广东省佛山市南海区2026届3月高三统一测试数学试题（含答案）

2026 届高三供题训练 (C2) 数学
满分 150 分. 考试用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必填写答题卡上的有关项目.
2. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4. 考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 复数 的虚部是( )
A. 1 B. -1 C. D.
3. 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设甲: 为等腰三角形， : ,则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4. 若 ，则 ( )
A. 40 B. 41
C. -40 D. -41
5. 已知角 的顶点与原点重合,始边与 轴的非负半轴重合,终边与单位圆交点的横坐标为 ，则 ( )
A. B. C. D.
6. 设 为抛物线 的焦点,点 在 上,且在第一象限,若 ,则直线 的倾斜角为( )
A. B. C. D.
7. 甲和乙进行一个游戏:初始时每人各持有 2 枚徽章. 根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子,出现奇数点则甲胜,出现偶数点则乙胜,胜负概率均为 . 输的一方需将自己的 1 枚徽章交给赢的一方. 游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止, 且各局结果相互独立. 则游戏恰好进行 4 局终止且甲拥有全部徽章的概率为( )
A. B. C. D.
8. 定义: 双曲正弦函数 ,双曲余弦函数 ,双曲正切函数 ,则 ( )
A. 函数 是偶函数
B. 函数 在 上单调递减
C.
D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有错选的得 0 分.
9. 已知正方体 的棱长为 2, 为 的中点， 为 上的动点，则下列说法正确的是( )
A. B. 平面
C. 直线 与平面 所成角的正切值为 D. 三棱锥 的体积为定值
10. 设 是双曲线 的左、右焦点,过右焦点 的直线 交 的右支于 , 两点,则下列说法正确的是 ( )
A. 双曲线 的两条渐近线夹角为 B. 的最小值为
C. 当 时, 的面积为 1 D. 的周长最小值为
11. 已知数列 的每一项都是整数. 当 为奇数时,有 ; 当 为偶数时, 有 . 记 为数列 的前 项和,若 ,则()
A. 数列 为递增数列 B. 的最小值为 32
C. 若 ,则 的最小值为 2649 D. 若 ,则 的最大值为 86
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 是空间中三个两两垂直的单位向量,则 _____.
13. 记 为等比数列 的前 项和,若 成等差数列,则等比数列 的公比为_____.
14. 函数 在区间 上存在零点，则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知函数 ，且 恒成立. (1)求 的解析式;
(2)记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， 的面积为 ，求 .
16. 如图， 和 所在平面垂直，且 ， .
(1)证明: ；
(2)求平面 和平面 的夹角的余弦值.
17. 现有 8 张大小质地完全相同的卡片, 其中 4 张是红色, 4 张是蓝色. 从中随机摸出 3 张卡片放入一个不透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为 ，然后进行如下操作:从袋子中随机摸出一张卡片 (每张卡片被摸到的概率相等), 观察其颜色后, 将该卡片放在袋外, 再从袋外取一张另一种颜色的卡片放入袋中(即若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片；若摸出蓝色卡片,则放回红色卡片),袋子中始终保持 3 张卡片. 记经过 次这样的操作后,袋子中红色卡片的张数为 .
(1) 求 ；
(2)当 时，求随机变量 的分布列和数学期望；
(3)求随机变量 的数学期望.
18. 已知函数 ,其中 为正实数.
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时， .
(i) 求 的取值范围;
(ii) 当 取最小值时,若 为正实数,且 ,证明: .
19. 设椭圆 的上焦点为 ,过 且斜率为 的直线 与该椭圆交于 两点. 当 与 轴垂直时,有 ,其中 为坐标原点.
(1)求该椭圆的离心率；
(2)设点 ，且满足:对任意的斜率 ，都有 .
(i) 证明: ;
(ii) 定义: 若无穷数列 是公比为 的等比递减数列,则其所有项之和为 ,其中 为数列 的首项. 记 的面积为 ,求数列 的所有项和
的最小值 (结果用 或 表示).
1. B
由题可得集合 , 所以 .
2. C
因为 ,
所以复数 的虚部是 .
3. B
因为 ,所以 ,所以 为等腰三角形,
所以 为等腰三角形是 的必要条件；
由 为等腰三角形，可得 或 或 ，
所以 为等腰三角形是 的不充分条件；
所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.
4. C
令 ,则 ①,令 ,则
②,
得到 .
故选: C.
5. D
所以 ,
所以 .
6. B
由 得 .
设 ,则 ,得 ,
又 且点 在第一象限,因此 ,即 .
设直线 的倾斜角为 ,
,得 .
7. A
根据题意知恰好进行 4 局终止且甲拥有全部徽章,
则第 3 ，4 局必有甲胜，乙负，且前 2 局中，甲胜一局乙胜一局，
所以所求概率为 .
8. C
设 ,
对于 ,由题意得 ,
则 ,所以 是奇函数,
即 是奇函数,故 A 错误;
对于 ,由题意得 ,所以 在 上单调递增,
即函数 在 上单调递增,故 错误;
对于 ,所以 是奇函数,
,所以 是偶函数,
所以 ,
所以原不等式为 ,即 ,
由题意得 恒成立,所以 在 上单调递增,
所以 ,
且有 ,
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增,
故 ,原不等式得证,故 正确.
对于 ,
所以原不等式为 ,
由上得 单调递增,
且有当 时, 单调递增,所以 ,
所以 ,与原不等式矛盾,故 错误.
9. AD
对于 : 以 为原点,分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系,
则 ,
由题意得 ,设 ,
向量 ,
故 , 正确;
对于 : 平面 即平面 ,直线 过平面内一点 且 不在平面内,直线 与平面相交, 不平行, B 错误;
对于 : 因为 平面 ,则 为 在平面 上的射影,
所以 即直线 与平面 所成角,在 中, ( 是中点), ,故 错误;
对于
因为 平面 平面 ,故 平面 ,
上所有点到平面 的距离恒为正方体棱长 2 (定值),
因此 为定值,而 , D 正确.
10. ACD
对于 : 双曲线 的渐近线方程为 ,一条渐近线的倾斜角为 , 由对称性可知,两条渐近线的夹角为 正确;
对于 : 由双曲线的定义可得 ,
所以 ,
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，B 错误；
对于 ,故 ,即 在以 为直径的圆 上,
由 ,解得 ,所以 ,
所以 正确;
对于 : 由双曲线定义可得 ,
所以周长 ,
当 轴时， 最小，将 代入双曲线方程，得 ，故 ，
所以 正确.
11.
当 为奇数时,有 ,即 ; 当 为偶数时,有 ,即 .
所以若 ,则
当 为奇数时, ;
当 为偶数时, .
所以数列 为递增数列,所以 正确.
由题可知, ,
所以 ,
所以 的最小值为 . 所以 正确.
由 项分析知,当 为奇数时, ;
当 为偶数时, .
所以 ,
......
.
累加得,
,
所以 . 所以 正确.
若 ,
结合 分析得,当 为奇数时,
,
所以
即 .
,所以 不正确.
12.
由题可知, ,
所以 .
13.
设公比为 ,由题意得 ,
即 ,
所以 ,故 ,又 ,
解得 .
14.
设 为 在 上的零点,则 ,即点 在直线 上, 又 为点 到原点的距离的平方,原点到直线 的距离为 ,
因此 ,即 的最小值即为 在 上能成立,
令函数 ,求导得 ,
函数 在 上单调递增,则 ,
所以 的最小值为 .
15. (1)
(2)
(1) 由 ,得 ,而 ,则 , 由 恒成立,得 ,即 , 因此 ,解得 ,而 ,则 , 所以 的解析式为 .
(2)由(1)得， ，而 ，解得 ，
由 ,解得 ,
由余弦定理得 ,
由正弦定理 ,得 .
16.
(1)过 在平面 内作 ，过 在平面 内作 ，
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,而 平面 ,所以 ,
于是 , 两两垂直，如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
所以 .
因为 ,所以 ;
(2)由(1)知 ，而平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ,则 ,
取 ,可得 ,所以 .
因为 . 所以平面 和平面 的夹角的余弦值为 .
17.
(1) 依题意, .
(2)当 时，若摸出红色卡片，则 的值为 1，若摸出蓝色卡片，则 的值为 3， 所以 ,
所以 的分布列为
1 3
2 1 3
数学期望为 .
(3) 的取值为0,1,2,3.
的取值为0,1,2,3.
所以随机变量 的数学期望为 .
18.
(1) 当 时, .
所以 ,又 .
所以所求的切线方程为 ,即 .
(2) (i) ,
因为 ,设二次函数 的判别式为 ,
① 当 ,即 时, ,所以 在 单调递增,
所以 ,所以 .
② ，即 时，设 的两个根为 ， ，且 ，
由韦达定理,可得 ,即 ,所以 ,
所以 在 单调递减,在 单调递增.
所以当 时,有 ,与 不符合,舍去.
综上所述， 的取值范围为 .
(ii) 由 (i) 得, 的最小值为 在 单调递增,
且 ,即
因为 为正实数,且 ,所以 .
不妨设 ,则 ,所以 .
又 ，所以 ，即 .
所以 ,所以 .
所以 ,即 .
19.
(1)由 可得 . 设 ,当 与 轴垂直时, 有 ,所以 .
即 ,即 .
即 ,化简得 ,因为 ,所以 .
(2)(i)由(1)可知， ，故 ，即 .
,椭圆方程为 ,
设直线 的方程为 .
联立 ,消去 可得 ,
所以 .
由 可知 .
则 ,即 ,即
代入韦达定理,可得 ,于是 , 因为该式子对任意的斜率 都成立,所以 ,
所以数列 是公比为 2 的等比数列.
因为 ,所以 ,
于是
(ii) .
所以 ,所以 是以 为首项, 为公比的等比数列.
所以 的所有项和 .
设 ,则 .
当且仅当 ,即 的时候等号成立.
所以数列 的所有项和 的最小值为 .