广东深圳外国语学校2025-2026学年高一下学期数学周测1（2026.3.8.）（含答案）

深圳外国语学校 2025 级高一下学期数学周测 1
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 在平行四边形 中, ( )
A. B. C. D.
2. 设 为 所在平面内一点,若 ,则下列关系中正确的是
A. B.
C. D.
3. 已知向量 与 的夹角为 ，若 ，则实数 ( )
A. B. 1
C. D. 2
4. 若 ,则( )
A. B. C. D.
5. 函数 的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 ，则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
8. 函数 ,已知 为 图象的一个对称中心,直线 为 图象的一条对称轴,且 在 上单调递减. 记满足条件的所有 的值的和为S，则S的值为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列关于向量的说法错误的是( )
A. 若 ,则
B. 若单位向量 夹角为 ,则向量 在向量 上的投影向量为
C. 若 与 不共线,且 ,则
D. 若 且 ,则
10. 设函数 的图象为 ,则下列结论中正确的是 ( )
A. 图象 关于直线 对称
B. 图象 关于点 对称
C. 函数 在区间 内是增函数
D. 把函数 的图象上点的横坐标缩短为原来的一半 (纵坐标不变) 可以得到图象
11. 已知函数 的最小值为 0, 是自然对数的底数,则 ( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知向量 与 不共线，而且 与 共线，则 的值为_____.
13. 已知 的外接圆圆心为 ， ，则 _____.
14. 定义在 上函数 满足 ,且当 时, . 若当 时， ，则 的最小值等于_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知向量 的夹角为 .
(1)求 ；
(2)若 与 的夹角为钝角，求实数 的取值范围.
16. 计算:
(1) ;
(2) .
17. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器. 生产这种机器的月固定成本为 400 万元,每生产 台,另需投入成本 (万元),当月产量不足 70 台时, (万元); 当月产量不小于 70 台时, (万元). 若每台机器售价 100 万元,且该机器能全部卖完.
(1)求月利润 (万元)关于月产量 (台)的函数关系式；
(2)月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.
18. 设 .
(1)求 的值及 的单调递增区间；
(2)若 ，求 的值.
19. 若函数 在 时，函数值 的取值区间恰为 ，则称 为 的一个 “倒域区间”. 定义在 上的奇函数 ,当 时, .
(1)求 在 内的“倒域区间”；
( 2 )将函数 在定义域内所有 “倒域区间”上的图像作为函数 的图像，是否存在实数 ,使集合 恰含有 2 个元素.
1. D
画出图形, 如图所示:
.
故选: D.
2. A
;
.
故选 A.
3. A
.
故选: A;
4. D
,
,
,
又 ,
所以 .
故选: D
5. C
为奇函数,故排
除 ;
当 时, ,故排除 ,
故选: C.
6. D
由 ,即 , 又 .
故选: D
7. C
解: 对于函数 ,令 ,解得 或 , 所以函数的定义域为 ,
又 ,所以 为偶函数,
当 时 ,则 在 上单调递增,
令 ,所以 ,
所以 在 上单调递增,
则 在 上单调递增,从而得到 在 上单调递减,
则不等式 等价于 ,解得 或 ,
所以不等式的解集为 .
故选:
8.
由题意知: 或
或
或
在 上单调递减,
① 当 时,取 知
此时 ,当 时,
满足 在 上单调递减, 符合
取 时, ,此时 ,当 时, 满足 在 上单调递减, 符合
当 时, ,舍去,当 时, 也舍去
② 当 时,取 知
此时 ,当 时,
,此时 在 上单调递增,舍去
当 时, ,舍去,当 时, 也舍去
综上: 或 .
故选: A.
9. AD
A: 当 时,若 ,则 与 不一定平行, 错误;
B: 向量 在向量 上的投影向量为 正确；
C: 若 与 不共线,且 ,
不妨假设 ,则 ,可知 与 共线,这与题设相矛盾,假设不成立,
所以 正确;
D: 因为 ,则 ,
又 ,则 ,显然 不能确定, D 错误;
故选: AD.
10. AC
对于 ,函数 的对称轴方程为 ,解得 ,当 时可得 ,所以图象 关于直线 对称正确.
对于 ,函数 的对称中心为 ,解得 ,当 时可得 ,所以图象 关于点 对称,而不是关于点 对称,故 选项不正确.
对于 ,函数 的单调增区间为 ,解得 当 时 ,所以函数 在区间 内是增函数正确.
对于 ,把函数 的图象上点的横坐标缩短为原来的一半 (纵坐标不变) 可以得到函数 的图象,不是图象 ,故 选项不正确.
综上 正确
故选
11. AD
由函数 的最小值为 0, 当 时, ,即 ,
故当 时, 的值域为 的子集,即
对于 ,当 时, 为 上的减函数,
又 ,则 ,即 ,故 正确, 错误;
当 时,对勾函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
对于 ,当 时,对勾函数 在 上单调递增,
则函数 在 上单调递减,由 知, ,故 错误;
对于 ,当 时,对勾函数 在 上单调递减,
则函数 在 上单调递增,又 ,则 ,即 ,故 D 正确;
故选: AD
12.
因为 与 共线,又向量 与 不共线,
所以 ,解得 ,
故答案为:
13.
.
如图,过点 作 于点 于点 .
根据数量积的几何定义,得
.
14.
当 时,故 ,
当 时,故 ,
可得在区间 上, ,
所以当 时, ,作函数 的图象,如图所示,
当 时,由 得 ,
由图象可知当 时, ,所以 的最小值为 .
故答案为: .
15.
(2)
(1) 因为向量 与 的夹角为 ,且 ,
所以 ,
所以 ;
(2)因为向量 与 的夹角为 ,且 ，
所以 ,
若 ,即 ,解得 ,
当 与 共线时,此时满足 ,解得 ,
此时 与 共线,且方向相反,
故 与 夹角为钝角时, 且 ,
所以 的取值范围是 .
16. ;
(2) .
(1) 原式 ;
(2)原式 .
17. ( 1 ) ；( 2 )当月产量为 80 台时，该企(1) 当 时, ;
当 时,
(2)当 时， ;
当 时, 取最大值 1400 万元;
当 时, ,
当且仅当 时,取等号
综上所述, 当月产量为 80 台时, 该企业能获得最大月利润, 其利润为 1500 万元.
18. (1) ;
(2)
(1) ,
则 ,
由 ,可得
则 的单调递增区间 .
(2)由(1)得
又由 ，可得 ，则 ，
由 ,可得 ,又 ,
则 ,则
则
19.
(2)
(1) 根据已知得, 在 上单调递减,则 在 内的“倒域区间”
应满足, ,则可知, 是方程 的两个解,且 ,
解方程 ,即 ,可化为 ,
即 ,解得, (舍去)
所以, ,
所以, 在 内的 “倒域区间” 为 .
(2)现在来求 在 上的解析式
,则 ,有
因为, 为定义在 上的奇函数,则有
所以, .
因为 在 时,函数值 的取值区间恰为 ,则有, 且 ,所以 、
同号,所以只需考虑 或 即可.
① 当 时，根据 的图象知， 最大值为 1,所以有 ,
从而有 ,由 (1) 知,此时 的 “倒域区间”为 ;
② 当 时,根据 的图象知, 最小值为 -1,
所以有 ,从而有 ,又 在 上单调递减,
则 ,则可知, 是方程 的两个解,且 ,
解方程 ,即 ,可化为 ,
即 ,解得, (舍去)
所以, ,
此时 的 “倒域区间” .
所以,
依题意知,抛物线与函数 有两个交点时,一个交点在第一象限,一个交点在第三象限,即 应使 在 内恰有一个实数解,并使 在 内恰有一个实数解.
由方程 在 内恰有一个实数解, ;
由方程 在 内恰有一个实数解, .
综上可得,