广东广州市广东第二师范学院实验中学等校2026届高三年级下学期3月份学情诊断数学试题（含答案）

2026 届高三年级 3 月份学情诊断 数学
全卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后, 请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ，若 ，则 中各元素之和为( )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
2. 在复平面内, 所对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 设甲: ，乙: ，则()
A. 甲是乙的充分不必要条件
B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
4. 在菱形 中，点 满足 ，则 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知抛物线 上有一点 ， ，过点 作 的垂线，垂足为 ，则 的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知函数 是减函数,则当 取得最小值时, ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知函数 ,若当 时, ,则 的最大值为 ( )
A. -1 B. 0
C. D. 1
8. 如图,直三棱柱 中， 为 中点，平面 平面 ，则三棱柱 体积的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 设 ,则( )
A.
B.
C. 的展开式中含 项的系数为
D.
10. 记椭圆 的左，右焦点分别为 ，以原点 为圆心， 为半径的圆经过 的上顶点,且其面积为 ,过点 的直线 与 交于 两点,与圆 另交于点 ,则( )
A. 的周长为
B. 当 轴时,
C. 当 重合时,
D. 当 时,
11. 数列 满足 ,且 ,记 的前 项和为 ,则 ( )
A. 存在 ,使 为周期数列
B. 存在 ,使 恒成立
C. 存在 ,使 为等差数列
D. 存在 ,使 为等比数列
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在正四棱台 中， ，则该棱台的体积为_____.
13. 已知函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减，则 的最小值为_____.
14. 箱中有连续编号 1 到 15 的小球, 现从箱中一次随机取出 5 个球, 若已知取出的 5 个球的编号中位数为 9 , 则这 5 个球中的最大编号与最小编号之差恰好等于 9 的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤.
15. 某校学习小组为调查高一学生单日运动时间与数学成绩的关系, 随机抽取 80 名同学进行问卷调查, 得到如下数据:
数学成绩单日运动时间 不低于 90 分 低于 90 分
不小于 30 分钟 30 10
小于 30 分钟 10 30
(1)根据小概率值 的独立性检验,分析数学成绩与单日运动时间是否有关；
(2)为进一步研究运动时间对成绩的影响，该小组从这 80 人中抽取了运动时间分别为 10 ， 20,30,40 (单位: 分钟) 的 4 位同学,他们的数学成绩分别为72,75,78,80(单位:
分). 记单日运动时间为 ,对应的数学成绩为 ,由这四组数据得到的经验回归方程为 求
参考数据: .
附: .
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16. 记 。内角 的对边分别为 .
(1)若 的面积为 6，求 ；
(2) 求 ;
(3)证明: 是钝角三角形.
17. 如图,四棱锥 中, 平面 ,
为棱 上一点， 为 中点.
(1)若 ，证明: 平面 ；
(2)证明: 平面 ；
(3)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 .
18. 记双曲线 的左焦点为 ,渐近线方程为 ,过点 作直线 与 交于 两点.
(1)求 的方程；
(2) 记 的斜率分别为 为 轴上一定点.
(i) 证明: 为定值;
(ii) 记 中点为 ，以 为圆心， 为半径的圆与 另交于一点 的斜率为 ， 若 为定值,求 的坐标,并求出 的值.
19. 设函数 的定义域为 ,且 的导函数 在 上的图象是一条连续不断的曲线,已知 ,且对于任意 ,都有 .
(1)判断函数 的单调性，并证明:对于任意 ，都有
(2)若 在 上单调递增,且数列 满足 .
(i) 证明: 数列 单调递减;
(ii) 记 为数列 的前 项和,证明: 对于任意 ,都有 .
1. B
由 可知 ,于是只能 ,
故 中各元素之和为 .
2. D
,
显然其对应的点在第四象限.
3. A
甲: 由 ,得 ,即 ,可得 . 乙: 由 可得 . 可得甲是乙的充分不必要条件.
4. D
分析可得
, 于是 .
5. C
记 的焦点为 ,由抛物线定义可知 ,
于是 ,
当且仅当 依次共线且 在 之间时等号成立. 此时 取最大值为 3 .
6. C
由条件知 ,可得 ,当且仅当 时等号成立,
于是 .
7. C
函数 ,由 ,得 ,
由 ,得 ,则当 时, ,
令函数 ,求导得 ,而 ,
当 ，即 时， ， ，函数 在 上单调递增，
不等式 恒成立,即 恒成立,因此 ;
当 时, ,函数 在 上的图象连续不断,
则存在 ,使得当 时, ,函数 在 上单调递减,
当 时, ,即 ,不符合题意,
所以 的最大值为 .
8. A
取 中点 中点 ,则 ,
由 平面 ,平面 平面 ,平面 平面 得 平面 ,
由勾股定理知 ,可得 ,
设 ,可得 ,
同理 ,由 知 .
由勾股定理得 ，
于是三棱柱 的体积 ， 记 , 结合二次函数单调性可得 ,于是 .
9. ABD
对于 ,故 ,故 正确; 对于 ,故 B 正确;
对于 的展开式中含 项的系数为 ,
而 ,显然二者不相等,故 错误;
对于 , 所以 ,即 ,故 D 正确.
10.
对于 ,由题意,圆的面积为 ,则圆的半径为 1,
记椭圆 的焦距为 ,可得 ,于是 ,则椭圆 .
由椭圆定义可知, 的周长为 , 故 A 正确;
对于 ,当 轴时,不妨设 在第一象限,而 ,记 ,
由 得 ,即 ,
则 ,
又 ,则 ,
则 ,即 ,则 ,故 B 正确;
对于 ,此时不妨记 在 轴上方,可得 ,而 ,设 ,
则 ,若 ,
则 ,解得 ,可得 ,
但 ,矛盾,故 错误;
对于 ,由于 ,设 ,
由 可知 ,
此时 ,由勾股定理得 ,解得 ,
可得 ,故 错误.
11.
对于 ,取 ,则 ,此时 ,故 是以 3 为周期的周期数列, 故 A 正确;
对于 ,取 ,以此类推,对于所有的 ,都有 ,
则数列的前 项和 ,即对于任意正整数 恒成立,故 B 正确;
对于 ,若 是等差数列,则对于 ,有 ( 为常数),则 从第二项起为常数,
由 可知,取 ,则此后各项均为 ,
令 ,得 ,故 ,且 ,此时 ,
和数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，故 C 正确；
对于 ,假设存在公比为 的等比数列 ,其中 且 ,
若存在某项 ,则 ,解得 . 若 ,由于 ,故随 增大必将超过 .
设 是第一个大于 的项,即 ,由 ,
按等比数列定义 ，由 解得 ，这与 矛盾；
若 ,则 ,与等比数列各项不为 0 的定义矛盾;
若所有项均大于 ,则 恒成立,解得 ,则 为常数数列,即 ,与题设矛盾.
综上所述, 不存在满足条件的等比数列, 故 D 错误.
12. 28
记该棱台的高为 ,易得 , 由勾股定理可得 ,得 , 于是棱台的体积 .
13.
显然 ,可得 ,所以 .
函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,所以 , 于是 ,所以 ,
因为 且 ,所以 ,
所以 ,解得 ,
所以由 可知当 时, 有最小为 .
14.
设取出的 5 个球编号从小到大排列为 ,
由已知中位数为 9 即 ,则 需从 中选取, 需从 中选取,
故基本事件总数为 .
若满足最大编号与最小编号之差为 9,设 ,则 .
由 知 ,
由 即 知 ,且 即 ,故 ,
此时 的选法总数为 ,
求和得符合条件的事件数为 ,
故所求概率为 .
15. (1)数学成绩与单日运动时间有关；
(2)69.5
(1)零假设 : 数学成绩与单日运动时间无关，
零假设不成立,故可认为根据小概率值 的独立性检验,数学成绩与单日运动时间有关.
(2) ，
于是 ,
于是 .
16.
(1) 由 ,可得则 ,
,解得 ;
(2) ，由正弦定理得 ，由 ，
则
故 ;
(3)若 ，则有 ，此时 ，
这与 矛盾,故 ,
不妨设 ,则 ,于是 ,
由 得 ,故 ,于是 ,
故 是钝角三角形.
17. (1)由 得 为 中点，
又 为 的中点，于是 ，
由 平面 平面 ,得 平面 .
(2)因为 ，所以 ，可求 ，由余弦定理得
，所以
所以 ,
由 平面 平面 得 ,
由 平面 平面 可得
平面 .
(3)
如图,以 为坐标原点,过 点作平行于 方向的直线为 轴正方向, 的方向为 轴正方向, 的方向为 轴正方向,建立空间直角坐标系 ,则有
设 ,则有 ,则有
设平面 的法向量为 ,
即 ,可取 ,
记直线 与平面 所成角为 ,
即 ,整理得 ,
解得 或 .
18.(1) 由 得 ,可得 ,
联立 ,得 ,于是 .
(2)(i)显然 斜率不为 0，故设 . 联立 ，
得 ,设 ,
则 ,于是 ,
于是 ,为定值.
(ii) ,
于是 ,显然 为 中点,设 ,
由 ,得 ,
记 ,
由其为定值可知其与 无关,
故必有 ,于是 ,于是 .
19.(1) 由题有 .
因为对于任意 ,都有 ,
即 ,且 ,所以 ,故函数 在 上单调递增,
下面证明: .
因为 ,所以 ,由 的单调递增性质可知 , 即 . 因为 且 ,整理得: .
同理,因为 ,所以 ,由 的单调递增性质可知 , 即 ,整理得 .
将两式相加得 ,
因为 ,两边同时除以 ,
得 ,得证.
(2)(i)由题意 ，则 .
要证明数列 单调递减,即证明 单调递增,
因为 在 上单调递增,且 ,所以 .
由( 1 )知， 在 上单调递增，且 ，所以 .
因为 ,且 定义域为 ,且 单调递增,
故当 时 ,从而 ,
所以 ,即 . 故数列 单调递减.
(ii) 记 .
由( 1 )可知 有 ，
同理 ,
依此类推,可得: ,
将 代入右侧可得 ,即 .
由题意,令 ,则 满足 ,所以 .
因为 在 上单调递增,所以 ,
即 ,得证.