广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二下学期数学周测（一）（含答案）

2025-2026 学年下学期高二数学周测一(3.15)
一、选择题
1. 函数 在区间 上的平均变化率为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 已知函数 的导函数为 ,且 ,则 ( )
A. B. C. -1 D. 1
3. 已知函数 的导函数为 ,若 ,则 ( )
A. -5 B. -1 C. 1 D. 5
4. 曲线 在点 处的切线方程为 ，则 ()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知函数 ，则 ( )
A. -2 B. -1 C. 0 D. 0 或 -2
6. 已知函数 在 上的导函数为 ,且 的图象如图所示,则( )
A. B.
C. D.
7. 已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 的值( )
A. 1 B. C. D. -1
8. 已知 ,直线 与曲线 相切,则 的最小值是
( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题
9. 已知函数 的定义域为 ， 的导函数 的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是 ( )
A. 在 上单调递减
B. 是 的极小值点
C. 是 的极大值点
D. 曲线 在 处的切线斜率为 2
10. 若函数 在 上可导,且 ,则()
A. B.
C. D.
11. 已知函数 在 上是单调函数，则实数 的值可以是( )
A. B. -1 C. D. 2
三、填空题
12. 已知函数 ,则 _____.
13. 函数 的单调递增区间为_____.
14. 已知函数 的定义域为 且导函数为 ,函数 的图象如图,则函数 的减区间_____.
四、解答题
15. 求下列函数在给定点处的导数:
(1) 在 处的导数;
(2) 在 处的导数.
16. 已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的极值.
17. 已知函数 在 处取得极值.
(1)求函数 的解析式及其单调递增区间；
(2)过点 作曲线 的切线，求此切线方程.
18. 已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
( 2 )若 有极小值，且 ，求 的取值范围.
1. C
函数 在区间 上的平均变化率为: ,
已知 ,对应区间为 ,
,故 C 正确.
故选: C.
2. C
函数 ,求导得 ,
所以 .
故选:
3.
.
故选: D.
4. C
所求为 .
故选: C.
5. D
函数 ,求导得 ,
则 ,解得 或 .
故选: D
6. A
分别作曲线 在 和 处切线 ,
设切线的斜率分别为 ,则 ,
又 ,
.
故选: A.
7. C
设切线的斜率为 ,
,将 代入,得 ,
又切线与直线 垂直,则 ,解得 .
故选: C.
8. B
由于直线 与曲线 相切,
设切点为 ,且 ,所以 ,
所以切点的横坐标 ,则 ,即 ,又 ,
所以 ,
即 ,当且仅当 时取等号,所以 的最小值为 2 .
9. CD
由导函数 的图像可知, 时, 在 上单调递增, 当 时, 在 上单调递减,
则 在 上单调递增,故 错误,
不是 的极小值点,故 错误,
是 的极大值点,故 正确,
由导函数 的图像可知 ,
所以曲线 在 处的切线斜率为 2,故 D 正确.
故选: CD.
10. ABD
,
,
,即 ,故 正确;
,
,故 B 正确;
,
,故 C 错误, 正确.
故选: ABD
11. ABC
因为 为二次函数,开口向下,必存在负值,
由题意得 在 上恒成立,
则 ,解得 .
故选: ABC.
12. 2e
因为 ,所以 ,则 .
故答案为:
13.
因为 ,所以 ,
令 ,可得 ,
则 的单调递增区间为 .
故答案为:
14.
根据 的图象可知: 当 时, ,则
当 时, ,则 ,
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
所以函数 的单调递减区间为 .
15.
(2)
(1) 因为函数 可以看作函数 和 的复合函数,
所以 ,
所以当 时, .
(2)根据导数的除法法则可知: ， 所以当 时, .
16. (1)
(2)极大值为 ，无极小值.
(1) 因为 ,所以 . 所以切线斜率为 ,而 , 所以曲线在点 处的切线方程为 ,即 .
(2)令 ，则 ，求得 .
因为 ,当 时, ; 当 时, ;
所以函数 在 单调递增,在 上单调递减,
所以函数 在 处取得极大值为 .
所以函数 的极大值为 ,无极小值.
17. (1) 和
(2)
(1) 在 处取得极值, ,
,
;
,
,即 ,即 或 ,
在 和 上是单调递增函数;
(2)设切点为 ，
则切线方程为 ,
切线过点 ,
,
,
切点为 ,
切线方程为 ,即 .
18. (1)当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
(2)
(1) 由
得 ,函数 的定义域为 ,
若 ,可得 时, ,所以 在 上单调递增;
若 时,当 时, ,所以 在 上单调递减;
当 时, ,所以 在 上单调递增;
综上所述: 当 时, 在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增.
(2)由(1)可知当 时， 有极小值，极小值为
此时极小值也是最小值,由 ,可得 ,
又 ,所以 .
令 ,求导得 ,
所以 在 上单调递减,又 ,
当 时， ，当 时， ，
所以 时, ,此时满足 ,
所以 的取值范围 .