广东佛山市南海区石门中学2025-2026学年高一下学期开学测试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东佛山市南海区石门中学2025-2026学年高一下学期开学测试数学试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 317.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-25 00:00:00 | ||
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文档简介
2028 届高一级下学期开学测 数学试卷
注意事项:
1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
2. 请认真核对答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动, 请用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案. 作答非选择题, 必须用黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.
4. 考试结束后, 请将答题卡交回.
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的.)
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 下列函数中,既是奇函数,又在区间 上单调递增的是 ( )
A.
B.
C.
D.
3. 已知 ，则 的最大值为( )
A. -6 B. -4 C. -2 D. 2
4. 已知 ，则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
5. “ 在定义域内是增函数”是“函数 是幂函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知 均为实数,且函数 ,若 ,则
( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
7. 为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为 40L 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出 VL 用水补满，搅拌均匀，第二次倒出 VL 后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的 60%，则 的最小值为( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
8. 若函数 的定义域与区间 的交集由 个开区间组成，则 的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、多项选择题 (本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项 中, 有两项或三项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 设 ,且 ,则下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 下列选项正确的是( )
A.
B. ,使
C. 若 ,则
D. 曲线 与 在 有 2 个交点
11. 已知函数 ,则下列说法正确的是 ( )
A.
B. 关于 的方程 有 个不同的解
C. 在 上单调递减
D. 当 时, 恒成立.
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.)
12. 已知某扇形的弧长为 2,面积为 3,则该扇形的圆心角(正角)为_____.
13. 已知 为锐角， ，则 _____.
14. 若 ， ，则 _____.
四、解答题 (本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
15. 已知集合 .
(1)当 时，求 ；
(2)当 ，且 时，求实数 的取值范围.
16. 已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求 的解析式，并求 的单调递增区间；
(2)求 在 上的最大值，并写出取得最大值时 的值.
17. 生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温. 脉搏率 是单位时间心跳的次数，医学研究发现，动物的体重 (单位: )与脉搏率 存在着一定的关系. 表 1 给出一些动物体重与脉搏率对应的数据,图 1 画出了体重 与脉搏率 的散点图,图 2 画出了 与 的散点图.
动物名 体重 脉搏率
鼠 25 670
大鼠 200 420
豚鼠 300 300
兔 2000 200
小狗 5000 120
大狗 30000 85
羊 50000 70
表 1
为了较好地描述体重和脉搏率的关系, 现有以下两种模型供选择:
① ②
(1)选出你认为最符合实际的函数模型, 并说明理由;
(2)不妨取表 1 中豚鼠和兔的体重脉搏率数据代入所选函数模型，求出 关于 的函数解析式;
(3)若马的体重是兔的 256 倍，根据(2)的结论，预计马的脉搏率.
(参考数据: , .)
18. 已知函数 (其中 且 ) 是奇函数.
(1)求 的值；
(2)若对任意的 ，都有不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
19. 若函数 为幂函数，则称 与 互为“和幂函数”；若函数 为幂函数,则称 与 互为“积幂函数”.
(1) 函数 与 是否互为 “和幂函数” 请说明理由;
( 2 )已知函数 与 互为“积幂函数”.
① 求函数 在 上零点的个数;
② 已知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，若函数 在 上有两个零点,求实数 的取值范围.
1. D
,故 ,
故选: D
2. C
选项 是偶函数，不符合题目要求；
选项B: 是非奇非偶函数函数,不符合题目要求;
选项 C: 是奇函数,且在区间 上单调递增,符合题目要求;
选项 D: 是奇函数,在 单调递减,不符合题目要求.
故选: C
3. A
因为 ,所以 ,
所以
,
当且仅当 ,即 时,等号成立.
4. A
,所以 , 所以 .
故选: A.
5. B
若 在定义域内是增函数,则 ,即 ,
此时 不一定等于 1,所以函数 不一定是幂函数,
故“ 在定义域内是增函数”是“函数 是幂函数”的不充分条件;
反之若函数 是幂函数,则 ,
得 或 ,此时 或 ,
此时 ,即 在定义域内是增函数,
所以 “ 在定义域内是增函数”是 “函数 是幂函数”的必要条件;
故 “ 在定义域内是增函数” 是 “函数 是幂函数” 的必要不充分条件.
故选: B
6. B
由题意得 的定义域为 ,所以 ,
设 ,其定义域为 ,关于原点对称,
则 ,
所以 为奇函数,则有 ,即 ,
因为 ,所以有 ,解得 .
7.
由 ,解得
则 的最小值为 10 .
故选: B
8. C
函数的定义域需要满足 ,
可以先考虑 ,
因为
所以当 时, 或 1 ;
当 时, 或 或 1 ;
当 时, 或 或 或 1 ;
当 时, 或 或 或 或 1 ;
这时区间 自然就被分为六个区间,分别为 , ,然后对每一个区域分析函数 的符号,
根据图象可得,当 时,
所以 ,故满足题意;
同理可得 时, ,故不满足题意;
时， ,故满足题意；
时， ，故满足题意；
时， ，故不满足题意；
时 ,故满足题意.
故选:
9. AD
对于 ,由 . 所以 ,所以 ,故 正确;
对于 ,当 时, ,故 错误;
对于 ,由 ,得 ,所以 ,故 错误;
对于 ,因为 ,所以 ,所以 ,故 正确.
10. CD
对于 A: ,故 A 错误;
对于 B: ,则 ,且 ,
所以
设 ,令 ,
则 ,
又 ,
所以 ,即函数 在 上单调递增,
同理可证 在 上单调递减,且 ,
所以 ,即 取到最大值 1,
所以对于任意的 ,使得 ,故 错误;
对于 : 由 ,得 ,又 ,
所以 ,则 ,
所以 ,故 正确;
对于 : 令 ,得 ,
当 时,函数 与直线 只有 1 个交点,
当 时,函数 与直线 只有 1 个交点,
当 时,函数 与直线 没有交点,
则曲线 在 上只有 2 个交点,故 正确.
11. ACD
选项 A: . 判断正确;
选项 B:
画出 部分图像如下:
当 时,由 ,可得 或
由 ,可得 或 ; 由 ,可得
即当 时,由 可得 3 个不同的解,不是 5 个. 判断错误;
选项 C: 当 时, ,
若 即 ,则
则 ,为减函数;
当 时，
若 即 ,则
则 ,为减函数;
当 时，
若 即 ,则
则 ,为减函数;
综上, 在 上单调递减. 判断正确;
选项 D: 当 时, 可化为 ,
同一坐标系内做出 与 的图像如下:
等价于
即 ,而 恒成立. 判断正确.
故选: ACD
12.
由题意得扇形的弧长 ,面积 ,设扇形的半径为 ,圆心角为 ,
则有 ,解得 .
13.
因为 为锐角,所以 ,所以 ,
所以 ,
所以 . 故答案为: .
14. 5
由 变形得 ,即 .
由 ,令 ,则 ,代入得 .
构造函数 ,该函数在定义域上单调递增.
因 且 ,故 ,即 .
所以 .
15. (1)
(2)
(1) 由 ,解得 ,
当 时， 即为 ，
即为 ,
.
(2) ，
当 ,即 时, ,符合题意;
当 ,即 时, ,符合题意;
当 ,即 时,则 ,不合题意;
综上所述，实数 的取值范围是 .
16. (1)
(2)最大值为 的值为 .
(1) 由图可得 ,则 .
因为 ,所以 ,则 .
将点 代入解析式可得 ,
则 ,解得 .
因为 ,所以 ,则 .
因为 的单调递增区间为 ,
令 ,解得 ,
所以 的单调递增区间为 .
(2)由(1)知当 时， 单调递减，当 时， 单调递增. 又 ,所以当 时, 取得最大值 .
综上所述， 的最大值为 ，此时 的值为 .
17.(1) 模型② 最符合实际
根据散点图的特征,图 2 基本上呈直线形式,所以可以选择一次函数来刻画 和 的关系.
(2)由题意知，
因为 .
解得 ,即 ,
所以 关于 的函数解析式为 .
(3)设马的体重和脉搏率为 ， ，设兔的体重和脉搏率为 ， ，由题意 ，
因为 ,则 ,即马的脉搏率为 50 .
18.
(2)
(1)因为函数 (其中 且 )是奇函数，
,
即 恒成立,
即 恒成立,
所以 恒成立,
整理得 恒成立,
,解得 或 ,
当 时,显然不成立,
当 时, ,
由 ,可得 或 ,
,满足 是奇函数,
所以 ;
(2)对任意的 ，都有不等式 恒成立，
恒成立,
即 在 上恒成立,
即 在 上恒成立,
令
令 ,
根据对勾函数的性质可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ,
所以 在 上的最大值为 ,
,
即实数 的取值范围是
19.(1)对任意的 ， ，
所以, 恒成立,
所以,函数 的定义域均为 ,
, 故函数 与 互为“和幂函数”;
(2)① ，
由函数 与 互为“积幂函数”,
则 ,即 ,故 ,
则 与 ,
则 ,
令 ,即 ,令 ,
由函数 在 上单调递增, 在 上单调递减,
故 在定义域内单调递增,
又 ,当 ,
故 在 上存在唯一零点,
即函数 存在负零点,且负零点唯一;
② ，则 ，
又 ，则当 时， ，
由 在 上单调递增,在 上单调递减,
又 在 上单调递增,则当 时,
在 上单调递增,在 上单调递减,
函数 在 上有两个零点,
则 在 上有两个不同根,
当 时, ; 当 时, ,最大值为 ,
故 .
注意事项:
1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
2. 请认真核对答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动, 请用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案. 作答非选择题, 必须用黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.
4. 考试结束后, 请将答题卡交回.
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的.)
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 下列函数中,既是奇函数,又在区间 上单调递增的是 ( )
A.
B.
C.
D.
3. 已知 ，则 的最大值为( )
A. -6 B. -4 C. -2 D. 2
4. 已知 ，则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
5. “ 在定义域内是增函数”是“函数 是幂函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知 均为实数,且函数 ,若 ,则
( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
7. 为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为 40L 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出 VL 用水补满，搅拌均匀，第二次倒出 VL 后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的 60%，则 的最小值为( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
8. 若函数 的定义域与区间 的交集由 个开区间组成，则 的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、多项选择题 (本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项 中, 有两项或三项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 设 ,且 ,则下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 下列选项正确的是( )
A.
B. ,使
C. 若 ,则
D. 曲线 与 在 有 2 个交点
11. 已知函数 ,则下列说法正确的是 ( )
A.
B. 关于 的方程 有 个不同的解
C. 在 上单调递减
D. 当 时, 恒成立.
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.)
12. 已知某扇形的弧长为 2,面积为 3,则该扇形的圆心角(正角)为_____.
13. 已知 为锐角， ，则 _____.
14. 若 ， ，则 _____.
四、解答题 (本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
15. 已知集合 .
(1)当 时，求 ；
(2)当 ，且 时，求实数 的取值范围.
16. 已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求 的解析式，并求 的单调递增区间；
(2)求 在 上的最大值，并写出取得最大值时 的值.
17. 生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温. 脉搏率 是单位时间心跳的次数，医学研究发现，动物的体重 (单位: )与脉搏率 存在着一定的关系. 表 1 给出一些动物体重与脉搏率对应的数据,图 1 画出了体重 与脉搏率 的散点图,图 2 画出了 与 的散点图.
动物名 体重 脉搏率
鼠 25 670
大鼠 200 420
豚鼠 300 300
兔 2000 200
小狗 5000 120
大狗 30000 85
羊 50000 70
表 1
为了较好地描述体重和脉搏率的关系, 现有以下两种模型供选择:
① ②
(1)选出你认为最符合实际的函数模型, 并说明理由;
(2)不妨取表 1 中豚鼠和兔的体重脉搏率数据代入所选函数模型，求出 关于 的函数解析式;
(3)若马的体重是兔的 256 倍，根据(2)的结论，预计马的脉搏率.
(参考数据: , .)
18. 已知函数 (其中 且 ) 是奇函数.
(1)求 的值；
(2)若对任意的 ，都有不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
19. 若函数 为幂函数，则称 与 互为“和幂函数”；若函数 为幂函数,则称 与 互为“积幂函数”.
(1) 函数 与 是否互为 “和幂函数” 请说明理由;
( 2 )已知函数 与 互为“积幂函数”.
① 求函数 在 上零点的个数;
② 已知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，若函数 在 上有两个零点,求实数 的取值范围.
1. D
,故 ,
故选: D
2. C
选项 是偶函数，不符合题目要求；
选项B: 是非奇非偶函数函数,不符合题目要求;
选项 C: 是奇函数,且在区间 上单调递增,符合题目要求;
选项 D: 是奇函数,在 单调递减,不符合题目要求.
故选: C
3. A
因为 ,所以 ,
所以
,
当且仅当 ,即 时,等号成立.
4. A
,所以 , 所以 .
故选: A.
5. B
若 在定义域内是增函数,则 ,即 ,
此时 不一定等于 1,所以函数 不一定是幂函数,
故“ 在定义域内是增函数”是“函数 是幂函数”的不充分条件;
反之若函数 是幂函数,则 ,
得 或 ,此时 或 ,
此时 ,即 在定义域内是增函数,
所以 “ 在定义域内是增函数”是 “函数 是幂函数”的必要条件;
故 “ 在定义域内是增函数” 是 “函数 是幂函数” 的必要不充分条件.
故选: B
6. B
由题意得 的定义域为 ,所以 ,
设 ,其定义域为 ,关于原点对称,
则 ,
所以 为奇函数,则有 ,即 ,
因为 ,所以有 ,解得 .
7.
由 ,解得
则 的最小值为 10 .
故选: B
8. C
函数的定义域需要满足 ,
可以先考虑 ,
因为
所以当 时, 或 1 ;
当 时, 或 或 1 ;
当 时, 或 或 或 1 ;
当 时, 或 或 或 或 1 ;
这时区间 自然就被分为六个区间,分别为 , ,然后对每一个区域分析函数 的符号,
根据图象可得,当 时,
所以 ,故满足题意;
同理可得 时, ,故不满足题意;
时， ,故满足题意；
时， ，故满足题意；
时， ，故不满足题意；
时 ,故满足题意.
故选:
9. AD
对于 ,由 . 所以 ,所以 ,故 正确;
对于 ,当 时, ,故 错误;
对于 ,由 ,得 ,所以 ,故 错误;
对于 ,因为 ,所以 ,所以 ,故 正确.
10. CD
对于 A: ,故 A 错误;
对于 B: ,则 ,且 ,
所以
设 ,令 ,
则 ,
又 ,
所以 ,即函数 在 上单调递增,
同理可证 在 上单调递减,且 ,
所以 ,即 取到最大值 1,
所以对于任意的 ,使得 ,故 错误;
对于 : 由 ,得 ,又 ,
所以 ,则 ,
所以 ,故 正确;
对于 : 令 ,得 ,
当 时,函数 与直线 只有 1 个交点,
当 时,函数 与直线 只有 1 个交点,
当 时,函数 与直线 没有交点,
则曲线 在 上只有 2 个交点,故 正确.
11. ACD
选项 A: . 判断正确;
选项 B:
画出 部分图像如下:
当 时,由 ,可得 或
由 ,可得 或 ; 由 ,可得
即当 时,由 可得 3 个不同的解,不是 5 个. 判断错误;
选项 C: 当 时, ,
若 即 ,则
则 ,为减函数;
当 时，
若 即 ,则
则 ,为减函数;
当 时，
若 即 ,则
则 ,为减函数;
综上, 在 上单调递减. 判断正确;
选项 D: 当 时, 可化为 ,
同一坐标系内做出 与 的图像如下:
等价于
即 ,而 恒成立. 判断正确.
故选: ACD
12.
由题意得扇形的弧长 ,面积 ,设扇形的半径为 ,圆心角为 ,
则有 ,解得 .
13.
因为 为锐角,所以 ,所以 ,
所以 ,
所以 . 故答案为: .
14. 5
由 变形得 ,即 .
由 ,令 ,则 ,代入得 .
构造函数 ,该函数在定义域上单调递增.
因 且 ,故 ,即 .
所以 .
15. (1)
(2)
(1) 由 ,解得 ,
当 时， 即为 ，
即为 ,
.
(2) ，
当 ,即 时, ,符合题意;
当 ,即 时, ,符合题意;
当 ,即 时,则 ,不合题意;
综上所述，实数 的取值范围是 .
16. (1)
(2)最大值为 的值为 .
(1) 由图可得 ,则 .
因为 ,所以 ,则 .
将点 代入解析式可得 ,
则 ,解得 .
因为 ,所以 ,则 .
因为 的单调递增区间为 ,
令 ,解得 ,
所以 的单调递增区间为 .
(2)由(1)知当 时， 单调递减，当 时， 单调递增. 又 ,所以当 时, 取得最大值 .
综上所述， 的最大值为 ，此时 的值为 .
17.(1) 模型② 最符合实际
根据散点图的特征,图 2 基本上呈直线形式,所以可以选择一次函数来刻画 和 的关系.
(2)由题意知，
因为 .
解得 ,即 ,
所以 关于 的函数解析式为 .
(3)设马的体重和脉搏率为 ， ，设兔的体重和脉搏率为 ， ，由题意 ，
因为 ,则 ,即马的脉搏率为 50 .
18.
(2)
(1)因为函数 (其中 且 )是奇函数，
,
即 恒成立,
即 恒成立,
所以 恒成立,
整理得 恒成立,
,解得 或 ,
当 时,显然不成立,
当 时, ,
由 ,可得 或 ,
,满足 是奇函数,
所以 ;
(2)对任意的 ，都有不等式 恒成立，
恒成立,
即 在 上恒成立,
即 在 上恒成立,
令
令 ,
根据对勾函数的性质可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ,
所以 在 上的最大值为 ,
,
即实数 的取值范围是
19.(1)对任意的 ， ，
所以, 恒成立,
所以,函数 的定义域均为 ,
, 故函数 与 互为“和幂函数”;
(2)① ，
由函数 与 互为“积幂函数”,
则 ,即 ,故 ,
则 与 ,
则 ,
令 ,即 ,令 ,
由函数 在 上单调递增, 在 上单调递减,
故 在定义域内单调递增,
又 ,当 ,
故 在 上存在唯一零点,
即函数 存在负零点,且负零点唯一;
② ，则 ，
又 ，则当 时， ，
由 在 上单调递增,在 上单调递减,
又 在 上单调递增,则当 时,
在 上单调递增,在 上单调递减,
函数 在 上有两个零点,
则 在 上有两个不同根,
当 时, ; 当 时, ,最大值为 ,
故 .
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