广东梅州市梅县区高级中学2025-2026学年度第二学期高一数学收心考（含答案）

梅溪高中 2025-2026 学年度第二学期高一数学收心考
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每个小题给出的四 个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. " " 是 " "的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若 为函数 的零点,则 所在区间为( )
A. B.
C. D.
4. 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知 ,则 的最小值为 ( )
A. 4 B. C. D. 16
6. 函数 的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
7. 已知 是定义在 上的偶函数,当 时单调递增,且 ,则 的解集为( )
A. B. . C. D.
8. 已知函数 ,将 图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象,若对任意 ,都有 成立,则 的值为
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0
分.
9. 已知不等式 的解集为 或 ,则下列结论正确的是 ( )
A. B.
C. D. 的解集为
10. 已知 ， ，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11. 若函数 ,定义域为 ,下列结论正确的是 ( )
A. 的图象关于 轴对称
B. ,使
C. 在 和 上单调递减
D. 的值域为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形的面积为_____.
13. 已知 ，则 _____.
14. 若命题“ ，使得 ”为假命题，则实数 的取值范围_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共计 77 分, 解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.
15. 计算以下的值:
(1) ;
(2) ;
(3)化简. 已知 ，求 .
16. 春节期间, “旅游潮”、“探亲潮”将为交通带来巨大压力. 已知某火车站候车厅, 候车人数与时刻 有关,时刻 满足 . 经观察,当 时,候车人数达到满厅人数 5000 人,当 时,候车人数相对于满厅人数减少,减少人数与 成正比. 已知 时,候车人数为 3800 人,记候车厅候车人数为 .
(1)求 的表达式；
(2)铁路系统为了体现“人性化”管理，每逢整点时，会给旅客提供免费面包，数量为 ,求 为何值时,需要提供的免费面包数量最少.
17. 已知函数 ,
(1)求函数 的最小正周期和对称中心坐标；
(2)求函数 的单调递增区间；
(3)当 时，求 的最大值以及取得最大值时 的值.
18. 已知函数 的图象过点 .
(1)求实数 的值；
(2)证明:函数 为偶函数；
(3)求关于 的不等式 的解集.
19. Sigmoid 函数是一个特殊的函数, 在人工智能领域和生物学中发挥着重要的作用, 其数学表达式是 .
(1)判断 的单调性,并用定义证明;
(2)设函数 ，求 的值；
(3)若函数 在 上有零点，求实数 的取值范围.
1. C
因为 ,所以 . 故选: C.
2. B
由
若 成立,则 不一定成立,即充分性不成立;
若 成立,则 一定成立,即必要性成立;
所以 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件,
故选: B,
3. B
函数 为 上的增函数,
又 ,
且 ,
因为 ,
所以 所在区间为 .
故选: B
4. B
,
.
故选:B.
5. C
因为 ,
所以 ,
当且仅当 ,即 时等号成立,
所以 的最小值为 .
故选: C.
6. B
令 ,则 .
由 ,解得 或 ,故函数 的定义域为 或 .
又函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
在 上单调递增,则函数 在 上单调递增.
故选: B.
7. D
由 是定义在 上的偶函数,当 时单调递增,
所以当 时单调递减,由 ,可得 ,
由 ,可得 或 ,
所以 或 ,
故选: D
8. D
,
(其中 ),
将 图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象,得到
,解得 ,故选 D.
9. ABC
因为不等式 的解集为 或 ,
可知 ,且 的根为 -1,3,故 A 正确;
则 ,可得 ,
则 正确； 正确；
因为 ,即 ,且 ,
则 ,解得 ,
所以 的解集为 , D 错误.
故选: ABC.
10. ABD
对于 ,由 ①,以及 ,
对等式①两边取平方得 ，则 ②，故 A 正确；
对于 ,由②知 ,故 正确;
对于 ,又 ,故 错误;
对于 ,由方程 ,解得 ,所以 ,故 正确.
故选: ABD.
11.
对于 ,定义域为 ,关于原点对称,
所以 为偶函数,关于 轴对称,故 正确;
对于 ,则 ,
即 ,解得 ,与定义域矛盾,
所以不存在 ,使 ,故 错误;
对于 ,
因为当 和 ， 单调递增，
所以 单调递减,即 单调递减,故 正确;
对于 ,由选项 可知, ,
因为 且 ，则 且 ，
所以 且 ,即 且 ,
所以 的值域为 ,故 错误,
故选: AC.
12.
由题意得 ,
记扇形的半径为 ,因为圆心角为 ,弧长为 ,所以半径 , 所以扇形的面积为 .
13. 5
因为 ,所以
故答案为: 5 .
14.
因为 “ ,使得 ”为假命题,
所以 “ ,使得 ”为真命题,
即 在 内有解,即 ,
因为
,
当且仅当 ,即 时等号成立,
所以 ,所以 ,解得 ,
所以实数 的取值范围为 .
故答案为: .
15.
(2)1
(3)
(1)原式 .
(2)原式 .
(3)由 ，得 ，
即 ,
所以 .
16.
(2)
(1) 依题意,当 时,设 ,
因 ,解得 ,
( 2 )当 ，
当且仅当 时等号成立;
当 时, 在 上为减函数,故得
又 ,所以当 时,需要提供的面包数量最少.
17. (1)最小正周期 ,对称中心为 ;
(2) ;
(3)最大值为 ，对应 .
(1) 由 ,
所以最小正周期 ,
令 ,则 ,即对称中心为 .
(2)令 ，则 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 .
(3)由 ，则 ，故 ，
所以 ,函数最大值为 ,此时 .
18.(1)函数 的图象过点 ， ，
所以 ,即 ,
则 ,则 ,所以 ;
(2)证明:函数
故 为偶函数;
(3)不等式 可化为 ,
即 ,
解得 ,
所以 ,
故不等式的解集为 .
19.(1) 在 上单调递增,证明: 任取 ,且 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 在 上单调递增.
(2)由题意得 ,
所以 ,
故 .
所以
(3)
故 ,
令 ,当 时, .
在 上有零点,故关于 的方程 在 上有解.
方程可化为 .
令 ,则 ,且 ,
因为函数 在 上单调递增,所以当 时, ,
故实数 的取值范围是 .