广东省汕头市潮阳实验学校等校2026年高中毕业班三月份调研考试数学试题（含答案）

广东省 2026 年高中毕业班三月份调研考试 数学
满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项:1. 答题前，考生务必将自己所在的市(县、区)、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上. 用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应的位置上. 将条形码横贴在每张答题卡的“条形码粘贴处”.
2. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4. 考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后, 将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 已知 ,则 的值为( )
A. 5 B. C. D.
2. 已知集合 ，若 ，则 为( )
A. B.
C. 或 D. 或
3. “ ” 是 “事件 与事件 互为对立事件” 的( )
A. 充要条件
B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件
D. 必要不充分条件
4. 在等差数列 中, 且 . 若该数列前 项和为 5070 ,则 为( )
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
5. 圆锥的底面半径为 2,高为 ,现于圆锥内放置一个可自由旋转的正方体,则该正方体体积的最大值为( )
A. B. C. D.
6. 若双曲线 存在以 为中点的弦,则离心率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
7. 为平面直角坐标系 中一点,直线的方程为 ,过点 作 的垂线,垂足为 ,记 点的轨迹为曲线 ,过直线 上任意一点 作 的两条切线,切点分别为 ,则 正弦值的最大值为 ( )
A. B. C. D.
8. 对于任意的 ,都有 和 恒成立,其中 为实数. 则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在正方体 中, 为正方体下底面, 为平面 内一动点， ，则( )
A. 平面
B. 连接 交平面 于点 ,则
C. 若 为平面 内另一动点,则 的最小值为
D. 四面体 体积最大值为
10. 已知 ,则下列说法不正确的是 ( )
A. 在定义域内单调递增
B. 的对称中心为
C. 已知 为方程 的两个根， 且 ，则 的取值范围为
D. 若 ,则 的最小值为
11. 点 是曲线 的右支上一点,过点 作 的切线,切线与 轴交于点 ,且切线与 的两渐近线分别交于 两点,则 ( )
A. 点 与坐标原点的距离为
B.
C. 若 ,则
D. 若 ,则 ,且满足条件的点 有 2 个不同位置
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 抽奖箱中共 6 个球, 这 6 个球的形状、大小完全相同, 每个球上面分别标有数字 1, 2,
3, 4, 5, 6 中的一个，且没有重复出现的数字标号，现从中随机抽出两个球 (不放回)，则两个球之间的数字标号互质的概率为_____.
13. 在三角形 中,角 所对的边分别为 . 若 ,且三角形 的周长为 ，则该三角形面积的最大值为_____.
14. 已知 ,对任意实数 恒成立. 若 ,则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知在数列 中, 为等比数列, 为 的前 项和.
(1)若 ，求数列 的前 项和 ；
(2)若 ,求 前 项和的最小值.
16. 如图. 四棱锥 的底面为正方形，平面 平面 ， . 设 为 的中点.
(1)求平面 与平面 夹角的正切值；
(2)设 为线段 上一点(含端点)，求 与平面 所成角的正弦值的范围；
(3)直接写出四棱锥 的外接球表面积与体积(无需证明).
17. 在 中,角 所对应的边分别为 . 且 .
(1)若 为 边上靠近点 的三等分点， ，求 面积的最大值；
(2)求 的取值范围.
18. 在平面直角坐标系 中,抛物线 的方程为 为 上一点， 为 的焦点,过点 的直线交 于另一点 ( 不与 重合). 的最小值为 4 .
(1)求 的标准方程；
(2)过点 作直线 交 于 两点( 在 上方)，点 坐标为 ，延长 交 于点 ,延长 交 于点 ,连接 .
(i) 求 面积的最小值；
(ii) 当 均不与 轴垂直时,设 中点为 中点为 ，求 的取值范围.
19. 若存在有限个 ,使得 ,且 不是偶函数,则称 为 “缺陷偶函数", 称为 的偶点.
(1)证明: 为“缺陷偶函数”，且偶点唯一.
(2)对任意 ,函数 都满足 .
①若 是“缺陷偶函数”，证明:函数 有 2 个极值点.
②若 ，证明:当 时， .
参考数据: .
1. B
,
,故 B 正确.
故选: B.
2. A
解不等式 ,得 或 ,则 或 , 解不等式 ,即 ,得 或 ,则 或 , 因此 或 ,所以 .
故选: A
3. D
投掷一枚硬币 3 次,满足 ,但 不一定是对立事件,
如: 事件 : “至少出现一次正面”,事件 : “出现 3 次正面”,
则 ,满足 ,但 不是对立事件.
若事件 与事件 是对立事件,则 为必然事件,再由概率的加法公式得 ; 所以“ ” 是 “事件 与事件 互为对立事件”的必要不充分条件;
故选: D
4. C
在等差数列 中, ,
则 ,因此 ,
由该数列的前 项和为 5070,得 ,则 ,
所以 .
故选:
5.
如图,圆锥 底面圆的圆心为 是圆 的一条直径,
设圆锥 内切球的球心为 ,过点 作 ,垂足分别为 ,
由于 ,
由题意可知 ,所以 .
即 ,解得 .
设该正方体棱长的最大值为 ，
则 ,解得 ,
所以该正方体的体积的最大值是 ,故 正确.
故选: B
6. C
若点 在右焦点所在的双曲线内部,则必存在以 为中点的弦,
此时 ,解得 ,则 ,
所以 ,符合题意;
若点 在右焦点所在的双曲线外部,则 ,
设以 为中点的弦与双曲线 交于 两点,
则 ,
则 ,
两式作差得 ,整理得弦的斜率 ,
因为存在该中点弦，所以直线 与双曲线 有 2 个不同的交点，
则 ,解得 ,所以 ,
则 ,符合题意.
综上,离心率的取值范围是 .
故选: C
7. D
设动点 的坐标为 ,直线 ,恒过定点 , 所以 ,所以 点的轨迹为以 为直径的圆的方程,
圆的圆心为 的中点 ,半径为 ,
所以曲线 的方程为 ,
根据题意,过直线 上任意一点 作 的两条切线,切点分别为 ,
则 ,
所以当 取最小值时, 取最大值,即 取最大值,
所以 最小值为 ,此时 ,即得 ,
此时 ,
则 .
所以 正弦值的最大值为 .
8. A
由 ,不等式两侧同时除以 ,得 ,
整理得 ,设 ,根据对勾函数的性质可得
当 时, 取最小值为 4 ,
当 时, ,
当 时, ,故 ,
即 ,恒有 .
设 ,则 ,即 ①,
建立关于 的平面直角坐标系如图所示,①表示四条直线围成的一个平行四边形, 联立方程求解顶点坐标可得
设目标函数为 ,将
代入 ，得 ，即可行域内 恒成立，
故 .
当 时, ,代入 ,
可得 的取值分别为21,25,17,故 ;
当 时， ，代入 ，可得 ，
综上所述 .
故选: A.
9. ABD
对于 ,连接 ,由 平面 平面 , 得 ,而 平面 ,
则 平面 ，又 平面 ，于是 ，同理 ，
而 平面 ,因此 平面 正确;
对于 ,依题意,点 为 的交点,由选项 知 ,则
,而 ,因此 正确;
对于 ,点 平面 ,而 错误;
对于 ,由选项 得点 在以点 为圆心, 为半径的圆上,而在正 中, ,其内切圆半径 ,即点 在正 的内切圆上, 令该圆与边 相切于点 ,则该圆上的点 到 距离的最大值为 , 于是点 到平面 距离的最大值为 , 因此四面体 体积最大值为 ，D 正确.
10.
选项 ,由题意 的定义域为 ,
因为 恒成立,当且仅当 时 ,
所以 在定义域内单调递增, A 说法正确;
选项 B,设 的对称中心为 ,
由对称中心的定义可知 对 恒成立,
代入 整理得 ,
令 ,解得 ,
所以 的对称中心为 , B 说法错误;
选项 C,由 且 可得 ,
令 ,则 ,
由函数的平移变换易知 在 上单调递增,且关于 中心对称,
所以 ,即 ,
所以 ,即 ,
又因为 为方程 的两个根,
所以 ,当 时不等式显然不成立,解得 , C 说法错误;
选项 D,因为 关于 中心对称,所以
由题意 ,所以 ,
又因为 单调递增,所以 ,整理得 ,
所以当 时,
,
当且仅当 ,即 时取等号,
所以 的最小值为 2, D 说法正确;
故选: BC
11. ACD
如图: 由曲线 ,可作图.
先补充一个双曲线切线方程的基本结论: 双曲线上一点 ,则过点 的切线方程为 .
证明如下: 设过点 的切线方程为: ,
联立 与 ,即 ,则有 , 即 ,
当 时, ,符合;
当 时, ,此时,联立后的方程可变为 ,即 ,
又 ，所以 ，又 的斜率为 ，当 在第一象限时，斜率显然为正,则 ,
同理,当 在其他象限时依然,综上可得: 过点 的切线方程为 .
设 ,双曲线渐近线方程可表示为 ,
联立 与渐近线方程可得 ,即 ;
所以 ,点 在 上,所以 是 中点. 所以 ,
即 ,由渐近线方程可知, ,所以
正确,即 对;
对于 选项,过 作 轴垂线于 ,则
因为 ,所以 ,即 错;
对于 选项,由双曲线第二定义可知 ,其中 ,
所以 ,即 ,解得 (负解舍去), 由切线方程为 知, 点坐标为 ,代入计算可得 , 所以 对;
对于 选项,因为 ,且
不妨设 ,
则 ,
即 ,
即 ,因为 ,
所以 ,即 ,即 ,或
,
由对称性可知满足条件的点 有 2 个不同位置;
因为 ,代入 ,可得 ,
又 ,所以 ;
当 时, ;
当 时, ,代入 可得
所以 ,所以 对.
12.
随机抽出两个球的样本空间 , 共 15 个,
两个球之间的数字标号互质的事件 ,共 11 个,
所以两个球之间的数字标号互质的概率为 .
故答案为:
13.
因为 ,
所以由余弦定理可得 ,
即 ,解得 或 ,
又因为 ,
当 时, ,
由基本不等式可得 ,
当且仅当 时等号成立,解得 ,
所以该三角形面积 ，此时 ；
当 时,设 ,则 ,
由三角形的性质可得 ,解得 ,
由海伦公式可得 ,
令 ,
所以 ,
令 解得 (舍去),或 ,
所以当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,
所以 ,
所以 ,
因为 ，
所以 ,即 ;
综上该三角形面积的最大值 ,
故答案为:
14.
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
则 ,即 ,
所以关于 的一元二次不等式有解,且 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,解得 或 ,
当 时,不等式为 ,得 ,符合题意;
当 时,不等式为 ,得 ,符合题意,
则 的取值范围是 .
故答案为:
15. (1)
(2)-17
(1) 由 可知 是公差 的等差数列,则 . 为等比数列,设公比为 ,由 ,
可得 ①，
,即 ②,
③,
将①②代入③可得 ，
解得 ,则 ,
所以 ,
故
(2)由(1)得 ，设 前 项和为 ，
则 ,
所以 ,
由于从第 4 项起,每一项 都大于 0,即 在 之后开始递增,
所以前 3 项和最小, 最小值为 -17 .
16. ;
(2) ;
(3)表面积为 ，体积为 .
(1)四棱锥 的底面为正方形，取 中点 ，连接 ，过 作 Oy//AD,
则 ,由 ,得 ,由平面 平面 ,
平面 ,得 平面 ,则直线 两两垂直,
以点 为原点,直线 分别为 轴建立空间直角坐标系,
则 ,
,设平面 的一个法向量 ,
则 ,令 ,得 ,
而平面 的一个法向量 ,
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,
所以平面 与平面 的夹角的正切值为 .
(2)由(1)得 ， ，平面 的一个法向量 ， 令 ,
则 ,设 与平面 所成的角为 ,
因此
所以 与平面 所成角的正弦值的范围是 .
(3)设四棱锥 的外接球球心为 ，则球半径 ，
因此 ,
解得 ,
所以四棱锥 的外接球表面积为 ，
体积为 .
17.
(2)
(1)由 可得 ，即 ，
故 ,则
,
由正弦定理可得 ,
由 可得
,
由于 为 边上靠近点 的三等分点, ,故 ,
平方可得 ,
故 ,
由余弦定理可得 ,故 ,
则 ,
将 代入上式可得 ,
由于该关于 的一元二次方程有解,故 ,故 ,
由于 ，当且仅当 取到等号.
故三角形面积的最大值为 ,
(2) ，当且仅当 时取到等号，
又 ,故 ,故 ,
因此 ,
综上可得
18. (1)
(2) (i) ; (ii) .
(1) 由题抛物线 的焦点 ,可设直线 ,
联立 ,设 ,
所以 ,
则 ,
所以 ,
所以当 时有 ,则由题意 ,
所以 的标准方程为 .
(2)(i)由(1) ，则可设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ， 且 , 联立 得 ,
所以 ,故 ,同理 ,
联立 ,则 ,故 ,故 ,
而 ,
故 ,
故 ,
而 ,当且仅当 时等号成立,
故 的最小值为 .
(ii) 由抛物线的对称性,不妨设 ,则 。
由 (i) 可得 ,故
而 ,故 ,
而 ,故 ,故 ,
故 ,
设 ,则 即 ,当且仅当 时等号成立,
又 ，
由双勾函数的单调性可得 在 上为减函数,故 ,
故 ,故 ,故 .
19.(1) 由 可得 ,
由 可得 ,解得 ,
所以 为 “缺陷偶函数”,且偶点唯一,且为 0 ,
(2)由 可得 对任意 ,恒成立,
所以存在常数 ,使得 ,
令 ,则 ,且 ,
解得 ,
① ，则 ，
由于 是 “缺陷偶函数”,由 ,
即 ,即 ,
则 ,得 ,
由于 ,所以 有两个不相等的实数根 ,不妨设 ,
当 或 时, 单调递增,
当 时, 单调递减,
所以 有两个极值点 .
②若 ，即 ，则 ，故 ，
当 时,要证 ,只需要证 ,
因为 ,故 ,
只需证 ,
令 ,
当 单调递减,当 单调递增,
故 ,
所以 ,从而 ,故 ,
即 时, .
【点睛】方法点睛: 利用导数证明不等式的基本步骤:
(1)作差或变形;
(2)构造新的函数 ；
(3)利用导数研究 的单调性或最值;
(4)根据单调性及最值, 得到所证不等式.
特别地:当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题.