广东普宁市第二中学2025-2026学年高三下学期第一次月考数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东普宁市第二中学2025-2026学年高三下学期第一次月考数学试卷（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 353.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-25 00:00:00 | ||
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文档简介
普宁二中 2025-2026 学年第二学期高三第一次月考数学试卷 高三数学备课组
一、单选题: 共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.每个小题给的四个选项中, 只有 一项符合题目要求.
1. 已知全集为 ,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 设 ,复平面内表示复数 的点在直线 上,则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
4. 已知圆 与圆 的半径分别为3 和 1,圆 与圆 内切沿着圆周滚动如图所示, 是圆 的任意直径,则 ( )
A. 1 B. 3 C. 5 D. 8
5. 设 为椭圆 上一动点, 分别为圆 和圆 上的动点,则 不可能为( )
A. 7.5 B. 9.5 C. 11.5 D. 13.5
6. 已知函数 ,若函数有 3 个零点,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 已知 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
8. 设 ,且 为奇函数, 为偶函数,当 时,不等式 成立，则实数 的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个 选项中有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分, 请将答案填涂到答题卡相应区域)
9. 棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标. 在一批棉花中随机抽测了 400 根棉花纤维的长度 (单位: ),整理得到下表数据:
纤维长度(mm) [23,30) [30,37) [37,44) [44,51) [51,58) [58,65)
频数 30 40 60 120 100 50
根据表中数据，关于对样本数据的分析，下列结论中正确的是( )
A. 棉花纤维的长度的极差估计值大于
B. 棉花纤维中, 其长度低于 44mm 的棉花纤维数占三分之一
C. 棉花纤维的长度的中位数估计值介于 至 之间
D. 棉花纤维的长度的平均值估计值介于 至 之间
10. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， 为棱 的中点， 为四边形 内(包括边界)一个动点，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥 外接球的表面积为
B. 若 ，则点 的轨迹长度为
C. 的最小值为
D. 若直线 与平面 所成的角为 ，则 的最小值为
11. 甲、乙、丙 3 人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球； 若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余 2 人之一. 初始时球在甲手中，记第 次抛硬币后球在甲手中的概率为 ,球在乙手中的概率为 ,在前 次抛硬币的过程中 3 人之间传球的次数为 ,则( )
A. B. C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若曲线 有两条过坐标原点的切线,则 的取值范围是_____.
13. 设平面向量 ,若 不能组成平面上的一个基底,则
14. 数列 的前 项和为 ,且 ,且 ,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设 的内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ， 为 边上一点，满足 ，
(i) 求
(ii) 求 的长.
16. 已知椭圆 的离心率为 ，且 在椭圆上，直线 与椭圆在第一象限交于 两点， 与 轴， 轴分别交于 两点，且 ，
(1)求椭圆 的方程；
(2)求直线 的方程.
17. 如图,在四棱锥 中，四边形 是菱形， ， 是边长为 2 的正三角形,且 .
(1)求证:平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. 已知函数 .
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)证明:若 有两个零点 ， ，则 .
19. 已知椭圆 的离心率为 ，下顶点为 ，右顶点为 ， .
(1)求 的方程；
(2)已知动点 不在 轴上，点 在射线 上，且满足 .
(i) 设 ,求 的坐标 (用 表示);
(ii) 设 为坐标原点, 是 上的动点,直线 的斜率为直线 的斜率的 3 倍,求 的最大值.
1. A
因为 ,则 ,
所以 .
故选: A.
2. B
复数 对应的点的坐标为 ,
因为该点在直线 上,所以 ,
解得 ,则 .
故选: B.
3. A
因为 ,所以 ,
而 ,所以 ,
故 即 ,
从而 ,故 ,
故选: A.
4. B
.
故选: B.
5. D
椭圆的两个焦点坐标为 ,恰好为两个圆的圆心坐标,
圆 的半径 ,圆 的半径 ,
由椭圆的定义可得 ，
当椭圆上动点 与焦点连线与圆相交于 时, 最小,最小值为
当椭圆上动点 与焦点连线的反向延长线与圆相交于 时, 最大,最大值为
所以 .
故选: D.
6.
因为 ,
令 ,
将函数 的零点转化为函数 与 图象的交点个数问题,
因为 过定点 ,
作出函数 的图象,如图所示:
当 时,函数 与 图象至多有 2 个交点,不符合题意;
当 时, 与 必有一个交点,
所以 与 必有 2 个交点,
设过点 的直线与 相切于点 ,
因为 ,
所以切线的斜率为 ,
即有 ,
解得 ,
所以切线的斜率为 ,
所以 .
故选: B.
7. C
当 时, ,则函数 在 上为增函数,且 , 由于函数 为 上的增函数,故函数 在 上为增函数,且 , 当 时,由 ,可得 ; 由 ,可得 ; 当 时,由 ,可得 ; 由 ,可得 .
接下来解不等式 ,
当 时,即当 时,则 可得 或 ,可得 ;
当 时,即当 时,则 可得 或 ,可得 .
综上所述,不等式 的解集为 .
故选: C.
8. D
由 ,即 ①,得 .
又 分别为奇函数、偶函数,所以 ②,
联立①②两个式子，解得 ， .
由 成立可得, 成立,
又函数 在 时单调递增,
所以当 时,函数 取得最小值,为 ,
所以 成立时 的最大值为 .
故选: D.
9. C根据表中数据,这 400 根棉花纤维的长度的极差估计值为 ,不满足选项 A 中‘大于 42mm’的要求，故 A 错误；
纤维长度低于 的棉花纤维数占比为 ,故 B 错误;
由于纤维长度小于 的纤维数量为 130,纤维长度不低于 51 的纤维数量为 150,
可知这 400 根棉花纤维的长度的中位数估计值介于 至 之间,故 正确；
方法一:400 根棉花纤维的长度的平均值估计值为
,故 D 错误,
故选: C.
10. ACD
对于 A,由 两两垂直,得三棱锥 与以 为棱的长方体有相同的外接球,
则该球的直径为 ,该球的表面积为 , A 正确;
对于 ,由 平面 ,得 ,则 ,
因此点 的轨迹是以 为圆心, 为半径的 圆弧,其长度为 错误;
对于 ,延长 到 ,使得 ,则点 关于平面 对称,
因此 ,
当且仅当 为 与平面 的交点时取等号, 正确;
对于 ,以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,
设 ,而平面 的法向量 ,
由直线 与平面 所成的角为 ,得 ,
整理得 ,因此 ,
当且仅当 时取等号,即 的最小值为 正确.
故选: ACD
11. ACD
初始时球在甲手中,即 ,第一次抛硬币: 若正面朝上 (概率为 ): 球在甲手里, ;
若反面朝上(概率为 )，球传给乙或丙，各占 ，所以 ，即满足 ， 故 A 正确;
第 次抛硬币后,球在甲手中的概率为 ,
其中 表示球在丙手中的概率,且由对称性知 ,则 ,故 正确;
因 ,则 ,代入 (*) 可得:
同理 ,由对称性 ,则有 .
又由 可得 ,即数列 为首项是 ,公比为 的等比数列,
则 ,即 ,同理 ,故 ,故 D 正确; 因为 表示前 次抛硬币的过程中 3 人之间传球的次数,每次传球的概率为 ,且各次独立, 则 ,故其方差为 ,故 B 错误.
故选: ACD.
12.
,
设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
切线方程为: ,
:切线过原点， ，
整理得: ,
切线有两条, ,解得 或 ,
的取值范围是 ,
故答案为:
13.
因为若 不能组成平面上的一个基底,所以 ,所以 ,
所以
所以 .
故答案为: .
14. -1
,
可分为三个子数列 子数列等比,公比为 ,首项分别为 ;
,
,令 ,则 ,
,解得 ,
子数列的通项公式为: ,
设 ，
,
,
,
,
.
故答案为: -1 .
15. (1)
(2) (i) ; (ii)
(1)由 ，可得 ，
即 ,即 ,又 ,
则 ,即 .
(2)(i)因为 ，所以 .
由余弦定理得: ，
则 ，即 ，
所以 ,
(ii) ,
故 为等边三角形，则 ，
由 ,所以 ,
在 中,由余弦定理得
所以 .
16.
(2)
(1) 因为椭圆的离心率为 ,所以 .
又 在椭圆上,所以 .
又 ,联立解得 ,所以 .
所以椭圆方程为: .
(2)解法一:设 的中点为 ，因为 ，所以 .
设 ,则 ，
两式相减得 ,即 ,
所以 ,即 .
设直线 ,
令 ,得 ,令 ,得 ,即 ,
所以 ,即 ,解得 或 (舍去).
又 ，即 ，解得 或 (舍去)，
所以直线 ,即 .
解法二: ,设 的中点为 ,则 ,
设 ,则 ,
两式相减得 ,即 ,
所以 ,即
所以 .
由 ,得 ,两式联立解得 ,
所以直线 方程为 ,即 .
17.(1)连接 ,因为四边形 是菱形, ,
所以 为等边三角形,
所以 , 均是边长为 2 的正三角形,
取 的中点 ,连接 ,则 ,
因为 ,所以 ,
所以 平面 ,
所以 平面 ,
又 平面 ,
所以平面 平面 ;
(2)由(1)知 两两垂直，
所以以点 为坐标原点, 为 轴建系,
则 ,
所以 ,
设 为平面 的法向量,
则 ,令 得 ,
即 ,
设 为平面 的法向量,
则 ,令 ,得 ,
所以 ,
所以 ,
即平面 与平面 夹角的余弦值
18. (1)[方法一]:常规求导
的定义域为 ,则
令 ,得
当 单调递减
当 单调递增 ,
若 ,则 ,即
所以 的取值范围为
[方法二]:同构处理
由 得:
令 ,则 即
令 ,则
故 在区间 上是增函数
故 ,即
所以 的取值范围为
(2)[方法一]:构造函数
由题知, 一个零点小于 1,一个零点大于 1,不妨设 要证 ,即证
因为 ,即证
又因为 ,故只需证
即证
即证
下面证明 时,
设 ,
则
设
所以 ,而
所以 ,所以
所以 在 单调递增
即 ,所以
令
所以 在 单调递减
即 ,所以 ;
综上， ，所以 .
[方法二]:对数平均不等式
由题意得:
令 ,则
所以 在 上单调递增,故 只有 1 个解
又因为 有两个零点 ,故
两边取对数得: ,即
又因为 ,故 ,即
下证
因为
不妨设 ,则只需证
构造 ,则
故 在 上单调递减
故 ,即 得证
19. (1)
(2)(i) (ii)
(1)由题可知 ，所以 ，解得 ， 故椭圆 的标准方程为 ;
(2)(i)设 ，易知 ，
法一: 所以 ,故 ,且 .
因为 ,所以 ,
即 ,解得 ,所以 ,
所以点 的坐标为 .
法二: 设 ,则 ,所以 ,故点 的坐标为 .
(ii) 因为 ,由 ,可得 ,化简得 ,即 , 所以点 在以 为圆心, 为半径的圆上 (除去两个点),
为 到圆心 的距离加上半径,
法一: 设 ,所以
,当且仅当 时取等号,
所以 .
法二: 设 ,则 ,
,当且仅当 时取等号,
故 .
一、单选题: 共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.每个小题给的四个选项中, 只有 一项符合题目要求.
1. 已知全集为 ,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 设 ,复平面内表示复数 的点在直线 上,则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
4. 已知圆 与圆 的半径分别为3 和 1,圆 与圆 内切沿着圆周滚动如图所示, 是圆 的任意直径,则 ( )
A. 1 B. 3 C. 5 D. 8
5. 设 为椭圆 上一动点, 分别为圆 和圆 上的动点,则 不可能为( )
A. 7.5 B. 9.5 C. 11.5 D. 13.5
6. 已知函数 ,若函数有 3 个零点,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 已知 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
8. 设 ,且 为奇函数, 为偶函数,当 时,不等式 成立，则实数 的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个 选项中有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分, 请将答案填涂到答题卡相应区域)
9. 棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标. 在一批棉花中随机抽测了 400 根棉花纤维的长度 (单位: ),整理得到下表数据:
纤维长度(mm) [23,30) [30,37) [37,44) [44,51) [51,58) [58,65)
频数 30 40 60 120 100 50
根据表中数据，关于对样本数据的分析，下列结论中正确的是( )
A. 棉花纤维的长度的极差估计值大于
B. 棉花纤维中, 其长度低于 44mm 的棉花纤维数占三分之一
C. 棉花纤维的长度的中位数估计值介于 至 之间
D. 棉花纤维的长度的平均值估计值介于 至 之间
10. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， 为棱 的中点， 为四边形 内(包括边界)一个动点，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥 外接球的表面积为
B. 若 ，则点 的轨迹长度为
C. 的最小值为
D. 若直线 与平面 所成的角为 ，则 的最小值为
11. 甲、乙、丙 3 人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球； 若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余 2 人之一. 初始时球在甲手中，记第 次抛硬币后球在甲手中的概率为 ,球在乙手中的概率为 ,在前 次抛硬币的过程中 3 人之间传球的次数为 ,则( )
A. B. C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若曲线 有两条过坐标原点的切线,则 的取值范围是_____.
13. 设平面向量 ,若 不能组成平面上的一个基底,则
14. 数列 的前 项和为 ,且 ,且 ,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设 的内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ， 为 边上一点，满足 ，
(i) 求
(ii) 求 的长.
16. 已知椭圆 的离心率为 ，且 在椭圆上，直线 与椭圆在第一象限交于 两点， 与 轴， 轴分别交于 两点，且 ，
(1)求椭圆 的方程；
(2)求直线 的方程.
17. 如图,在四棱锥 中，四边形 是菱形， ， 是边长为 2 的正三角形,且 .
(1)求证:平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. 已知函数 .
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)证明:若 有两个零点 ， ，则 .
19. 已知椭圆 的离心率为 ，下顶点为 ，右顶点为 ， .
(1)求 的方程；
(2)已知动点 不在 轴上，点 在射线 上，且满足 .
(i) 设 ,求 的坐标 (用 表示);
(ii) 设 为坐标原点, 是 上的动点,直线 的斜率为直线 的斜率的 3 倍,求 的最大值.
1. A
因为 ,则 ,
所以 .
故选: A.
2. B
复数 对应的点的坐标为 ,
因为该点在直线 上,所以 ,
解得 ,则 .
故选: B.
3. A
因为 ,所以 ,
而 ,所以 ,
故 即 ,
从而 ,故 ,
故选: A.
4. B
.
故选: B.
5. D
椭圆的两个焦点坐标为 ,恰好为两个圆的圆心坐标,
圆 的半径 ,圆 的半径 ,
由椭圆的定义可得 ，
当椭圆上动点 与焦点连线与圆相交于 时, 最小,最小值为
当椭圆上动点 与焦点连线的反向延长线与圆相交于 时, 最大,最大值为
所以 .
故选: D.
6.
因为 ,
令 ,
将函数 的零点转化为函数 与 图象的交点个数问题,
因为 过定点 ,
作出函数 的图象,如图所示:
当 时,函数 与 图象至多有 2 个交点,不符合题意;
当 时, 与 必有一个交点,
所以 与 必有 2 个交点,
设过点 的直线与 相切于点 ,
因为 ,
所以切线的斜率为 ,
即有 ,
解得 ,
所以切线的斜率为 ,
所以 .
故选: B.
7. C
当 时, ,则函数 在 上为增函数,且 , 由于函数 为 上的增函数,故函数 在 上为增函数,且 , 当 时,由 ,可得 ; 由 ,可得 ; 当 时,由 ,可得 ; 由 ,可得 .
接下来解不等式 ,
当 时,即当 时,则 可得 或 ,可得 ;
当 时,即当 时,则 可得 或 ,可得 .
综上所述,不等式 的解集为 .
故选: C.
8. D
由 ,即 ①,得 .
又 分别为奇函数、偶函数,所以 ②,
联立①②两个式子，解得 ， .
由 成立可得, 成立,
又函数 在 时单调递增,
所以当 时,函数 取得最小值,为 ,
所以 成立时 的最大值为 .
故选: D.
9. C根据表中数据,这 400 根棉花纤维的长度的极差估计值为 ,不满足选项 A 中‘大于 42mm’的要求，故 A 错误；
纤维长度低于 的棉花纤维数占比为 ,故 B 错误;
由于纤维长度小于 的纤维数量为 130,纤维长度不低于 51 的纤维数量为 150,
可知这 400 根棉花纤维的长度的中位数估计值介于 至 之间,故 正确；
方法一:400 根棉花纤维的长度的平均值估计值为
,故 D 错误,
故选: C.
10. ACD
对于 A,由 两两垂直,得三棱锥 与以 为棱的长方体有相同的外接球,
则该球的直径为 ,该球的表面积为 , A 正确;
对于 ,由 平面 ,得 ,则 ,
因此点 的轨迹是以 为圆心, 为半径的 圆弧,其长度为 错误;
对于 ,延长 到 ,使得 ,则点 关于平面 对称,
因此 ,
当且仅当 为 与平面 的交点时取等号, 正确;
对于 ,以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,
设 ,而平面 的法向量 ,
由直线 与平面 所成的角为 ,得 ,
整理得 ,因此 ,
当且仅当 时取等号,即 的最小值为 正确.
故选: ACD
11. ACD
初始时球在甲手中,即 ,第一次抛硬币: 若正面朝上 (概率为 ): 球在甲手里, ;
若反面朝上(概率为 )，球传给乙或丙，各占 ，所以 ，即满足 ， 故 A 正确;
第 次抛硬币后,球在甲手中的概率为 ,
其中 表示球在丙手中的概率,且由对称性知 ,则 ,故 正确;
因 ,则 ,代入 (*) 可得:
同理 ,由对称性 ,则有 .
又由 可得 ,即数列 为首项是 ,公比为 的等比数列,
则 ,即 ,同理 ,故 ,故 D 正确; 因为 表示前 次抛硬币的过程中 3 人之间传球的次数,每次传球的概率为 ,且各次独立, 则 ,故其方差为 ,故 B 错误.
故选: ACD.
12.
,
设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
切线方程为: ,
:切线过原点， ，
整理得: ,
切线有两条, ,解得 或 ,
的取值范围是 ,
故答案为:
13.
因为若 不能组成平面上的一个基底,所以 ,所以 ,
所以
所以 .
故答案为: .
14. -1
,
可分为三个子数列 子数列等比,公比为 ,首项分别为 ;
,
,令 ,则 ,
,解得 ,
子数列的通项公式为: ,
设 ，
,
,
,
,
.
故答案为: -1 .
15. (1)
(2) (i) ; (ii)
(1)由 ，可得 ，
即 ,即 ,又 ,
则 ,即 .
(2)(i)因为 ，所以 .
由余弦定理得: ，
则 ，即 ，
所以 ,
(ii) ,
故 为等边三角形，则 ，
由 ,所以 ,
在 中,由余弦定理得
所以 .
16.
(2)
(1) 因为椭圆的离心率为 ,所以 .
又 在椭圆上,所以 .
又 ,联立解得 ,所以 .
所以椭圆方程为: .
(2)解法一:设 的中点为 ，因为 ，所以 .
设 ,则 ，
两式相减得 ,即 ,
所以 ,即 .
设直线 ,
令 ,得 ,令 ,得 ,即 ,
所以 ,即 ,解得 或 (舍去).
又 ，即 ，解得 或 (舍去)，
所以直线 ,即 .
解法二: ,设 的中点为 ,则 ,
设 ,则 ,
两式相减得 ,即 ,
所以 ,即
所以 .
由 ,得 ,两式联立解得 ,
所以直线 方程为 ,即 .
17.(1)连接 ,因为四边形 是菱形, ,
所以 为等边三角形,
所以 , 均是边长为 2 的正三角形,
取 的中点 ,连接 ,则 ,
因为 ,所以 ,
所以 平面 ,
所以 平面 ,
又 平面 ,
所以平面 平面 ;
(2)由(1)知 两两垂直，
所以以点 为坐标原点, 为 轴建系,
则 ,
所以 ,
设 为平面 的法向量,
则 ,令 得 ,
即 ,
设 为平面 的法向量,
则 ,令 ,得 ,
所以 ,
所以 ,
即平面 与平面 夹角的余弦值
18. (1)[方法一]:常规求导
的定义域为 ,则
令 ,得
当 单调递减
当 单调递增 ,
若 ,则 ,即
所以 的取值范围为
[方法二]:同构处理
由 得:
令 ,则 即
令 ,则
故 在区间 上是增函数
故 ,即
所以 的取值范围为
(2)[方法一]:构造函数
由题知, 一个零点小于 1,一个零点大于 1,不妨设 要证 ,即证
因为 ,即证
又因为 ,故只需证
即证
即证
下面证明 时,
设 ,
则
设
所以 ,而
所以 ,所以
所以 在 单调递增
即 ,所以
令
所以 在 单调递减
即 ,所以 ;
综上， ，所以 .
[方法二]:对数平均不等式
由题意得:
令 ,则
所以 在 上单调递增,故 只有 1 个解
又因为 有两个零点 ,故
两边取对数得: ,即
又因为 ,故 ,即
下证
因为
不妨设 ,则只需证
构造 ,则
故 在 上单调递减
故 ,即 得证
19. (1)
(2)(i) (ii)
(1)由题可知 ，所以 ，解得 ， 故椭圆 的标准方程为 ;
(2)(i)设 ，易知 ，
法一: 所以 ,故 ,且 .
因为 ,所以 ,
即 ,解得 ,所以 ,
所以点 的坐标为 .
法二: 设 ,则 ,所以 ,故点 的坐标为 .
(ii) 因为 ,由 ,可得 ,化简得 ,即 , 所以点 在以 为圆心, 为半径的圆上 (除去两个点),
为 到圆心 的距离加上半径,
法一: 设 ,所以
,当且仅当 时取等号,
所以 .
法二: 设 ,则 ,
,当且仅当 时取等号,
故 .
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