广东揭阳华侨高级中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试卷（含答案）

高一级开学考试数学科试卷 (2025-2026 学年度第二学期)
(考试时间: 120 分钟, 满分: 150 分)
一. 选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项符合题目要求.
1. 已知集合 或 ，则 ( )
A. 或 B.
C. D. 或
2. 命题“对于任意的 ”的否定是( )
A. 不存在
B. 存在
C. 存在
D. 对任意的 恒成立
3. 函数 是( )
A. 奇函数,在区间 上单调递增
B. 奇函数,在区间 上单调递减
C. 偶函数,在区间 上单调递增
D. 偶函数,在区间 上单调递减
4. 已知不等式 的解集是 ，则 的值是( )
A. 1 B. -1 C. 0 D. 2
5. 已知 是第二象限角，点 为其终边上一点，且 ，则 等于( ).
A. 3 B. C. D.
6. 已知 且 ,函数 ,在 上单调递增,那么实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 若 ,且 ,则 的值是( )
A. B. C. 或 D. 或
8. 设函数 ,若方程 有 6 个不同的实数解,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四 个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列运算中正确的有( )
A. 若 ,则 B.
C. 若 ,则 D.
10. 如图是函数 的部分图象,将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象,则下列命题正确的是 ( )
A. 是奇函数
B. 是函数 图象的一条对称轴
C. 是函数 的图象的一个对称中心
D. 函数 的单调递减区间为
11. 若 ,函数 恰有 4 个零点,则实数 的取值可以是 ( )
A. B. C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若 ，则 _____.
13. 若函数 ，满足 ，则 的单调递减区间是_____.
14. 已知 为正数,且 ,则 的取值范围是_____
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分, 解答须写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤.
15. ( 1 )求值:
( 2 )已知 ，求 的值.
16. 已知函数 .
(1)求 的定义域；
(2)讨论 的奇偶性；
(3)证明: .
17. 设函数 .
(1)求函数 的最大值及此时 的取值集合；
(2)设 为 的三个内角，已知 ，且 为锐角，求 的值.
18. 已知函数 的图象关于点 对称,且函数 的图象的相邻两条对称轴间的距离为 .
(1)求函数 的解析式;
(2)求函数 的值域；
(3)将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 倍(纵坐标不变),得到函数 的图象,记方程 在区间 上的根从小到大依次为 ,求 的值.
19. 已知 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,现有函数 和函数 .
(1)若 ，求函数 的最值；
(2)若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围；
(3)若对于 ,使得 成立,求实数 的取值范围.
1. A
在数轴上分别表示集合 和 ,如图所示,
则 或 .
故选: A.
2. C
命题“对于任意的 ”的否定是“存在 ”.
3. A
令 ,
又 ,所以函数 是奇函数;
因为 和 均是 上的增函数,所以函数 在 上单调递增.
4. C
由不等式 的解集是 ,
所以-1,2是方程 的两根,
所以 ,解得 ,所以 .
5. D
因为点 为其终边上一点,且 ,
由三角函数的定义,可得 ,解得 或 或 ,
又因为 是第二象限角,所以 ,所以 .
故选: D.
6. D
由条件可知, 单调递增,所以 ,
单调递增,所以 ,
且当 时, ,解得: ,
综上可知, .
故选: D
7. B
,又 又 , 于是 ,易得 ,则 . 故选: B.
8. B
画出 的图象如下图所示,由图可知要使 有 3 个解,则需 , 依题意,方程 有 6 个不同的实数解,
令 ,则 有两个不相等的实数根 ,
且 ,令 ,
则 ,解得 ,
所以实数 的取值范围为 .
故选:
9. ABD
对于 ,由 ,得 ,即 ,所以 ,故 A 正确;
对于 ,故 正确;
对于 ,故 错误;
对于 ,故 正确.
10. ABD
由图可知: ,即 ,解得 ,
又当 时, ,解得 ,所以 ,
将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 ,
则函数 是奇函数，故 A 正确；
令 ,解得 ,则对称轴是 ,
令 ,得 ,故 B 正确;
令 ,解得 ,所以对称中心是 ,故 错误;
令 ,解得 ,
单调递减区间为 ,故 正确.
11. BC
因为函数 在 上单调递增,且 ,
所以 ,使得 ,函数 在 上只有 1 个零点,
要使函数 恰有 4 个零点,则函数 在 上只有 3 个零点.
由 ,得 ,
则 ,解得 .
12.
平方得
13.
由 ,得 ,解得 或 (舍去),即 . 由于 在 上递增，所以 在 上递减.
14.
因为 ,所以 ,
则
设 ,则 且关于 的一元二次方程有实根,
,即 ,
则 或 ,即 或 ,
故 的取值范围是
15.
(1)
( 2 )由题意得，原式
16.
(1) 由题意得 ,得 ,
所以 的定义域为 ;
(2)由(1)知， 的定义域关于原点对称.
因为
,
所以 为偶函数;
(3)证明:因为当 时， ，所以 ，
所以 ,
因为当 时, ,
所以 ,所以当 时, ,
因为 为偶函数,所以 的图象关于 轴对称,
所以当 时, 也成立.
故对于 ,恒有 .
17. (1) ,取值集合为
(2)
(1) 由题意得 ,
当 时, ,
此时 的取值集合为 ,
(2) ,
为锐角, ,
由 得 ,
.
18.
(2) (3)
(1)由题意，函数
,
因为 图象的相邻两条对称轴间的距离为 ,所以最小正周期 ,可得 ,
因为函数 的图象关于点 对称,所以 图象过点 ,可得
所以 ,因为 ,所以 ,所以函数 .
(2) ，
令 ,
则 ,所以原函数可化为 ,
因为对称轴是直线 ，所以当 时， ，
当 时， ，
即 的值域是 .
(3)将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 ， 再把横坐标缩小为原来的 (纵坐标不变),得到函数 ,
(法一) 由方程 ,可得 ,所以 或
即 或 ,因为 ,且 ,
所以 ,符合题意,
所以 .
(法二) 对于方程 ,方程的根可以转化成 在区间 上的零点,由 的图象可知函数有 6 个零点,且相邻的两个零点关于对称轴对称.
令 ,得 ,
因为 ,所以这五条对称轴分别为 ,
所以
19. (1)最小值为 ,最大值为 3 ;
(2)
(3)
(1)由题意，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 且 , 所以函数 的最小值为 ，最大值为 3 ；
(2)由题意，关于 的不等式 的解集为 ，
即不等式 对于 恒成立,
当 时,不等式为 ,即 不恒成立,不符合题意;
当 时,有 ,解得 .
综上所述,实数 的取值范围为 .
(3)由题意，对于 ,使得 成立，
则 .
对于函数 ,由 (1) 知, .
对于函数 ,
① 若 ，则 ，而 ，不符合题意.
②若 ，易知 开口向上，对称轴 ，
所以 ,
则 ,即 ,不符合题意;
③若 ，
当 ,即 时, ,
则 ,即 ,所以 ;
当 ,即 时, ,
则 ,即 ,所以此种情况不合题意;
当 时, ,
解不等式得 ,结合本情形的条件可得 ; 综上所述,实数 的取值范围为 .