广东肇庆市德庆县香山中学2025-2026学年高三下学期开学数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东肇庆市德庆县香山中学2025-2026学年高三下学期开学数学试题（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 350.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-25 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026 学年高三级第二学期数学科开学考试题
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ，集合 ，则 等于( )
A. B.
C. D.
2. 设向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知 是关于 的方程 的两个根. 若 ，则 ( )
A. B. 1 C. D. 2
4. 若 为偶函数,则 ( ).
A. -1 B. 0 C. D. 1
5. 若曲线 在点 处的切线与直线 垂直,则实数 的值为( )
A. 3 B. C. 2 D. 1
6. 甲、乙、丙三名同学相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人，则 4 次传球后球在甲手中的概率为( )
A. B. C. D.
7. 帆船比赛中, 运动员可借助风力计测定风速的大小与方向, 测出的结果在航海学中称为视风风速. 视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和, 其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反. 图 1 给出了部分风力等级、 名称与风速大小的对应关系. 已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图 2 所示 (线段长度代表速度大小,单位: ),则该时刻的真风为 ( )
级数 名称 风速大小 (单位: )
2 轻风 1.6~3.3
3 微风 3.4~5.4
4 和风 5.5~7.9
5 劲风 8.0~10.7
A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风
8. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某次数学考试后, 为分析学生的学习情况, 某校从某年级中随机抽取了 100 名学生的成绩, 整理得到如图所示的频率分布直方图. 则 ( )
A. 估计该年级学生成绩的众数为 75
B.
C. 估计该年级学生成绩的 75 百分位数约为 85
D. 估计该年级成绩在 80 分及以上的学生成绩的平均数为 87.50
10. 已知四棱台 的上下底面均为正方形，其中 ， ，则下述正确的是 ( ).
A. 该四棱台的高为 B.
C. 该四棱台的表面积为 26 D. 该四棱台外接球的表面积为
11. 已知函数 的部分图象如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A.
B. 若 ,则
C. 将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数
D. 当 时,曲线 与 有 4 个交点
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 的展开式的常数项为_____.
13. 若圆 与双曲线 的一条渐近线相切,则双曲线的离心率为_____.
14. 某工厂为研究某种产品的产量 (吨)与所需某种原材料的质量 (吨)的相关性，在生产过程中收集 4 组对应数据 ,如表所示. (残差 观测值一预测值)
3 4 5 6
2.5 3 4
根据表中数据,得出 关于 的经验回归方程为 . 据此计算出在样本 处的残差为 -0.15 ，则表中 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 第 15 小题 13 分, 第 16、17 小题 15 分, 第 18、 19 小题 17 分, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，令 ，求数列 的前 项和 .
16. 在 中，内角 所对的边分别是 ，且 .
(1)求 ；
(2)已知 的角平分线 交 于点 . 若 . 求 面积及 的长.
17. 已知函数 .
(1)求 的极值；
(2)对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
18. 如图所示，在四棱锥 中， ， ， .
(1)若 平面 , ,证明:
(2)若 底面 ，二面角 的余弦值为 ，求 的长.
19. 已知椭圆方程为 ,离心率为 且过点 .
(1)求椭圆方程；
(2)动点 在椭圆上，过原点的直线交椭圆于 两点，证明:直线 、 的斜率乘积为定值;
(3)过左焦点 的直线交椭圆于 两点，是否存在实数 ，使 恒成立 若存在,求此时 的最小值; 若不存在,请说明理由.
1. A
,则 ,
又 ,则 .
故选: A
2. A
的充要条件为 ,即 或 ,
" " 是 " 或 "成立的充分不必要条件,
“ ” 是 “ ” 的充分不必要条件,
故选 A.
3. C
法一: 由 是关于 的方程 的两个根,得 ,
所以 ,所以 .
法二: 由 是关于 的方程 的两个根,得 ,
所以 ,所以 .
故选: C.
4. B
因为 为偶函数,则 ,解得 ,
当 时, ,解得 或 ,
则其定义域为 ,关于原点对称.
故此时 为偶函数.
故选: B.
5. A
由题意有 ,所以 ,
因为在点 处的切线与直线 垂直,
所以 ,
故选: A.
6. C
根据题意 4 次传球总的传球路线种数为 种,
满足题意的有:甲-乙-甲-乙-甲、甲-乙-甲-丙-甲、甲-乙-丙-乙-甲、甲-丙-甲-乙-甲、甲-丙-甲- 丙-甲、甲-丙-乙-丙-甲,共有 6 种,
所以 4 次传球后球在甲手中的概率为 .
故选:C.
7. A
由题意及图得,
视风风速对应的向量为: ,
视风风速对应的向量, 是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和, 船速方向和船行风速的向量方向相反,
设真风风速对应的向量为 ，船行风速对应的向量为 ，
,船行风速: ,
,
,
由表得,真风风速为轻风,
故选: A.
8. D
由 可得,
所以 .
所以 .
故选: D
9. ACD
由频率分布直方图可知成绩在 70-80 分之间的人数最多,
故可估计该年级学生成绩的众数为 75, A 正确;
由频率分布直方图可知 , B 错误;
由于前三组的频率之和为 ,前四组的频率之和为 ,
故估计该年级学生成绩的 75 百分位数约为 正确;
由频率分布直方图可知成绩在 80-90 分之间和 90-100 分之间的频率之比为 ,
故估计该年级成绩在 80 分及以上的学生成绩的平均数为 , D 正确,
故选: ACD
10. AD
解:
由棱台性质,画出切割前的四棱锥,
由于 ， ，可知 与 相似比为1:2;
则 ，则 ，则 ，该四棱台的高为 ， 对；
因为 ，则 与 夹角为 ，不垂直， 错；
该四棱台的表面积为 错；
由于上下底面都是正方形,则外接球的球心在 上,
在平面 上中,由于 ,则 ,即点 到点 与点 的距离相等,则 ,该四棱台外接球的表面积为 对,
故选: AD.
11. ABD
观察函数 的图象,得 ,最小正周期 ,解得 ,
由 ,得 ,而 ,则 ,
对于 ,故 正确;
对于 ,由 ,得 ,
则 或 ,
解得 或 ,
又 ,则 ,故 正确;
对于 ,故 错误;
对于 ,在同一坐标系内作出函数 与 在 上的图象,
如图, 作出符合题意的图形,
观察图象得, 两个函数图象有 4 个交点, 故 D 正确.
故选: ABD
12. 135
展开式的通项为 , 令 ,解得 ,
故二项展开式的常数项为 .
故答案为: 135
13.
双曲线 的渐近线方程为 ,根据对称性不妨取其中一条渐近线 ,即
因为 与圆 相切,
则 ,得 ,即 ,
.
14. 4.5
由题意可得 时的预测值为 ,
则有 ,
即 ,
又 ,
故 ,
故答案为: 4.5
15.
(2)
(1)设等差数列 的公差为 ，
由 ,可得 ,可得 ①,
由 可得 ,整理可得 ②,
联立①②可得 ，所以， .
(2)因为 ，则 ，
所以, ,
上式一下式得
,
因此, .
16.
(2)
(1)因为 ，
由正弦定理得 ,
又因为 ,
所以 ,
因为 ,可得 ,
所以 ,可得 ,
又因为 ,所以 .
(2)由(1)知 ，又 ，
利用余弦定理 ,可得 ,
因为 ,所以 ,
所以 的面积为 ，
又因为 的角平分线 交 于点 ,
所以 ,
可得 ,
整理得 .
17.(1) 的定义域为 ,
当 时, 恒成立,此时 单调递增, 无极值;
当 时,令 ,得 ,
故当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增,
此时 在 处取到极小值 ,无极大值;
(2)法一:
对任意 时, 恒成立,即 恒成立,
令 ,则 ,
令 ,则 ,
即 在区间 上单调递减,又 ,
所以当 时, ,即 ,此时 单调递增;
当 时, ,即 ,此时 单调递减,
所以 ,
所以 ,即 的取值范围为 .
法二:
由 (1) 知 ,当 时, 在区间 上单调递增,
因为 ,所以 不符合题意;
当 时,当 时 单调递减,当 时 单调递增,
对任意 时， 恒成立，即 ，
即 ,
令 ,
在区间 上单调递增,
又 ,所以 ;
当 时, 在区间 上单调递减,
所以 ,符合题意;
综上, 的取值范围为 .
18. (1)证明:因为 ，即 ，
所以 ,即 .
因为 平面 平面 ,面 面 ,
所以 ,
所以 .
又因为 平面
所以 平面 ,
因为 平面
所以 .
(2)因为 底面 ， ， 底面 ，
所以 , .
又 ,
所以 ，以点 为原点，以 所在的直线为 轴，过点 作 的平行线为 轴,建立空间直角坐标系如图所示. 令 ,则
设平面 的法向量为 ,
所以 即
令 ,则 ,所以 .
设平面 的法向量为 ,
所以 即
令 ,则 ,所以 .
因为二面角 的余弦值为 ,二面角为锐角,
所以 ,解得 ,所以 .
19.(1) 由题, ,所以 ,
椭圆的方程为 .
(2)
证明: 设点 ,因为点 在椭圆上,所以 ,
同理设点 ,则 ,
因为直线 过原点,所以 关于原点对称,点 ,
(3)
,当直线 斜率为零时,不妨设 ,
则 ,
存在 ,使 成立,
当直线 斜率不为零时,设直线方程为 ,
联立方程组 ,消去 得 ,易知 ,
所以 ,
又因为 ,
所以 ,
又因为 ,当 时, 最小为 3,
综上,存在 ,使 成立, 最小为 3 .
【点睛】方法点睛: 过定点 且斜率不为零的直线可以设为 .
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ，集合 ，则 等于( )
A. B.
C. D.
2. 设向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知 是关于 的方程 的两个根. 若 ，则 ( )
A. B. 1 C. D. 2
4. 若 为偶函数,则 ( ).
A. -1 B. 0 C. D. 1
5. 若曲线 在点 处的切线与直线 垂直,则实数 的值为( )
A. 3 B. C. 2 D. 1
6. 甲、乙、丙三名同学相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人，则 4 次传球后球在甲手中的概率为( )
A. B. C. D.
7. 帆船比赛中, 运动员可借助风力计测定风速的大小与方向, 测出的结果在航海学中称为视风风速. 视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和, 其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反. 图 1 给出了部分风力等级、 名称与风速大小的对应关系. 已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图 2 所示 (线段长度代表速度大小,单位: ),则该时刻的真风为 ( )
级数 名称 风速大小 (单位: )
2 轻风 1.6~3.3
3 微风 3.4~5.4
4 和风 5.5~7.9
5 劲风 8.0~10.7
A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风
8. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某次数学考试后, 为分析学生的学习情况, 某校从某年级中随机抽取了 100 名学生的成绩, 整理得到如图所示的频率分布直方图. 则 ( )
A. 估计该年级学生成绩的众数为 75
B.
C. 估计该年级学生成绩的 75 百分位数约为 85
D. 估计该年级成绩在 80 分及以上的学生成绩的平均数为 87.50
10. 已知四棱台 的上下底面均为正方形，其中 ， ，则下述正确的是 ( ).
A. 该四棱台的高为 B.
C. 该四棱台的表面积为 26 D. 该四棱台外接球的表面积为
11. 已知函数 的部分图象如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A.
B. 若 ,则
C. 将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数
D. 当 时,曲线 与 有 4 个交点
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 的展开式的常数项为_____.
13. 若圆 与双曲线 的一条渐近线相切,则双曲线的离心率为_____.
14. 某工厂为研究某种产品的产量 (吨)与所需某种原材料的质量 (吨)的相关性，在生产过程中收集 4 组对应数据 ,如表所示. (残差 观测值一预测值)
3 4 5 6
2.5 3 4
根据表中数据,得出 关于 的经验回归方程为 . 据此计算出在样本 处的残差为 -0.15 ，则表中 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 第 15 小题 13 分, 第 16、17 小题 15 分, 第 18、 19 小题 17 分, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，令 ，求数列 的前 项和 .
16. 在 中，内角 所对的边分别是 ，且 .
(1)求 ；
(2)已知 的角平分线 交 于点 . 若 . 求 面积及 的长.
17. 已知函数 .
(1)求 的极值；
(2)对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
18. 如图所示，在四棱锥 中， ， ， .
(1)若 平面 , ,证明:
(2)若 底面 ，二面角 的余弦值为 ，求 的长.
19. 已知椭圆方程为 ,离心率为 且过点 .
(1)求椭圆方程；
(2)动点 在椭圆上，过原点的直线交椭圆于 两点，证明:直线 、 的斜率乘积为定值;
(3)过左焦点 的直线交椭圆于 两点，是否存在实数 ，使 恒成立 若存在,求此时 的最小值; 若不存在,请说明理由.
1. A
,则 ,
又 ,则 .
故选: A
2. A
的充要条件为 ,即 或 ,
" " 是 " 或 "成立的充分不必要条件,
“ ” 是 “ ” 的充分不必要条件,
故选 A.
3. C
法一: 由 是关于 的方程 的两个根,得 ,
所以 ,所以 .
法二: 由 是关于 的方程 的两个根,得 ,
所以 ,所以 .
故选: C.
4. B
因为 为偶函数,则 ,解得 ,
当 时, ,解得 或 ,
则其定义域为 ,关于原点对称.
故此时 为偶函数.
故选: B.
5. A
由题意有 ,所以 ,
因为在点 处的切线与直线 垂直,
所以 ,
故选: A.
6. C
根据题意 4 次传球总的传球路线种数为 种,
满足题意的有:甲-乙-甲-乙-甲、甲-乙-甲-丙-甲、甲-乙-丙-乙-甲、甲-丙-甲-乙-甲、甲-丙-甲- 丙-甲、甲-丙-乙-丙-甲,共有 6 种,
所以 4 次传球后球在甲手中的概率为 .
故选:C.
7. A
由题意及图得,
视风风速对应的向量为: ,
视风风速对应的向量, 是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和, 船速方向和船行风速的向量方向相反,
设真风风速对应的向量为 ，船行风速对应的向量为 ，
,船行风速: ,
,
,
由表得,真风风速为轻风,
故选: A.
8. D
由 可得,
所以 .
所以 .
故选: D
9. ACD
由频率分布直方图可知成绩在 70-80 分之间的人数最多,
故可估计该年级学生成绩的众数为 75, A 正确;
由频率分布直方图可知 , B 错误;
由于前三组的频率之和为 ,前四组的频率之和为 ,
故估计该年级学生成绩的 75 百分位数约为 正确;
由频率分布直方图可知成绩在 80-90 分之间和 90-100 分之间的频率之比为 ,
故估计该年级成绩在 80 分及以上的学生成绩的平均数为 , D 正确,
故选: ACD
10. AD
解:
由棱台性质,画出切割前的四棱锥,
由于 ， ，可知 与 相似比为1:2;
则 ，则 ，则 ，该四棱台的高为 ， 对；
因为 ，则 与 夹角为 ，不垂直， 错；
该四棱台的表面积为 错；
由于上下底面都是正方形,则外接球的球心在 上,
在平面 上中,由于 ,则 ,即点 到点 与点 的距离相等,则 ,该四棱台外接球的表面积为 对,
故选: AD.
11. ABD
观察函数 的图象,得 ,最小正周期 ,解得 ,
由 ,得 ,而 ,则 ,
对于 ,故 正确;
对于 ,由 ,得 ,
则 或 ,
解得 或 ,
又 ,则 ,故 正确;
对于 ,故 错误;
对于 ,在同一坐标系内作出函数 与 在 上的图象,
如图, 作出符合题意的图形,
观察图象得, 两个函数图象有 4 个交点, 故 D 正确.
故选: ABD
12. 135
展开式的通项为 , 令 ,解得 ,
故二项展开式的常数项为 .
故答案为: 135
13.
双曲线 的渐近线方程为 ,根据对称性不妨取其中一条渐近线 ,即
因为 与圆 相切,
则 ,得 ,即 ,
.
14. 4.5
由题意可得 时的预测值为 ,
则有 ,
即 ,
又 ,
故 ,
故答案为: 4.5
15.
(2)
(1)设等差数列 的公差为 ，
由 ,可得 ,可得 ①,
由 可得 ,整理可得 ②,
联立①②可得 ，所以， .
(2)因为 ，则 ，
所以, ,
上式一下式得
,
因此, .
16.
(2)
(1)因为 ，
由正弦定理得 ,
又因为 ,
所以 ,
因为 ,可得 ,
所以 ,可得 ,
又因为 ,所以 .
(2)由(1)知 ，又 ，
利用余弦定理 ,可得 ,
因为 ,所以 ,
所以 的面积为 ，
又因为 的角平分线 交 于点 ,
所以 ,
可得 ,
整理得 .
17.(1) 的定义域为 ,
当 时, 恒成立,此时 单调递增, 无极值;
当 时,令 ,得 ,
故当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增,
此时 在 处取到极小值 ,无极大值;
(2)法一:
对任意 时, 恒成立,即 恒成立,
令 ,则 ,
令 ,则 ,
即 在区间 上单调递减,又 ,
所以当 时, ,即 ,此时 单调递增;
当 时, ,即 ,此时 单调递减,
所以 ,
所以 ,即 的取值范围为 .
法二:
由 (1) 知 ,当 时, 在区间 上单调递增,
因为 ,所以 不符合题意;
当 时,当 时 单调递减,当 时 单调递增,
对任意 时， 恒成立，即 ，
即 ,
令 ,
在区间 上单调递增,
又 ,所以 ;
当 时, 在区间 上单调递减,
所以 ,符合题意;
综上, 的取值范围为 .
18. (1)证明:因为 ，即 ，
所以 ,即 .
因为 平面 平面 ,面 面 ,
所以 ,
所以 .
又因为 平面
所以 平面 ,
因为 平面
所以 .
(2)因为 底面 ， ， 底面 ，
所以 , .
又 ,
所以 ，以点 为原点，以 所在的直线为 轴，过点 作 的平行线为 轴,建立空间直角坐标系如图所示. 令 ,则
设平面 的法向量为 ,
所以 即
令 ,则 ,所以 .
设平面 的法向量为 ,
所以 即
令 ,则 ,所以 .
因为二面角 的余弦值为 ,二面角为锐角,
所以 ,解得 ,所以 .
19.(1) 由题, ,所以 ,
椭圆的方程为 .
(2)
证明: 设点 ,因为点 在椭圆上,所以 ,
同理设点 ,则 ,
因为直线 过原点,所以 关于原点对称,点 ,
(3)
,当直线 斜率为零时,不妨设 ,
则 ,
存在 ,使 成立,
当直线 斜率不为零时,设直线方程为 ,
联立方程组 ,消去 得 ,易知 ,
所以 ,
又因为 ,
所以 ,
又因为 ,当 时, 最小为 3,
综上,存在 ,使 成立, 最小为 3 .
【点睛】方法点睛: 过定点 且斜率不为零的直线可以设为 .
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