广东省东莞市东华、东华松山湖高级中学2025-2026学年高三下学期寒假学习质量检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东省东莞市东华、东华松山湖高级中学2025-2026学年高三下学期寒假学习质量检测数学试题（含答案） |
|
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 459.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-25 00:00:00 | ||
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文档简介
东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学 2025-2026 学年 高三寒假
学习质量检测高三数学
满分 150 分. 考试用时 120 分钟.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 每小题给出的四个选 项中只有一个选项是符合题目要求的.
1. 集合 ，则 ( )
A. B.
C. D.
2. 设等差数列 的前 项和为 . 若 ,则 ( )
A. 12 B. 15 C. 18 D. 21
3. 在平面直角坐标系 中,角 与角 均以 为始边,已知角 的终边在第一象限,且 ，将角 的终边按照逆时针方向旋转 ，得到角 的终边，则 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知复数 ，设 在复平面内对应的向量分别为 ，则 ()
A. B. 3 C. 5 D.
5. 已知定义在 上的函数 满足 ,则( )
A. B. C. D.
6. 若 是方程 的两个根,则 ( )
A. 23 B. 27
C. -27 D. -23
7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 是 的左顶点， 为 所在平面内一点,且 . 若 与 均为等腰三角形,则 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,设曲线 在点 处切线的斜率为 ,若 均不相等,且 ,则 的最小值为 ( )
A. 18 B. -8
C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多 项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在正方体 中, 分别是 的中点,则 ( )
A. B. 平面
C. 平面 平面 D. 平面
10. 下列命题正确的是( )
A. 若 ,则
B. 已知 关于 的经验回归方程为 ,且 ,则
C. 一组样本数据 ,其中 是最小值, 是最大值,则 , 的 75% 分位数一定与 的 75% 分位数不同
D. 若事件 满足 ,则 与 独立
11. 在 中,角 所对边分别为 的中点为 ,且 ，延长 到点 ，使点 为线段 的中点，下列说法正确的是( )
A.
B. 的面积的最大值为
C. 若 为锐角三角形, 的取值范围为
D. 的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 的展开式中含 的项的系数是 80,则实数 的值为_____.
13. 有一摸球游戏, 规则如下: 在盒子里放大小、质地完全相同的 5 个红球和 10 个白球, 不放回地依次随机取出，每次取出 1 个球，直到剩下只有一种颜色的球时结束. 则最后只剩红球的概率为_____.
14. 作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习. 在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题, 通常通过计算它们之间的“距离”来实现, 闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式. 设两组数据分别为 和
,则这两组数据间的闵氏距离 ,其中 表示阶数. 若 ，则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 甲、乙两人参加某高校的入学面试, 入学面试有 2 道难度相当的题目, 甲答对每道题目的概率都是 ,乙答对每道题目的概率都是 ,每位面试者共有两次机会,若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第 2 次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过, 甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的, 且两人答题互不影响,
(1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率；
(2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为 ，求 的分布列与期望.
16. 已知数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设集合 ,等差数列 的任一项 ,其中 是 中的最小元素, ,求数列 的前 项和 .
17. 如图,三棱柱 中,平面 平面 , ， 为 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)证明:平面 平面 ；
(3)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 已知函数 .
(1)当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)若 有两个零点，求实数 的取值范围；
(3) 设 ,若函数 与 共有 4 个不同的零点,是否存在实数 ,使得这 4 个零点在调整顺序后成等差数列,若存在,求出 的值; 若不存在,请说明理由.
19. 设 分别是椭圆 的左、右焦点,已知椭圆的长轴为 是椭圆 上一动点, 的最大值为 1 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 交椭圆 于 两点， 为椭圆 上一点， 为坐标原点，且满足 ,其中 ,求 的取值范围.
(3)如图，直线 为椭圆 与抛物线 的公切线，其中点 分别在椭圆
与抛物线 上,线段 交 于点 ,求 的面积的最小值.
1. C
因为 ,
或
所以 或 .
故选: C.
2. B
设等差数列 的公差为 ,首项为 ,
因为 ,
所以 ,即 ,解得 ,
所以
故选: B
3. C
因为 是第一象限角,所以 ,所以 ,
又由题意可知 ,
所以 ,
故选: C.
4. B
复数 ,则 ,
所以 ,
故 .
故选: B
5. C
由 可知函数 的一条对称轴为直线 ,
由 ,可知函数 的一个对称中心为 ,故函数的一个周期为 .
对于 ,取 ,可得 ,解得 ,
又由 ,取 ，可得 ，故 正确.
由函数的周期性和对称性,可得 ,根据题设条件无法推得其它三个选项的正误.
故选: C.
6. C
可化为 ,
因为 是方程 的两个根,
所以 是方程 的两根,
则 ,
则 .
故选:
7.
已知椭圆 的左、右焦点为 ,左顶点 . 因为 为等腰三角形且 ,所以 是等边三角形,边长为 ,
故 点坐标为 .
又 为等腰三角形, . 由等腰三角形性质，
若 ,则 ,则 ,离心率 .
若 ,可得 ,即 ,则 ,因为 ,所以此情况不成立.
若 ,可得 ,则 ,
化简得 ,因为 ,所以 ,不满足 ,此情况不成立.
因此,椭圆的离心率为 .
故选: D
8. A
,
因为 ,所以
因为 ,所以 ,即 .
所以 或 .
不妨取 ,
所以 ,所以 , 所以 , 当且仅当 ,即 时,等号成立.
9. AC
对于 ,因为 分别是 的中点,所以 .
因为在正方体 中, ,所以 .
因为 ,所以 , A 正确;
对于 ,因为 分别是 的中点,所以 .
而 平面 ,所以 与平面 相交,不平行, 错误;
对于 ,因为 ,所以 .
因为 平面 不在平面 内,所以 平面 .
因为 ,所以 ,
因为 平面 不在平面 内,所以 平面 .
又 平面 ,所以平面 平面 正确;
如果 平面 ,而 平面 ,所以 ,
则根据勾股定理有 .
设正方体的棱长为 1,则在直角三角形 中, ,
所以 ,而 ,
很显然 不成立,所以 不成立,所以 错误. 故选: AC.
10. BD
对于 ,由于 ,则
,故 A 错误,
对于 ,将 代入 可得 ,故 正确;
对于 ,将原来 17 个数从小到大排列, ,
则 17 个数的 75% 分位数为 17 个数中的第 13 个数,
去掉其中最大和最小两个数据后， ，
故剩下的 15 个数据的 75% 分位数为 15 个数中的第 12 个数字, 也是 17 个数中的第 13 个数, 故两者可能相等，C 错误，
对于 ,所以 相互独立,因此 也相互独立, D 正确,
故选: BD.
11. ACD
对于 ,已知 ,由正弦定理得 ,
即 ,得 ,
则有 ,得 ,
又由于 ,所以 ,故 ,
而 ,所以 ,选项 正确;
对于 ,在 中,由余弦定理 ,得 ,
所以 ,所以 ,当且仅当 时取等号,
由于 ,
所以 的面积的最大值为 ，故选项 B 错误；
对于 ,在 中,由正弦定理得 ,
由 的中点为 ,有 ,
为锐角三角形,则 ,得 ,
当 ,有 ,所以 ,
有 ,故 ,选项 正确;
对于 ,设 ,所以 ,在 中由余弦定理,
,
故当 ,即 时,
取最小值 ,所以 的最小值为 ,故 选项正确.
故选: ACD
12. 1
展开式的通项公式 , 令 ,得 ,依题意有 ,解得 .
故答案为: 1
13.
在 5 个红球,10 个白球中,5 个红球的放法有 种,即基本事件总数为 , 由于最后一个是红球,那么在前 14 个球中有 10 个白球,4 个红球,其中 4 个红球的放法有 种,
故所求概率 .
故答案为: .
14. 2
法 1: 由题意得 ,
令 ,则 ,
所以当 时, 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 ,所以 ,即 .
当 时, ,当且仅当 时, 取得最小值 2 .
当 时, ,当且仅当 时, 取得最小值 2 .
当 时, ,当且仅当 时, 取得最小值 2 .
综上所述， 的最小值为 2 .
法 2: 表示点 横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和.
作 于 , ,
令 ,则 ,
令 ,解得 ,
所以函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
故 的最小值为 2 .
故答案为:2 .
15.(1)设事件 为“甲通过面试”，事件 为“乙通过面试”，
(或 )
(或 )
所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率
(2)随机变量 的可能取值为2,3,4.
随机变量 的分布列为
2 3 4
1 6
所以随机变量 的期望为 .
16.
(2)
(1)由 得:
当 时, ,
当 时, 符合上式,
所以数列 是首项为 1,公差为 3 的等差数列. 故 ;
(2)因为 ，
,
又 ,其中 是 中的最小元素,
,
的公差是 3 的倍数,
.
又 ,
解得: ,所以 ,
设等差数列 的公差为 ,
则 ,
所以 ,
所以 的通项公式为 .
因此数列 的前 项和 .
17.(1)连接 与 交于点 ，连接 ，
三棱柱侧面 为平行四边形,所以 为 的中点,
又 为 的中点,所以 ,
又因为 平面 平面 ,
所以 平面 .
(2)因为 ，所以 ，
又因为 ,
所以 ,
所以 ,所以 ,
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,
又因为 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以平面 平面 .
(3)由 ，得 ，
故 两两垂直，
以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如图所示空间直角坐标系，
则 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,则 , ,
则 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18.(1) 由 ,
当 时， ，
故 的图象在 处的切线方程为 ,即 .
(2)由 ，
当 时，令 在 上递减， 最多一个零点，与题意不符；
当 时,令 ,则 ,则当 ; 当 ,
所以 在 单调递增,在 上单调递减,
故 ,且 .
故 有两个零点,即 .
(3)由于 ，所以 与 的零点个数相同.
依题意共有 4 个不同的零点,所以 与 各有两个零点.
不妨设 的两个零点为 的两个零点为 ,
则有 ,
因为 ,得 ,①
所以 ,②
又 ,则 ,若四个零点成等差数列,则有两种情况:
(1)当 时，即 成等差数列，则有 ， ③
由②③得 ，
代入①得 ，④
又 ,
将④代入⑤式可得 ，
由等差数列性质及 ,可得 ,从而有 ,
可得 ,解得 ,这与④矛盾,故实数 不存在;
(2)当 时，即 成等差数列，则 ③ 由②③得 ，同理得 ，④
又 ，
将④代入⑥式可得 ，
代入③可得 ，解得 ， ，
这与④矛盾，故实数 不存在.
综上所述，不存在实数 使得四个零点成等差数列.
19.
(2)
(3)
(1)由题意知， ，所以 .
设 ,则 , 所以 .
因为 在椭圆 上,所以 ,即 ,
则 ,又 ,所以 ,
所以当 时,取得最大值,即 ,
所以 .
所以椭圆 的方程为 .
(2)设直线 的方程为 .
联立 ,整理得 .
,所以 ,则 .
因为 ,所以 ,
所以 .
又点 在椭圆上,所以 ,整理得 .
因为 ,则 ,所以 .
又 ,因此 .
由弦长公式得
令 ,则 ,
所以 .
因为 ,所以 .
因为 在 上单调递减,所以 ,
所以 .
故 的取值范围为 .
(3)设 ，直线 的方程为 ，不妨取 ， . 联立 ，整理得 ①，
则 ,即 .
代入①中得， ，即 ，解得 ，即 . 联立 ,整理得 ②,
则 ,即 .
代入②中得， ，即 ，解得 ，即 .
所以 .
又 ,所以 ,所以直线 .
联立 ,整理得 ,所以 .
所以点 到直线 的距离为
所以
令 ,则 ,当且仅当 ,即 时,等号成立,
则 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立.
学习质量检测高三数学
满分 150 分. 考试用时 120 分钟.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 每小题给出的四个选 项中只有一个选项是符合题目要求的.
1. 集合 ，则 ( )
A. B.
C. D.
2. 设等差数列 的前 项和为 . 若 ,则 ( )
A. 12 B. 15 C. 18 D. 21
3. 在平面直角坐标系 中,角 与角 均以 为始边,已知角 的终边在第一象限,且 ，将角 的终边按照逆时针方向旋转 ，得到角 的终边，则 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知复数 ，设 在复平面内对应的向量分别为 ，则 ()
A. B. 3 C. 5 D.
5. 已知定义在 上的函数 满足 ,则( )
A. B. C. D.
6. 若 是方程 的两个根,则 ( )
A. 23 B. 27
C. -27 D. -23
7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 是 的左顶点， 为 所在平面内一点,且 . 若 与 均为等腰三角形,则 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,设曲线 在点 处切线的斜率为 ,若 均不相等,且 ,则 的最小值为 ( )
A. 18 B. -8
C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多 项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在正方体 中, 分别是 的中点,则 ( )
A. B. 平面
C. 平面 平面 D. 平面
10. 下列命题正确的是( )
A. 若 ,则
B. 已知 关于 的经验回归方程为 ,且 ,则
C. 一组样本数据 ,其中 是最小值, 是最大值,则 , 的 75% 分位数一定与 的 75% 分位数不同
D. 若事件 满足 ,则 与 独立
11. 在 中,角 所对边分别为 的中点为 ,且 ，延长 到点 ，使点 为线段 的中点，下列说法正确的是( )
A.
B. 的面积的最大值为
C. 若 为锐角三角形, 的取值范围为
D. 的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 的展开式中含 的项的系数是 80,则实数 的值为_____.
13. 有一摸球游戏, 规则如下: 在盒子里放大小、质地完全相同的 5 个红球和 10 个白球, 不放回地依次随机取出，每次取出 1 个球，直到剩下只有一种颜色的球时结束. 则最后只剩红球的概率为_____.
14. 作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习. 在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题, 通常通过计算它们之间的“距离”来实现, 闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式. 设两组数据分别为 和
,则这两组数据间的闵氏距离 ,其中 表示阶数. 若 ，则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 甲、乙两人参加某高校的入学面试, 入学面试有 2 道难度相当的题目, 甲答对每道题目的概率都是 ,乙答对每道题目的概率都是 ,每位面试者共有两次机会,若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第 2 次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过, 甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的, 且两人答题互不影响,
(1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率；
(2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为 ，求 的分布列与期望.
16. 已知数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设集合 ,等差数列 的任一项 ,其中 是 中的最小元素, ,求数列 的前 项和 .
17. 如图,三棱柱 中,平面 平面 , ， 为 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)证明:平面 平面 ；
(3)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 已知函数 .
(1)当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)若 有两个零点，求实数 的取值范围；
(3) 设 ,若函数 与 共有 4 个不同的零点,是否存在实数 ,使得这 4 个零点在调整顺序后成等差数列,若存在,求出 的值; 若不存在,请说明理由.
19. 设 分别是椭圆 的左、右焦点,已知椭圆的长轴为 是椭圆 上一动点, 的最大值为 1 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 交椭圆 于 两点， 为椭圆 上一点， 为坐标原点，且满足 ,其中 ,求 的取值范围.
(3)如图，直线 为椭圆 与抛物线 的公切线，其中点 分别在椭圆
与抛物线 上,线段 交 于点 ,求 的面积的最小值.
1. C
因为 ,
或
所以 或 .
故选: C.
2. B
设等差数列 的公差为 ,首项为 ,
因为 ,
所以 ,即 ,解得 ,
所以
故选: B
3. C
因为 是第一象限角,所以 ,所以 ,
又由题意可知 ,
所以 ,
故选: C.
4. B
复数 ,则 ,
所以 ,
故 .
故选: B
5. C
由 可知函数 的一条对称轴为直线 ,
由 ,可知函数 的一个对称中心为 ,故函数的一个周期为 .
对于 ,取 ,可得 ,解得 ,
又由 ,取 ，可得 ，故 正确.
由函数的周期性和对称性,可得 ,根据题设条件无法推得其它三个选项的正误.
故选: C.
6. C
可化为 ,
因为 是方程 的两个根,
所以 是方程 的两根,
则 ,
则 .
故选:
7.
已知椭圆 的左、右焦点为 ,左顶点 . 因为 为等腰三角形且 ,所以 是等边三角形,边长为 ,
故 点坐标为 .
又 为等腰三角形, . 由等腰三角形性质，
若 ,则 ,则 ,离心率 .
若 ,可得 ,即 ,则 ,因为 ,所以此情况不成立.
若 ,可得 ,则 ,
化简得 ,因为 ,所以 ,不满足 ,此情况不成立.
因此,椭圆的离心率为 .
故选: D
8. A
,
因为 ,所以
因为 ,所以 ,即 .
所以 或 .
不妨取 ,
所以 ,所以 , 所以 , 当且仅当 ,即 时,等号成立.
9. AC
对于 ,因为 分别是 的中点,所以 .
因为在正方体 中, ,所以 .
因为 ,所以 , A 正确;
对于 ,因为 分别是 的中点,所以 .
而 平面 ,所以 与平面 相交,不平行, 错误;
对于 ,因为 ,所以 .
因为 平面 不在平面 内,所以 平面 .
因为 ,所以 ,
因为 平面 不在平面 内,所以 平面 .
又 平面 ,所以平面 平面 正确;
如果 平面 ,而 平面 ,所以 ,
则根据勾股定理有 .
设正方体的棱长为 1,则在直角三角形 中, ,
所以 ,而 ,
很显然 不成立,所以 不成立,所以 错误. 故选: AC.
10. BD
对于 ,由于 ,则
,故 A 错误,
对于 ,将 代入 可得 ,故 正确;
对于 ,将原来 17 个数从小到大排列, ,
则 17 个数的 75% 分位数为 17 个数中的第 13 个数,
去掉其中最大和最小两个数据后， ，
故剩下的 15 个数据的 75% 分位数为 15 个数中的第 12 个数字, 也是 17 个数中的第 13 个数, 故两者可能相等，C 错误，
对于 ,所以 相互独立,因此 也相互独立, D 正确,
故选: BD.
11. ACD
对于 ,已知 ,由正弦定理得 ,
即 ,得 ,
则有 ,得 ,
又由于 ,所以 ,故 ,
而 ,所以 ,选项 正确;
对于 ,在 中,由余弦定理 ,得 ,
所以 ,所以 ,当且仅当 时取等号,
由于 ,
所以 的面积的最大值为 ，故选项 B 错误；
对于 ,在 中,由正弦定理得 ,
由 的中点为 ,有 ,
为锐角三角形,则 ,得 ,
当 ,有 ,所以 ,
有 ,故 ,选项 正确;
对于 ,设 ,所以 ,在 中由余弦定理,
,
故当 ,即 时,
取最小值 ,所以 的最小值为 ,故 选项正确.
故选: ACD
12. 1
展开式的通项公式 , 令 ,得 ,依题意有 ,解得 .
故答案为: 1
13.
在 5 个红球,10 个白球中,5 个红球的放法有 种,即基本事件总数为 , 由于最后一个是红球,那么在前 14 个球中有 10 个白球,4 个红球,其中 4 个红球的放法有 种,
故所求概率 .
故答案为: .
14. 2
法 1: 由题意得 ,
令 ,则 ,
所以当 时, 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 ,所以 ,即 .
当 时, ,当且仅当 时, 取得最小值 2 .
当 时, ,当且仅当 时, 取得最小值 2 .
当 时, ,当且仅当 时, 取得最小值 2 .
综上所述， 的最小值为 2 .
法 2: 表示点 横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和.
作 于 , ,
令 ,则 ,
令 ,解得 ,
所以函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
故 的最小值为 2 .
故答案为:2 .
15.(1)设事件 为“甲通过面试”，事件 为“乙通过面试”，
(或 )
(或 )
所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率
(2)随机变量 的可能取值为2,3,4.
随机变量 的分布列为
2 3 4
1 6
所以随机变量 的期望为 .
16.
(2)
(1)由 得:
当 时, ,
当 时, 符合上式,
所以数列 是首项为 1,公差为 3 的等差数列. 故 ;
(2)因为 ，
,
又 ,其中 是 中的最小元素,
,
的公差是 3 的倍数,
.
又 ,
解得: ,所以 ,
设等差数列 的公差为 ,
则 ,
所以 ,
所以 的通项公式为 .
因此数列 的前 项和 .
17.(1)连接 与 交于点 ，连接 ，
三棱柱侧面 为平行四边形,所以 为 的中点,
又 为 的中点,所以 ,
又因为 平面 平面 ,
所以 平面 .
(2)因为 ，所以 ，
又因为 ,
所以 ,
所以 ,所以 ,
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,
又因为 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以平面 平面 .
(3)由 ，得 ，
故 两两垂直，
以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如图所示空间直角坐标系，
则 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,则 , ,
则 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18.(1) 由 ,
当 时， ，
故 的图象在 处的切线方程为 ,即 .
(2)由 ，
当 时，令 在 上递减， 最多一个零点，与题意不符；
当 时,令 ,则 ,则当 ; 当 ,
所以 在 单调递增,在 上单调递减,
故 ,且 .
故 有两个零点,即 .
(3)由于 ，所以 与 的零点个数相同.
依题意共有 4 个不同的零点,所以 与 各有两个零点.
不妨设 的两个零点为 的两个零点为 ,
则有 ,
因为 ,得 ,①
所以 ,②
又 ,则 ,若四个零点成等差数列,则有两种情况:
(1)当 时，即 成等差数列，则有 ， ③
由②③得 ，
代入①得 ，④
又 ,
将④代入⑤式可得 ，
由等差数列性质及 ,可得 ,从而有 ,
可得 ,解得 ,这与④矛盾,故实数 不存在;
(2)当 时，即 成等差数列，则 ③ 由②③得 ，同理得 ，④
又 ，
将④代入⑥式可得 ，
代入③可得 ，解得 ， ，
这与④矛盾，故实数 不存在.
综上所述，不存在实数 使得四个零点成等差数列.
19.
(2)
(3)
(1)由题意知， ，所以 .
设 ,则 , 所以 .
因为 在椭圆 上,所以 ,即 ,
则 ,又 ,所以 ,
所以当 时,取得最大值,即 ,
所以 .
所以椭圆 的方程为 .
(2)设直线 的方程为 .
联立 ,整理得 .
,所以 ,则 .
因为 ,所以 ,
所以 .
又点 在椭圆上,所以 ,整理得 .
因为 ,则 ,所以 .
又 ,因此 .
由弦长公式得
令 ,则 ,
所以 .
因为 ,所以 .
因为 在 上单调递减,所以 ,
所以 .
故 的取值范围为 .
(3)设 ，直线 的方程为 ，不妨取 ， . 联立 ，整理得 ①，
则 ,即 .
代入①中得， ，即 ，解得 ，即 . 联立 ,整理得 ②,
则 ,即 .
代入②中得， ，即 ，解得 ，即 .
所以 .
又 ,所以 ,所以直线 .
联立 ,整理得 ,所以 .
所以点 到直线 的距离为
所以
令 ,则 ,当且仅当 ,即 时,等号成立,
则 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立.
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