ,因 ,则 ,则 在 上单调递增, 无极值点;
若 ,因 ,则 ,则 在 上单调递减,无极值点; 综上,当 时,函数 不存在极值点,故 正确;
由 项分析可知,当 最小值为 时,有 ,
,即 ,
令 ,则 ,即 ,
令 ,
当 时， ,当 时，
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
则 的解为 ,
即 ,此时 ,即 ,故 正确;
当 时,函数
由 ,可得 ,即函数 的定义域为 ,
则 ,因 ,
则 ,
故当 时, ,即 在 上单调递减,故 正确.
12.
由双曲线方程为 ,知: 双曲线的实轴长为 ,虚轴长为 ,
由题意得: ，解得 ，
双曲线的渐近线方程为 ,
因此, 的渐近线为 .
13.
,
在区间 上单调递增,
在区间 上恒成立,
在区间 上恒成立,
在区间 内恒成立,
,
的取值范围为 .
14. 21
过同一点 有 个等圆,当增加第 个圆时,
第 个圆与前 个圆各有一个除 外的交点,
因此递推关系为: ,
当 时,三个等圆过同一点 ,
每两个圆有 2 个交点,但 是公共点,
所以除 外,每两个圆有 1 个交点,
三个圆中两两组合的数量为 ,
因此 ,
由递推关系式可得:
...
将这些式子累加得:
所以 ,
又因为 ,所以 ,整理得: ,
因式分解得: ,解得: 或 ,
又 ,
所以 .
15. (1)
(2)
(1)由条件可知, ,得 ,
可知,函数 关于直线 对称,
所以 ,得 ,
因为 ,所以 时, ,
所以 ;
(2) ， 在区间 单调递增,所以 ,则 , 所以 .
16.(1) ,
因为 ,即 ,
解得 .
(2)5 组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值，
所以 可能取值为 0,1,2,
所以 的分布列为
0 1 2
1 10 3 5
期望 .
(3) ,
所以经验回归方程的拟合效果是不良好.
17.
(2)
(1) 因为 ,则 ,
设切点坐标为 ,则切线斜率 ,
可得切线方程为 ,即 ,
代入点 可得 ，解得 ，
所以直线 方程为 .
(2)由(1)可知: ，则 ，
由题意可知: 的圆心为 ,半径 ,
因为 与 外切,则 ,
可得 ,且 ,
整理可得 ,即 ,
可知数列 是以首项 ，公差 的等差数列，
则 ,即 ,
则 ,
所以 .
18. (1)连接 ,交 于点 ,连接 .如图:
因为四棱柱 为直四棱柱，所以四边形 为矩形，
所以 为 中点,又 为 中点,
所以 ,又 平面 平面 ,所以 平面 .
(2)以 为基底，设 ，
则 , , .
设平面 的法向量为 ,
则 .
令 ,则 ,所以 .
设平面 的法向量为 ,
又 .
由
所以 .
令 ,则 .
所以 .
又
由 ,
所以 ,
所以 或 (舍去).
所以 .
(3)因为三棱柱 为直四棱柱，且 ，故可以 为原点， 所在的射线为 轴,建立如图空间直角坐标系.
则 .
设 ,则 ,
因为 平面 ,所以 .
整理得 ,即 在以 为球心, 为半径的球上,也在平面
上,其中平面 的一个法向量 ,
要使得 为定值,则 ,
由已知 ，由(2)得平面 的法向量 ，
而 ,且点 平面 ,
则 平面 ,
则直线 与平面 无交点,故不存在点 使得 为定值.
19.( 1 ) 点 在 ,
;
点 为抛物线 的焦点， ；
(2)(i) 过点 的直线与抛物线 相交于 两点， 此直线一定存在斜率，
设过点 的直线方程为 ,
将 代入 ,得到 ,
整理得到 ,
如图,设 ,则有 ,
为线段 的中点, ,
,
,
在直线 上， ，
,
在 上, ,
,
,
切点为 ,
与切点为 的斜率相等, 直线 为抛物线 的切线;
(ii) 由 (i) 知,当 为抛物线 的切线时,
,
直线 的方程为 ,
如图, 作出符合题意的图形,
过点 作直线 的垂线,垂足为 ,
在直线 上, , ,
,
,
,
,
,
,
设 ,整理得到 ,
则 ,解得 ,
的最大值为 的最大值为 4 .
同课章节目录