广东惠州市光正实验学校2025-2026学年第二学期高三第一周周测数学试卷（含答案）

2025-2026 学年 第二学期惠州市光正实验学高三周测 数学试卷
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的:
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 已知向量 ，且 ，则实数 ( )
A. -10 B. -6 C. 5 D. 11
4. 已知函数 则 ( )
A. 0 B. 2 C. 4 D. 16
5. 若双曲线 的渐近线方程是 ，则 的离心率为( )
A. B.
C. D.
6. 已知数列 的前 项和记为 ,若 ,则 ( )
A. 15 B. 31 C. 63 D. 127
7. 已知 分别为直线 ,圆 ,圆 上的动点, 则 的最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 从 1 至 13 的整数中任取 3 个不同的数 ，则 能被 2 整除的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 函数 的部分图象如图所示,则 ( )
A. 为 的周期
B. 是 图象的对称中心
C. 当 时, 的值域是
D. 的单调递增区间是
10. 已知数列 的首项为 4,且满足 ,则( )
A. 为等差数列 B. 为递增数列
C. 的前 项和 D. 的前 项和
11. 在棱长为 2 的正方体 中， 为棱 的中点， 为侧面 内的动点 (包含边界), 则下列说法正确的是 ( )
A. 存在 使得
B. 若 ,则 的轨迹长度为
C. 若 平面 ,则四棱锥 的外接球的体积的最大值为
D. 若 ，则 的面积的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若一个三棱台的上、下底面面积分别为 8,18,高为 5 , 则该棱台的体积为_____.
13. 若复数 满足 ，则 的最大值为_____.
14. 已知函数 有 3 个零点 ,且 ,则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在平面直角坐标系 中,角 是第二象限角且终边与单位圆交于点 .
(1)分别求 的值；
( 2 )若角 且满足 ，求函数 的对称中心.
16. 设函数 ，
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 在区间 上的最大值与最小值；
(3)若方程 在 有三个不同的根，求 的取值范围.
17. 如图,四棱锥 中, 平面 , 是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ，在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 若存在,求出 的值; 若不存在,请说明理由.
18. 已知动圆过定点 ,且与直线 相切.
(1)求动圆圆心的轨迹 的方程；
(2)过点 作倾斜角为 ( )的两条直线交轨迹 于 两点，若 ,求证: 直线 恒过定点.
19. 已知甲、乙两个盒子均装有 1 个白球和 1 个黑球, 现进行如下操作: 从这两个盒子中各取 1 个球放入对方的盒子中. 重复这样的操作,第 次操作后甲盒中白球的个数记为
(1) 求 ;
(2)证明: 是等比数列；
(3)求 的数学期望.
1. A
因为集合 ,
所以 ,
故选: A.
2. C
若 ,根据对数函数的单调性可知 ,则 ,即充分性成立; 若 ,可得 ,即必要性成立.
故“ ”是“ ”的充分必要条件.
故选: C.
3. D
因为 ,且 ,
所以 ,解得 .
故选: D
4. B
由题意得: ,
故选: B
5. C
因为双曲线 的渐近线方程是 ,
可得 ,解得 ,则 ,
所以双曲线 的离心率为 .
故选: C.
6. C
因为 ,
所以当 时, ,即 ;
当 时, ,
两式作差得 ,即 ,
所以数列 是等比数列,公比为 2,首项为 .
所以
故选:
7.
由题意知圆 ,其圆心为 ,半径为 1,
则圆心 关于直线 的对称点坐标 ,
则可知 与 的中点在直线 上,
所以有 解之可得 ,则 ,
而圆 化为标准方程为 ,其圆心为 ,半径为 1,
则 与 之间距离为 ,
圆 上点 关于直线 在 上的对称点为 ,
所以 .
故选: B
8. B
因为 1 至 13 的整数中有 6 个偶数,7 个奇数,
若 能被 2 整除,则只需 能被 2 整除, 的取值异于 即可, 当 都为奇数时, 的取法有 种;
当 都为偶数时, 的取法有 种,
所以 能被 2 整除的概率为 .
故选: B.
9. BD
对于 ,由图象可知, ,则 ,所以 选项错误,
对于 ,又因为 ,所以 ,
将点 代入,可得 ,即 ,
又因为 ,所以 ,解得 ,即 ,
因为 ,
所以 是 图象的对称中心,所以 选项正确,
对于 ,当 时, ,
此时 ,所以 ,所以 选项错误,
对于 ,令 ,解得 ,
所以单调递增区间为 .
故选: BD.
10. BCD
对于选项 A: 由 ,得 ,
所以 是以 为首项,2 为公比的等比数列,故 A 错误;
对于选项 B: 因为 ,即 ,
显然 ,且 ,即 ,
所以 为递增数列,故 正确;
对于选项 : 因为 ,
则 ,
两式相减得 ,
所以 ,故 正确;
对于选项 D: 因为 ,
所以 的前 项和 ,故 正确.
故选: BCD.
11. BCD
以 为原点,分别以 为 轴, 为 轴, 为 轴,建立空间直角坐标系, 如下图所示，
因为 为侧面 内的动点 (包含边界),设 ,
对于 A: 易知 ,所以 ,
当 时, 取得最小值为 2,此时 与 重合,
当 时, 取得最大值为 ,此时 与 重合,
因为 ,所以不存在点 使得 ,即 错误;
对于 : 易知 ,所以 ,
由 得 ,即 ;
因此 的轨迹为直线 在四边形 内的线段,
因 ,可得 ,所以 的轨迹为 的中点到点 的线段,
因此 的轨迹长度为 ,即 正确;
对于 : 又 ,所以 ,
设平面 的法向量为 ,
所以 ,可得 ,
令 ,则 ,则平面 的法向量 ,
因 平面 ,则 ,
又 ,即 ,解得 ,
显然当 时,即 与 重合时,满足题意,
此时四棱锥 的外接球与正方体的外接球相同,其半径 满足
,即 ;
此时外接球的体积为 ,即 正确;
对于 ,若 ,由正方体性质可得 平面 ,
又 平面 ,所以 ,
利用勾股定理可得 ,即 , 解得 ,
所以此时 的轨迹是以 为圆心,半径为 的圆在侧面 内的部分,
此时 点到 的最小距离为 ,
所以 的面积的最小值为 ，即 D 正确.
故选: BCD
12.
. 故答案为:
13.
设 ,
即 在以 为圆心,半径为 的圆上.
又 表示 到 的距离,
则由图可知 .
14.
易知 ,因此 1 是函数 的一个零点,
当 时,令 ,可得 ;
令 ,
显然此时
所以函数 关于 对称,
若要函数 有 3 个零点 ,
则须满足方程 有两个实数根,即函数 与 有两个交点,且两交点关于 对称,
又 ,可得 ,
所以 ,
当且仅当 时,等号成立,此时, 的最小值为 .
故答案为: .
15. ;
(2) .
(1) 由题意得 ,且 ,解得 ,
则 .
(2) ,
又因为 ,则 ,则 ,
令 ,解得 ,
则其对称中心为
16. (1)
(2)最大值为10；最小值为
(3)
(1) 代入得到 ,即切点坐标
由 ,得 .
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
(2) 由 得 .
令 ,得 ,解得 或
与 在区间 上的情况如下:
-4 (-4,-3) -3 (-3,1) 1 (1,3) 3
+ 0 - 0 +
↗ 10 ↘ ↗ 10
所以 在区间 上,当 或 时, 最大值为 10 ;
当 时， 最小值为 .
(3)若方程 在 上有三个不同的根，可得 的图象与直线 有 3 个交点
由(2)可知:
-3 (-3,1) 1
+ 0 - 0 +
↗ 10 ↘ ↗
又当 时, ; 当 时,
所以 时,方程 有三个不同根.
17.( 1 )取 中点 为 中点， ，且 .
又 ,且 ,
四边形 为平行四边形,所以 .
平面 平面
平面 .
(2) 平面 ，且 ，所以 两两垂直.
以点 为坐标原点,分别以 所在直线为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,
得 .
,
假设存在点 满足题意,设
设平面 的法向量为
则 ,令 ,则
设直线 与平面 所成的角为 ,则
化简得 ,解得 或 .
因为 ,所以 ,即 .
18. (1) 由题意可知,点 到点 和到 的距离相等,
故点 的轨迹是以 为焦点, 为准线的抛物线,
故动圆圆心的轨迹 的方程为 ;
(2)由题意可知，直线 的倾斜角均不为 0 和 ，
故直线 的斜率存在且不为 0,
因为 ,所以 ,即 ,
即 ,
若直线 的斜率为 0,则与抛物线只有一个交点,若斜率不存在,则 重合,均不符合题意;
故设 ,
联立 ,得 ,
则 ,
则
,
得 ,
则直线 恒过点 .
19.(1)初始时甲、乙两盒均装有 1 个白球和 1 个黑球, 第一次操作时, 从两盒中各取一球交换, 共有 4 种等可能情况:
甲取白、乙取白: 交换后甲盒白球数为 1 ;
甲取白、乙取黑: 交换后甲盒白球数为 0 ;
甲取黑、乙取白:交换后甲盒白球数为 2 ;
甲取黑、乙取黑:交换后甲盒白球数为 1 。
故 .
.
(2)记 ，则 ，
由全概率公式得:
所以 ,
由( 1 )和( 3 )知 ，结合初始值 ，
可得对任意 有 ,代入 中,
得: ,
将(4)代入(2)式得:
整理得 ,
即: ,又 ,
所以数列 是公比为 的等比数列.
(3)由题意知: 的取值为: 0,1,2，
分布列为:
0 1 2
由 (2) 知 ,
因此 .