广东广州市第六中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东广州市第六中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 329.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-25 00:00:00 | ||
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文档简介
2026 广州市第六中学高二下学期开学考试 数学试题
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集 ,则 ( )
A. B.
C. D.
2. 复数 (其中 为虚数单位) 的虚部为( )
A. i B. -i C. 1 D. -1
3. 甲、乙、丙三人破译一份密码,若三人各自独立破译出密码的概率为 ,且他们是否破译出密码互不影响，则这份密码被破译出的概率为( )
A. B. C. D.
4. 已知 ,则 ( )
A. B. C. -2 D. 2
5. 在棱长为 4 的正方体 中, 分别是棱 的中点,过 作平面 ,使得 ,则点 到平面 的距离是 ( )
A. B. C. D.
6. 已知 ，则 的大小关系为( )
A. B.
C. D.
7. 已知数列 满足 ,设甲: ,乙: 为等差数列. 则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知椭圆 和双曲线 有公共焦点, 左,右焦点分别为 ,设两曲线在第一象限的交点为 ,设椭圆 的离心率为 ,双曲线 的离心率为 ,若 ,则 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法错误的是( )
A. 直线 的倾斜角 的取值范围是
B. 若圆 上恰有两点到点 的距离为 1,则 的取值范围是
C. “直线 与直线 互相垂直”是“ ”的充分而不必要条件
D. 过点 且在 轴、 轴上的截距相同的直线方程是
10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,左、右顶点分别为 , . 若 在第一象限,且在 的右支上, 到 轴的距离为 ,过 作动直线 与 的左支交于 两点,则( )
A.
B. 的一条渐近线的倾斜角为
C. 直线 与 的交点在直线 上
D. 的内切圆的圆心坐标为
11. " 0,1 数列”是每一项均为 0 或 1 的数列,在通信技术中应用广泛. 设 是一个“0,1 数列”,定义数列 : 数列 中每个 0 都变为“ 1,0,1 ”, 中每个 1 都变为“0,1,0 ”, 所得到的新数列. 例如数列 ,则数列 . 已知数列 ,且数列 ,记数列 中 0 的个数为 的个数为 ,数列 的所有项之和为 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 数列 为等比数列 B. 数列 为等比数列
C. 数列 为等比数列 D. 数列 为等比数列
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 在 的最大值和最小值分别为 ,则 _____.
13. 已知函数 ,则 的最大值是_____.
14. 已知 是棱长为 的正四面体 ,设 的四个顶点到平面 的距离所构成的集合为 ,若 中元素的个数为 ,则称 为 的 阶等距平面, 为 的 阶等距集. 如果 为 的 1 阶等距平面且 1 阶等距集为 ,则符合条件的 有_____个， 的所有可能取值构成的集合是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 设函数 .
(1)若 在点 处的切线为 ,求 的值;
(2) 求 的解集.
16. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， 为 的中点.
(1)若 ,证明: 平面 ;
(2)已知 ，平面 和平面 的夹角的余弦值为 ，求四棱锥 的体积.
17. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)若 ，求 ；
(2)求 的最小值.
18. 已知椭圆 的离心率为 分别为椭圆的左、右顶点， 为椭圆的上顶点,且 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线 交椭圆于 ， 两点，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 的值.
19. 已知点 是抛物线 上一点，点 ， .
(1)求 的坐标和抛物线 的方程；
(2)连接 交 于另一点 ，令 为 关于 轴的对称点，连接 交 于另一点 ，令 为 关于 轴的对称点......，如此不断循环，即连接 交 于另一点 ，令 为 关于 轴的对称点,得到点列 和 ,设 .
(i) 证明: 数列 为等差数列;
(ii) 记四边形 的面积为 ,求 并证明: .
1. A
由 ,得 ,所以 ,则 .
又 ,
所以 不是 的子集.
故选: A.
2. D
因为 ,所以其虚部为 -1 .
故选: D.
3. D
设这份密码被破译出为事件 ,
所以 ,
所以 ,
故选:D.
4. A
由 ,得 ,
等式两边同时除以 ,得 ,
即 ,又 ,所以 ,
所以 .
故选: A
5. D
如图,以 原点, 为 轴, 为 轴, 为 轴建立空间直角坐标系,
设平面 的一个法向量为 ,
,
即 ,
令 则 ,
即 为平面 的一个法向量,
点 到平面 的距离 .
故选: D
6. A
注意到 ,则 ,从而 ;
,因 ,则 ,
注意到 ,
又 ，从而 ；
,因 ,
,则 ,
从而 ；
综上可得: .
故选: A
7. A
令 ,则 ,因为 ,
所以 ,即 为等差数列,故充分性成立.
反之,若 为等差数列,设公差为 ,
则 ,
当 时, ,故必要性不成立.
故选: A.
8. A
设椭圆与双曲线的焦距 ,
由题意 ,
,
,
,
,
,则 ,
,
,解得 ,
设 ,则 ,
,
在 上单调递增,
.
故选: A.
9. ACD
对于 ,直线 的斜率为 由正弦型函数的性质,得 ,故直线 的倾斜角 的取值范围是 ,故 A 错误;
对于 ,若圆 上恰有两点到点 的距离为 1,
则圆心 到点 的距离 满足: , 则 ,解得 ,故 的取值范围是 ,故 正确;
对于 ,由直线 与直线 互相垂直可得 ,解得 或 ,
所以“直线 与直线 互相垂直”是“ ”的必要而不充分条件,故
C 错误;
对于 ,当直线在 轴、 轴上的截距均为 0 时,过点 的直线方程为 ,
当直线在 轴、 轴上的截距相等不为 0 时,设直线方程为 ,
将点 代入得 ,解得 ,故直线方程为 ,
综上,直线方程为 或 ,故 错误.
故选: ACD.
10. AD
不妨设 在第一象限,由 到 轴的距离为 ,设 ,
将 的坐标代入 的方程得 ，所以 ，因为 ，所以
所以 ,解得 ,所以 正确;
所以 的渐近线方程为 ,倾斜角分别为 ,所以 错误;
将直线 特殊化: 设 的方程为 ,不妨设 ,
所以 的方程为 的方程为 ,
联立解得 的交点坐标为 ,不在直线 上,所以 错误;
由已知及双曲线的定义得, 内切圆的圆心在直线 ,即 上,
又 ,
设内切圆的半径为 ,则 ,解得 ,
所以 的内切圆的圆心坐标为 ,所以 正确.
故选: AD.
11.
记数列 中 0 的个数为 的个数为 ,则 , 两式相加得 ,又 ,
所以数列 是以 5 为首项、 3 为公比的等比数列,故 A 正确;
两式相减得 ,又 ,
所以数列 是以 -1 为首项、-1 为公比的等比数列,故 B 正确;
而 ,
,
,故 C 正确;
,
设 ,所以 ,
但 ,故 错误.
故选: ABC.
12. 2
设 ,
则 ,
所以 是奇函数,
又 ,
所以 .
故答案为: 2 .
13.
,令 ,则 .
则 ,故当 ,即 时,取到最大值,
所以 .
故答案为:
14.
① 情形一:分别取 的中点 ，
由中位线性质可知 ,
此时平面 为 的一个 1 阶等距平面,
为正四面体高的一半,等于 .
由于正四面体有 4 个面,这样的 1 阶等距平面 平行于其中一个面,有 4 种情况;
②情形二:分别取 的中点
将此正四面体放置到棱长为 1 的正方体中，
则 为正方体棱长的一半,等于 .
由于正四面体的六条棱中有 3 组对棱互为异面直线,
这样的 1 阶等距平面 平行于其中一组异面直线,有 3 种情况.
综上,当 的值为 时, 有 4 个; 当 的值为 时, 有 3 个.
所以符合条件的 有 7 个, 的所有可能取值构成的集合是 ;
故答案为:7;
15. (1)易知 的定义域为 , 因为 ,
因为 在点 处的切线为 ,
所以 ,所以 ,所以 ,
把点 代入 得: .
即 的值为: .
(2) .
① 当 时， 在 上恒成立，所以 的解集为 ；
② 当 时,令 ,解得: .
综上所述: 当 时, 的解集为 ;
当 时, 的解集为 .
16.(1)因为 平面 平面 ，所以 是直角三角形,
因为 是 的中点,所以 ,因为 ,所以 ,可得 ,
因为 平面 ,所以 ,
因为 平面 ,所以 平面 ;
(2)设 ，因为 两两垂直，以 为坐标原点，向量 分别为 轴建立空间直角坐标系,
有 ,
设平面 的法向量为 ,由 ,
有 ,
取 ,可得平面 的一个法向量为 ,
设平面 的法向量为 ,由 ,
有 ,
取 ,可得平面 的一个法向量为 ,
又由 ,
有 ,又由平面 和平面 的夹角的余弦值为 ,有 ,
解得 ,
故 ，所以 .
17. ;
(2) .
(1)方法一:直接法
可得 ,
则 ,即 ,
注意到 ,于是 ,
展开可得 ,则 ,
又 .
方法二: 二倍角公式处理+直接法
因为 ,
即 ,
而 ,所以 ;
方法三: 导数同构法
根据 可知, ,
设 ,
则 在 上单调递减, ,
故 ,结合 ,解得 .
方法四:恒等变换化简
,
结合正切函数的单调性, ,则 ,
结合 ，解得 .
(2)由(1)知， ，所以 ，
而 ,
所以 ,即有 ,所以
所以由正弦定理得
.
当且仅当 时取等号,所以 的最小值为 .
18.
(2)
(1)由题意 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
又离心率 ,解得 ,
联立解得 ,
所以椭圆的标准方程为 .
(2)将直线与椭圆联立 ,得 ,
设 ,则 ,
又 ,所以 ,
所以
19.(1) 由 在抛物线 上,则 ,即 , 可得 ,化简可得 ,解得 , 所以抛物线 .
(2)(i)由题意可知 共线，且 ，
由 在抛物线 上,则 ,即 ,
由共线以及三点所在直线斜率存在,则 ,
可得 ,化简可得 ,
整理可得 ,即 ,所以数列 是等差数列.
(ii) 由 (i) 可知数列 是等差数列,公差为 ,且 ,
则 ,即 ,
由题意可得 ,
即 ,
则四边形 的面积
.
当 时, ,可得 ,
故
.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集 ,则 ( )
A. B.
C. D.
2. 复数 (其中 为虚数单位) 的虚部为( )
A. i B. -i C. 1 D. -1
3. 甲、乙、丙三人破译一份密码,若三人各自独立破译出密码的概率为 ,且他们是否破译出密码互不影响，则这份密码被破译出的概率为( )
A. B. C. D.
4. 已知 ,则 ( )
A. B. C. -2 D. 2
5. 在棱长为 4 的正方体 中, 分别是棱 的中点,过 作平面 ,使得 ,则点 到平面 的距离是 ( )
A. B. C. D.
6. 已知 ，则 的大小关系为( )
A. B.
C. D.
7. 已知数列 满足 ,设甲: ,乙: 为等差数列. 则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知椭圆 和双曲线 有公共焦点, 左,右焦点分别为 ,设两曲线在第一象限的交点为 ,设椭圆 的离心率为 ,双曲线 的离心率为 ,若 ,则 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法错误的是( )
A. 直线 的倾斜角 的取值范围是
B. 若圆 上恰有两点到点 的距离为 1,则 的取值范围是
C. “直线 与直线 互相垂直”是“ ”的充分而不必要条件
D. 过点 且在 轴、 轴上的截距相同的直线方程是
10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,左、右顶点分别为 , . 若 在第一象限,且在 的右支上, 到 轴的距离为 ,过 作动直线 与 的左支交于 两点,则( )
A.
B. 的一条渐近线的倾斜角为
C. 直线 与 的交点在直线 上
D. 的内切圆的圆心坐标为
11. " 0,1 数列”是每一项均为 0 或 1 的数列,在通信技术中应用广泛. 设 是一个“0,1 数列”,定义数列 : 数列 中每个 0 都变为“ 1,0,1 ”, 中每个 1 都变为“0,1,0 ”, 所得到的新数列. 例如数列 ,则数列 . 已知数列 ,且数列 ,记数列 中 0 的个数为 的个数为 ,数列 的所有项之和为 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 数列 为等比数列 B. 数列 为等比数列
C. 数列 为等比数列 D. 数列 为等比数列
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 在 的最大值和最小值分别为 ,则 _____.
13. 已知函数 ,则 的最大值是_____.
14. 已知 是棱长为 的正四面体 ,设 的四个顶点到平面 的距离所构成的集合为 ,若 中元素的个数为 ,则称 为 的 阶等距平面, 为 的 阶等距集. 如果 为 的 1 阶等距平面且 1 阶等距集为 ,则符合条件的 有_____个， 的所有可能取值构成的集合是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 设函数 .
(1)若 在点 处的切线为 ,求 的值;
(2) 求 的解集.
16. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， 为 的中点.
(1)若 ,证明: 平面 ;
(2)已知 ，平面 和平面 的夹角的余弦值为 ，求四棱锥 的体积.
17. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)若 ，求 ；
(2)求 的最小值.
18. 已知椭圆 的离心率为 分别为椭圆的左、右顶点， 为椭圆的上顶点,且 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线 交椭圆于 ， 两点，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 的值.
19. 已知点 是抛物线 上一点，点 ， .
(1)求 的坐标和抛物线 的方程；
(2)连接 交 于另一点 ，令 为 关于 轴的对称点，连接 交 于另一点 ，令 为 关于 轴的对称点......，如此不断循环，即连接 交 于另一点 ，令 为 关于 轴的对称点,得到点列 和 ,设 .
(i) 证明: 数列 为等差数列;
(ii) 记四边形 的面积为 ,求 并证明: .
1. A
由 ,得 ,所以 ,则 .
又 ,
所以 不是 的子集.
故选: A.
2. D
因为 ,所以其虚部为 -1 .
故选: D.
3. D
设这份密码被破译出为事件 ,
所以 ,
所以 ,
故选:D.
4. A
由 ,得 ,
等式两边同时除以 ,得 ,
即 ,又 ,所以 ,
所以 .
故选: A
5. D
如图,以 原点, 为 轴, 为 轴, 为 轴建立空间直角坐标系,
设平面 的一个法向量为 ,
,
即 ,
令 则 ,
即 为平面 的一个法向量,
点 到平面 的距离 .
故选: D
6. A
注意到 ,则 ,从而 ;
,因 ,则 ,
注意到 ,
又 ，从而 ；
,因 ,
,则 ,
从而 ；
综上可得: .
故选: A
7. A
令 ,则 ,因为 ,
所以 ,即 为等差数列,故充分性成立.
反之,若 为等差数列,设公差为 ,
则 ,
当 时, ,故必要性不成立.
故选: A.
8. A
设椭圆与双曲线的焦距 ,
由题意 ,
,
,
,
,
,则 ,
,
,解得 ,
设 ,则 ,
,
在 上单调递增,
.
故选: A.
9. ACD
对于 ,直线 的斜率为 由正弦型函数的性质,得 ,故直线 的倾斜角 的取值范围是 ,故 A 错误;
对于 ,若圆 上恰有两点到点 的距离为 1,
则圆心 到点 的距离 满足: , 则 ,解得 ,故 的取值范围是 ,故 正确;
对于 ,由直线 与直线 互相垂直可得 ,解得 或 ,
所以“直线 与直线 互相垂直”是“ ”的必要而不充分条件,故
C 错误;
对于 ,当直线在 轴、 轴上的截距均为 0 时,过点 的直线方程为 ,
当直线在 轴、 轴上的截距相等不为 0 时,设直线方程为 ,
将点 代入得 ,解得 ,故直线方程为 ,
综上,直线方程为 或 ,故 错误.
故选: ACD.
10. AD
不妨设 在第一象限,由 到 轴的距离为 ,设 ,
将 的坐标代入 的方程得 ，所以 ，因为 ，所以
所以 ,解得 ,所以 正确;
所以 的渐近线方程为 ,倾斜角分别为 ,所以 错误;
将直线 特殊化: 设 的方程为 ,不妨设 ,
所以 的方程为 的方程为 ,
联立解得 的交点坐标为 ,不在直线 上,所以 错误;
由已知及双曲线的定义得, 内切圆的圆心在直线 ,即 上,
又 ,
设内切圆的半径为 ,则 ,解得 ,
所以 的内切圆的圆心坐标为 ,所以 正确.
故选: AD.
11.
记数列 中 0 的个数为 的个数为 ,则 , 两式相加得 ,又 ,
所以数列 是以 5 为首项、 3 为公比的等比数列,故 A 正确;
两式相减得 ,又 ,
所以数列 是以 -1 为首项、-1 为公比的等比数列,故 B 正确;
而 ,
,
,故 C 正确;
,
设 ,所以 ,
但 ,故 错误.
故选: ABC.
12. 2
设 ,
则 ,
所以 是奇函数,
又 ,
所以 .
故答案为: 2 .
13.
,令 ,则 .
则 ,故当 ,即 时,取到最大值,
所以 .
故答案为:
14.
① 情形一:分别取 的中点 ，
由中位线性质可知 ,
此时平面 为 的一个 1 阶等距平面,
为正四面体高的一半,等于 .
由于正四面体有 4 个面,这样的 1 阶等距平面 平行于其中一个面,有 4 种情况;
②情形二:分别取 的中点
将此正四面体放置到棱长为 1 的正方体中，
则 为正方体棱长的一半,等于 .
由于正四面体的六条棱中有 3 组对棱互为异面直线,
这样的 1 阶等距平面 平行于其中一组异面直线,有 3 种情况.
综上,当 的值为 时, 有 4 个; 当 的值为 时, 有 3 个.
所以符合条件的 有 7 个, 的所有可能取值构成的集合是 ;
故答案为:7;
15. (1)易知 的定义域为 , 因为 ,
因为 在点 处的切线为 ,
所以 ,所以 ,所以 ,
把点 代入 得: .
即 的值为: .
(2) .
① 当 时， 在 上恒成立，所以 的解集为 ；
② 当 时,令 ,解得: .
综上所述: 当 时, 的解集为 ;
当 时, 的解集为 .
16.(1)因为 平面 平面 ，所以 是直角三角形,
因为 是 的中点,所以 ,因为 ,所以 ,可得 ,
因为 平面 ,所以 ,
因为 平面 ,所以 平面 ;
(2)设 ，因为 两两垂直，以 为坐标原点，向量 分别为 轴建立空间直角坐标系,
有 ,
设平面 的法向量为 ,由 ,
有 ,
取 ,可得平面 的一个法向量为 ,
设平面 的法向量为 ,由 ,
有 ,
取 ,可得平面 的一个法向量为 ,
又由 ,
有 ,又由平面 和平面 的夹角的余弦值为 ,有 ,
解得 ,
故 ，所以 .
17. ;
(2) .
(1)方法一:直接法
可得 ,
则 ,即 ,
注意到 ,于是 ,
展开可得 ,则 ,
又 .
方法二: 二倍角公式处理+直接法
因为 ,
即 ,
而 ,所以 ;
方法三: 导数同构法
根据 可知, ,
设 ,
则 在 上单调递减, ,
故 ,结合 ,解得 .
方法四:恒等变换化简
,
结合正切函数的单调性, ,则 ,
结合 ，解得 .
(2)由(1)知， ，所以 ，
而 ,
所以 ,即有 ,所以
所以由正弦定理得
.
当且仅当 时取等号,所以 的最小值为 .
18.
(2)
(1)由题意 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
又离心率 ,解得 ,
联立解得 ,
所以椭圆的标准方程为 .
(2)将直线与椭圆联立 ,得 ,
设 ,则 ,
又 ,所以 ,
所以
19.(1) 由 在抛物线 上,则 ,即 , 可得 ,化简可得 ,解得 , 所以抛物线 .
(2)(i)由题意可知 共线，且 ，
由 在抛物线 上,则 ,即 ,
由共线以及三点所在直线斜率存在,则 ,
可得 ,化简可得 ,
整理可得 ,即 ,所以数列 是等差数列.
(ii) 由 (i) 可知数列 是等差数列,公差为 ,且 ,
则 ,即 ,
由题意可得 ,
即 ,
则四边形 的面积
.
当 时, ,可得 ,
故
.
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