广东揭阳华侨高级中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）

广东揭阳华侨高级中学 2025-2026 学年高一下学期第一次月 考数学试卷
(考试时间: 120 分钟, 满分: 150 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求.
1. 已知集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知命题 ,则 是( )
A. B.
C. D.
3. 已知集合 ，集合 . 若 ，则实数 的取值集合为( )
A. B. C. D.
4. 下列结论正确的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
5. 设 ,则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 在 上定义运算 ,则满足 的实数 的取值范围为 ( )
A. B.
C. 或 D.
7. 已知 为给定实数，那么集合 的非空子集的个数为 ( )
A. 1 B. 3 C. 4 D. 不确定
8. 对于集合 ,我们把属于集合 但不属于集合 的元素组成的集合叫做集合 与
的“差集”，记作 ，即 ，且 ； 把集合 与 中所有不属于 的元素组成的集合叫做集合 与 的“对称差集”，记作 ，即 ,且 . 下列四个选项中,错误的是 ( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. D.
二、多项选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个 选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选 错的得 0 分.
9. 下列命题中为真命题的是( )
A.
B. 是 的充分不必要条件
C. 集合 与集合 表示同一集合
D. 设全集为 ,若 ,则
10. 设 ,若 ,则实数 的值可以是( )
A. 0 B. C. D. 3
11. 下列能够取得最小值为 4 的函数有( )
A. 函数 B. 函数
C. 函数 D. 函数
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若集合 ，集合 ，且 ，则 _____.
13. 已知命题“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围是_____.
14. 已知不等式 对任意正实数 恒成立，则正实数 的最小值为_____. 四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分, 解答须写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤.
15. 已知全集 ，集合 .
(1)求 ；
(2)如图阴影部分所表示的集合 可以是_(把正确答案序号填到横线处)，并求图中阴影部分表示的集合 ; .
③ ④
16.(1)已知 ， ，求 ， ， 的取值范围.
( 2 )已知 ， ，比较 与 的大小
17. 已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集为 .
(2)已知集合 ，若 ， ，且 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
18. 某企业为响应国家节水号召, 决定对污水进行净化再利用, 以降低自来水的使用量. 经测算, 企业拟安装一种使用寿命为 4 年的污水净化设备.这种净水设备的购置费 (单位: 万元)与设备的占地面积 (单位:平方米)成正比，比例系数为 0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费 (单位:万元) 与设备占地面积 之间的函数关系为 , 将该企业的净水设备购置费与安装后 4 年需缴水费之和合计为 (单位:万元).
(1)要使 不超过 7.2 万元，求设备占地面积 的取值范围；
(2)设备占地面积 为多少时， 的值最小？
19. 设集合 是正整数集 的非空子集,对任意 ,定义运算 ,若所有这样的运算结果构成的集合记为 ,则称 为集合 的“差倍集”.
(1)当 时，写出集合 的差倍集 ；
(2)设集合 ，若其差倍集 中恰好有两个元素，求所有满足条件的 的值;
1. C
因为集合 ,
则 .
故选:
2.
命题 ,
则 为 .
故选: B.
3. D
已知集合 ，集合 . 若 ，则 或 ，
而方程 无解,方程 的解为 ,
经检验当 时,满足集合中元素的互异性,且 .
故选: D.
4. C
对于 项,举反例即可,若 ,则 ,故 错误;
对于 项，举反例即可，若 ，则 ，故 错误；
对于 项， ， ，则 ，故 正确；
对于 项，举反例即可，若 ，则 不成立，故 错误.
故选:
5. C
由 ,
由 不一定能推出 ,但是由 一定能推出 ,
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件,
故选:
6. B
因 ,
则 ,
即得 ,解得 .
故选: B.
7. B
由 ,则集合 有 2 个元素,
所以 的非空子集个数为 个.
故选: B
8. B
若 ,则 , A 正确;
当 时, , B 错误;
,且 正确;
,且 ,且
,且 ,且
故 , D 正确.
9. AD
对于 ,当 时, ,故 是真命题;
对于 ,若 ,则 或 ,若 ,则 ,所以 是 的必要不充分条件，故 B 不正确；
对于 ,集合 与集合 不表示同一集合,前者为点集,后者为数集, 故 C 错误;
对于 ,由 ,可得若 则 ,则 ,故 是真命题.
10.
,
因 ,则 ,
若 ,则 为空集,符合题意;
若 ,则 ,则 或 ,得 或 ,
综上,实数 的值为 0 或 或 .
故选: ABC
11. BCD
对 ,
当且仅当 ,即 时等号成立,故 错误;
对 ,当且仅当 ,即 时等号成立,故 正确;
对 ,
当且仅当 ,即 时等号成立,故 正确;
对 D: ,
当且仅当 ,即 时等号成立,故 D 正确.
12. -1
因为集合 ,且 ,
由集合 知: 且 ,即 ,
若 ,则 ,解得 ,所以 .
故答案为: -1 .
13.
因为 ,所以 ,
又命题“ ”为假命题,
即 ,即 .
14. 4
, 当且仅当 时等号成立.
由恒成立的条件知 ,即 ,解得 或 (舍去). . 则正实数 的最小值为 4 .
15. (1)
(2)③;
(1) 因为 , 所以 ,
(2)根据韦恩图确定阴影部分所表示的集合 为③: ， 或 ,所以 .
16.(1) ; (2)
(1)由 ①， ②，得 ，
由②得: ③，
由①+③得: ，
由②得: ④,
由①④得: .
故 .
(2)
因为 ,则 ,故 .
17.
(2)
(1) 解: 当 时,可得 ,
因为 ,可得 ,
所以 ,可得 ,解得 ,
所以不等式 的解集 .
(2)解:由(1)知，集合 ，且 ， 因为 是 的必要不充分条件,所以 ,
①若 ，则 ，解得 ，符合题意；
②若 ，由 ，可得 ，此时不等式组解集为空集，
综上可得: 实数 的取值范围是 .
18. (1)
(2)设备占地面积为 时， 的值最小
(1) 由题意得 ,
令 即 ,整理得 即 ,
所以解得 ,
所以设备占地面积 的取值范围为 .
(2) ,
当且仅当 即 时等号成立,
所以设备占地面积为 时, 的值最小.
19. (1)
(2)2 或 10
(1) 根据差倍集的定义 ,
当 时, ;
当 时, ;
当 时, .
由集合中元素的互异性,可得 .
( 2 )已知 ，由集合中元素的互异性可知， 且 . 当 时， 的可能取值为 2 或 3 .
当 时， ，
此时 ,满足差倍集 中恰好有两个元素,故 .
当 时, ,
则 ,不满足差倍集 中恰好有两个元素,故 .
当 时,根据 ,
可得 .
由于 且 ,所以 且 且 .
因为差倍集 中恰好有两个元素,所以分以下情况讨论:
若 ,此方程无解;
若 ,解得 ,此时 ,
满足差倍集 中恰好有两个元素,故 .
综上,若其差倍集 中恰好有两个元素,则 的值为 2 或 10 .