广东普宁市第二中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题（含答案）

普宁二中 2025-2026 学年度第二学期高二级第一次月考 数学科试题
试卷满分 150 分,考试时长: 120 分钟
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个 选项中, 只有一项符合题目要求.
1. 直线 在 轴上的截距为 ,在 轴上的截距为 ,则 ( )
A. B.
C. D.
2. 已知 是平面内两个不同的定点，则 “ 为定值” 是 “动点 的轨迹是双曲线”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知 表示焦点在 轴上的椭圆,则实数 的取值范围为( ).
A. B.
C. D.
4. 在平面直角坐标系中,过点 作倾斜角为 的直线 ,已知直线 与圆 交于 两点,则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知抛物线 上一点 的纵坐标为 ,该点到准线的距离为 6,则该抛物线的标准方程为( )
A. B. 或
C. D. 或
6. 已知坐标满足方程 的点都在曲线 上,那么 ( )
A. 曲线 上的点的坐标都满足方程
B. 坐标不满足 的点都不在曲线 上
C. 不在曲线 上的点的坐标必不满足
D. 不在曲线 上的点的坐标有些满足 ,有些不满足
7. 在正四面体 中, 是 的中心, ,则 等于 ( )
A. B. C. D.
8. 对于数列 ,若存在正整数 ,使得 ,则称 是数列 的 "谷值", 是数列 的“谷值点”. 在数列 中,若 ,则数列 的“谷值点” 有( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 无数个
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项 中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分.
9. 已知曲线 ,则( )
A. 的长轴长为 4
B. 的渐近线方程为
C. 与 的焦点坐标相同
D. 与 的离心率互为倒数
10. 已知 分别是正方体 的棱 和 的中点,则()
A. 与 是异面直线 B. 与 所成角的大小为
C. 与平面 所成角的正弦值为 D. 二面角 的余弦值为
11. 已知数列 的前 项和为 ,且 ,首项为 1 的正项数列 满足 ,数列 的前 项和为 ,则下列结论正确的是 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 圆 恒过的定点是_____.
13. 已知空间三点 ,则以 为边的平行四边形的面积是_____.
14. 已知双曲线 的左焦点为 ，过 的直线与圆 相切于点 ,与双曲线的右支交于点 ,若 ,则双曲线 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知圆 经过点 和 ,且圆 关于直线 对称.
(1)求圆 的方程；
(2)过点 作直线 与圆 相切,求直线 的方程.
16. 已知数列 是单调递增的等比数列,数列 是等差数列,且
(1)求数列 与数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
17. 如图,在四棱锥 中, 平面
，点 是 的重心.
(1)求证:平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长度.
18. 如图,椭圆 的一个焦点为 ,且过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 为垂直于 轴的动弦，直线 与 轴交于点 ，直线 与 交于点 .
(i) 求证: 点 恒在椭圆 上;
(ii) 求 面积的最大值.
19. 已知对任意平面向量 ,把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量 ,叫做把点 绕点 沿逆时针方向旋转 角得到点 . 将双曲线 上的每一点绕坐标原点 沿逆时针方向旋转 后得到曲线 . 点 在 上,其横坐标为 . 再按照如下方式依次构造点 : 过 作斜率为 -2 的直线与曲线 交于另一点 ,令 为 关于直线 的对称点,记 的坐标为 .
(1)求曲线 的方程；
(2)求数列 ， 的通项公式；
(3)求证: .
1. B
中,令 ,解得 ,令 ,
故 .
故选: B
2. B
若 ,则 ,此时,点 的轨迹是线段 的垂直平分线,
所以，“ 为定值” “动点 的轨迹是双曲线”；
若动点 的轨迹是双曲线,则 为定值,
所以,“ 为定值” ” 动点 的轨迹是双曲线”.
因此，“ 为定值”是“动点 的轨迹是双曲线”的必要不充分条件.
故选: B.
3. B
要使 表示焦点在 轴上的椭圆,
需满足 解得 ,
即实数 的取值范围为 .
故选: B.
4. A
,即 ,圆心坐标 ,半径 ,
因为直线 过点 且倾斜角为 ,所以直线方程为 ,即 ,
则圆心到直线的距离 ,
故 ,
故选: A.
5. D
因为抛物线的准线方程是 ,而点 到准线的距离为 6,
所以点 的横坐标是 .
所以点 的坐标为 ,
又因为点 在抛物线上,
所以 ,解得 或 ,
故该抛物线的标准方程为 或 .
故选: D.
6. C
对 ABD,根据题意可以举例方程 为 ,
曲线 为单位圆,可知方程表示的曲线为曲线 的一部分,
则曲线 上的点的坐标不是都满足方程 ,故 A 错误;
坐标不满足 的点可以在曲线 上,故 错误;
不在曲线 上的点的坐标都不满足 ,故 错误;
对 ,而不在曲线 上的点的坐标必不满足 ,故 正确.
故选: C.
7. D
因为 为正四面体, 是 的中心,
所以 ,
所以
.
故选: D.
8. B
由 ,则 , 当 时恒有 ,则 ,此时 递增, 综上 ,故数列 的“谷值点”为 2、7,共 2 个. 故选: B.
9. BD
曲线 整理得 ,
则曲线 是焦点在 轴上的椭圆,其中 ,
所以 ,离心率为 ,
故曲线 的长轴长 ,故 A 错误;
曲线 是焦点在 轴上的双曲线,其中 ,
所以 ,离心率为 ,故与曲线 的焦点位置不同,故 错误;
的渐近线方程为 ,故 正确;
又 ,所以 与 的离心率互为倒数,故 正确
故选: BD
10. ACD
解: 根据异面直线的判定定理 “平面内一点与平面外一点的连线, 与此平面内不经过该点的直线是异面直线异面直线” 可知 A 正确;
以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为 ,
所以 ,
设 与 所成角的大小为 ,
则 ,
所以 ,故 错误;
由题意可知，平面 的法向量为 ，
设 与平面 所成角为 ,则 ,
所以 与平面 所成角的正弦值为 ，故 C 正确；
设平面 的法向量为 ,
则 ,
令 ,得 ,
同理可得平面 的法向量 ,
则 ,
又因为二面角 为锐角,
所以二面角 的余弦值为 ,故 正确.
故选: ACD.
11. BCD
因为 ,所以
当 时, ,解得 ;
当 时, ,
两式相减可得 ,
即 ,所以 .
故数列 是以 1 为首项、 2 为公比的等比数列,故 ,所以 错误. 由 ,得 ,所以 ,所以 正确.
记 ,
当 时, ,
即 ,
故 .
因为 ,故 ,故数列 是以 1 为首项, 为公比的等比数列.
故 ,所以 正确.
12.
圆方程化为 , 由 解得 故圆恒过 点.
故答案为:
13.
求出向量的坐标,进而可得模长及向量的夹角,由此可计算以 为边的平行四边形的面积.
解: ,
故答案为
考点: 向量在几何中的应用.
14.
由题知,记右焦点为 ,过 做 如图所示,
与圆 相切,
,
,
为 中点， ，
故 ，且相似比为1:2,
即 ,
,
,
在双曲线 中,有 ,
,
,
为直角三角形,
,
即 ,
化简可得 ,上式两边同时平方,将 代入可得 ,
则 ,即离心率 .
故答案为:
15. (1)
(2) 和
( 1 )已知圆 经过点 和 ，
则线段 的垂直平分线方程为: ，即 ，
又圆心在直线 上,
联立 ,解得 ,
所以圆心为 ,半径为 ,
所以圆 的标准方程 ;
(2)若直线 的斜率存在，方程可设为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离 ,解得 ,
故所求的一条切线为 ,
当直线 的斜率不存在时,直线 的方程为 ,与圆 相切,
所以直线 的方程为 和 .
16.
(2)
(1) 设等比数列 的公比为 ,等差数列 的公差为 ,
由 ,得 ,
即 ,即 ,解得 或 .
当 时， ，不满足 单调递增，
当 时， ，满足 单调递增，
所以 .
又 ,所以 ,
所以 ,
即数列 的通项公式为 ,
数列 的通项公式为 .
(2)利用等比、等差数列前 项和公式可得，
数列 的前 项和为 ,
数列 的前 项和为 ,
所以数列 的前 项和
即 .
17.(1)在四棱锥 中， 平面 平面 ，则 ， 而 ，于是 平面 又 ， 所以平面 平面 .
(2)取 中点为 ，连接 ，
则 ,即四边形 为矩形,则 ,
又 平面 平面 ,显然 两两垂直,
以 为坐标原点,直线 分别为为 轴,建立空间直角坐标系,
设 ,则 ,
由点 是 的重心,得 ,则 ,
又 ,设平面 的一个法向量 ,
则 ,取 ,得 ,设 与平面 所成角为 ,
,化简得 ,
解得 或 ,即 或 ,所以 的长度为 或 .
18.(1) 因为椭圆一个焦点为 ,所以 ,
点 代入椭圆方程可得 ,
又 ，解得 ，
所以椭圆 方程为 .
(2)(i)由题意得 ， ，
设 ,则 ,且 ①,
则 的方程分别为: .
设 ,则有 ②, ③
由②，③得 ，由①得 ，
因为 ,
所以点 恒在椭圆 上.
(ii) 设 的方程为 ,代入 ,得 ,
设 ,则有 ,
所以 ,令 ,
则 ,
因为 ,所以 ,
故当 ,即 时, 有最大值 3,此时 过点 .
所以 ,
即 的面积的最大值为 .
19.(1)设双曲线 上任意一点 ,将其绕坐标原点 沿逆时针方向旋转 后得
到点 . 则 即
解得:
又因为 . 所以 ,
化简得: ,
故曲线 的方程为 .
(2)
将点 代入 ,得
两式相减,得 .
所以 . 又因为 .
所以 .
又因为 ,故 为首项为 ,公比为 2 的等比数列.
所以 . 进一步可得 .
(3)因为 ，
又因为在等比数列 中, .
所以 .