广东江门市广德实验学校等2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东江门市广德实验学校等2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 330.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-25 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
高三数学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容: 高考全部内容.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量 ，且 ，则 ()
A. -3 B. C. -2 D. 2
2. 设集合 ，则 的元素个数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 若 ，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
4. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 为 上一点， ，且 ，则 的离心率为( )
A. B. C. D.
5. 某元宇宙平台举办“星际文明探索”虚拟文化节，参与者通过完成“星球解谜”“文明共建”“跨服协作”等任务获得互动积分(单位:分). 为筛选“核心探索者”(享受专属虚拟道具与后续活动优先资格)，平台将所有参与者积分的第 80 百分位数定为核心资格门槛线. 活动结束后,平台从 10 万参与者中随机抽取 100 人的积分数据,将所得数据按照 , 本估计总体参与者的积分分布，可知此次“核心探索者”的核心资格门槛线约为( )
A. 84 分 B. 85 分 C. 86 分 D. 82 分
6. 已知数列 满足 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 对任意的 ， 恒成立， ，则 ( )
A. B.
C. 为偶函数 D. 为奇函数
8. 在高为 5 的正三棱台 中， 分别为侧棱 ， 的中点,记平面 、平面 、平面 交于点 ,则三棱台 与三棱锥 的体积之差为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 设复数 ，则()
A. B. 的虚部是 -3
C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第一象限
10. 已知函数 ,则( )
A. 当 的最小正周期为 时，
B. 当 在 上单调时,
C. 当 在 上恰有两个零点时,
D. 当 时, 在 上的值域为
11. 若 ,则( )
A. 当 时, B. 当 时,
C. 当 时, D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若 ，则 _____.
13. 已知圆 的半径为 5,且圆心 与抛物线 的焦点关于 的准线对称,直线 与 相交于 两点，则 _____.
14. 如图，下列有 5 个圆，每个圆内的上、下、左、右、中五个方位均有 1 个数字，现从这 5 个圆中各选一个方位, 并记下该方位圆内的数字, 要求所得 5 个数字来自不同的方位 (例) 如第 1 个圆选了左方位上的数字，后面 4 个圆均不能在左方位上选数字)，且这 5 个数字之积为 0 ，然后将这 5 个数字排成一个 5 位数，则共有_____种情况(在排 5 位数的过程中， 若数字相同，但来自不同的圆，也视为不同的情况).
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 在 中，角 所对的边分别为 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 面积的最大值.
16. 如图，在三棱锥 中， ， ， ， ， 分别是 的中点， 为 上靠近点 的四等分点， 为 上靠近点 的四等分点.
(1)证明: 四点共面.
(2)证明:平面 平面 .
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. 学校编程社团组织“代码调试挑战”，成员连续完成两段独立的基础代码调试记为完成一次挑战,且两段代码均调试成功才算一次挑战成功. 已知成员 在每次挑战中调试第一段代码成功的概率为 . 若第一段代码调试成功,成员 信心提升,则调试第二段代码成功的概率为 ; 若第一段代码调试未成功,成员 会更谨慎,则调试第二段代码成功的概率为 .
(1)求成员 在一次挑战中调试第二段代码成功的概率.
(2)该社团组织规定每个成员每次挑战成功可获 100 元奖励，每次挑战只调试成功两段代码中的一段可获 50 元奖励. 若成员 进行 2 次“代码调试挑战”，每次挑战成功与否相互独立， 设成员 获得的奖励总金额为随机变量 ，求 的数学期望 .
18. 已知双曲线 上的点与坐标原点 之间距离的最小值为 2,点 在 上,且 .
(1)求 的标准方程.
(2)过点 的直线 交 于异于顶点的 ， 两点，且 ， ，设 的左、右顶点分别为 ,直线 与 交于点 .
(i) 证明: 点 在定直线上.
(ii) 证明: .
19. 已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程.
(2)当 时,记 为数列 的前 项和,证明: .
(3)当 时,函数 有两个零点 . 证明:
1. C
依题意可知 ,解得 .
2. B
由题可得: ,所以 的元素个数为 3 .
3. A
由 ,函数 单调递增,当 时, ,
当 时, ,故 .
要使 恒成立,则 ,即 .
故选: A
4. B
由椭圆的定义知 ,则 .
设焦距为 ,
由题可知, ,即 ,解得 .
所以椭圆 的离心率为 .
5. A
此次“核心探索者”的核心资格门槛线约为 ,
因为样本中积分数据在 的频率为 0.05 ,
样本中积分数据在 的频率为 ,
所以样本数据的第 80 百分位数在区间 内,
所以 ,解得 .
6. D
依题意, ,
令 ,得 ,
,
所以
,
当 时上式也符合,所以 ,则 ,
所以 .
7. D
B: 令 ,则 ,所以 ,故 错误. A: 令 ,则 ,即 ,所以 , 故 A 错误.
C: 令 ,则 ,即 ,
所以 ,显然 ,所以 不是偶函数,故 错误.
D: 令 ,则
,
所以 为奇函数,故 正确.
8. C
因为 ,则 , 设 的重心分别为 ，
可知 为正三棱台 的高,即 ,
则三棱台 的体积 .
取 的中点 ,过点 与 平行的直线与 交于点 ,
以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示:
则 ,
可得 ,
因为 分别为侧棱 的中点,则
可得 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,可得 ;
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,可得 ;
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,可得 ;
设 ,则 ,
由题意可得: ,解得 ,
即 ,则三棱锥 的体积 ;
所以三棱台 与三棱锥 的体积之差为 .
9.
.
因为 ,所以 ,所以 正确;
的虚部为 1,所以 错误;
因为 ,所以 正确;
在复平面内对应的点为 ,位于第二象限,所以 错误.
故选:AC.
10. BCD
易知函数
A,当 的最小正周期为 时,可知 ,解得 ,即 错误;
B,当 时,可知 ,
若 在 上单调,则需满足 ，解得 ， 正确；
C,结合 中分析可知当 在 上恰有两个零点时,需满足 ,解得 ,即 C 正确;
D,当 时可知 ,若 ,则 , 所以 ,可知 在 上的值域为 ,即 正确.
11. ACD
对 : 由 且 ,则 可化为 ,
令 ,则有 ,
令 ,则 ,
则当 时, ,当 时, ,
故 在 上单调递增,在 上单调递减,
则 时, ,
即 恒成立,故 在 上单调递增,
令 ,则 ,
则当 时, ,当 时, ,
故 在 上单调递增,在 上单调递减,
则当 时, ,即 ,
则当 时, ,当 时, ,
由 ,则 ,又 ,则 ,故 ,
又因为 在 上单调递增,故 ,故 A 正确;
对 若 ,则 ,
故当 时， 可为 0 ，故 B 错误；
对 : 由 知,当 时, ,且 ,
则 ,
令 ,
则 ,
故 在 上单调递增,即有 ,
即 ,故 正确;
对 D: 要使得 ,只需 ,
即 ,取 ,
假设 ,由 知, ,且 ,
则只需使得 ,
令 ,
,则 在 上单调递减,
又 ,
故存在 ,使得 ,
即 ,使得 ,故 正确.
12.
由 ,所以 ,所以 .
13. 6
由抛物线 ,可得焦点坐标 ,准线方程: ,
易知点 关于 的对称点坐标为 ,
所以圆 的方程为 ,
圆心 到直线 的距离 ,
所以
14. 2304
因为这 5 个数字之积为 0 , 并排成一个 5 位数,
所以第 4 个圆的上方位被选，
则左方位有 种选择,右方位有 种选择,下方位有 种选择,正中位有 种选择,
且 0 不能在万位上,
先排万位有 种,剩下的有 ,
所以共有 种.
15. (1)
(2)
(1)因为 ,
由正弦定理可得 ,
由余弦定理可得 ,即 ,可得 ,
又因为 ,所以 .
(2)因为 ，由余弦定理可得 ，
即 ,可得 ,
又因为 ,即 ,可得 ,
当且仅当 时,等号成立,
所以 面积的最大值为 .
16.(1)因为 分别是 的中点，所以 .
因为 为 上靠近点 的四等分点， 为 上靠近点 的四等分点，
所以 ,所以 ,所以 四点共面.
(2)因为 所以 ,所以 .
因为 平面 ,所以 平面 .
因为 平面 ,所以平面 平面 .
(3)连接 . 因为 ，所以 ，
则由 (2) 得平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ,所以 平面 .
以 为坐标原点,以 所在直线分别为 轴,
以过点 且平行于 的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 .
设平面 的法向量为 ,则
令 ,则 .
易得 为平面 的一个法向量.
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17.
(2)
(1)设事件 为 “第一段代码调试成功”，事件 为 “第二段代码调试成功”， 已知 ，则 ，
则 ,
即 .
(2)挑战成功(两段都成功)的概率 ;
第一段成功、第二段失败 ,
第一段失败、第二段成功 ,
所以只成功一段的概率 ,
两段都失败的概率 ,
设一次挑战的奖励为 ,则 ,
因为两次挑战相互独立,所以 .
18.(1)因为双曲线上的点与坐标原点 之间距离的最小值为 2,所以 ,
因为点 在 上,且 ,
所以 ,解得 ,即 ,
将点 坐标代入双曲线可得 ,解得
所以 的标准方程为 .
(2)(i)证明:由题意，设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
则 ,
又 ,则 ,
所以 ,
联立 ,得 ,
则 ,
所以
所以点 在定直线 上.
(ii) 证明: 设 ,则 ,
所以 ,
因为 在直线 上,所以 ,
因为 为 的根,不妨令 ,
则 ,所以 ,
则 ,
所以 ,
所以
则 ,
所以 ,即
19.(1) 依题意, ,
所以 .
所以曲线 在 处的切线方程为 .
(2)由题意可知 时， ,
所以
.
(3) 当 时, .
令 ,得 ,则 ,
即 ,
令函数 ,则 ,
因为 在 上单调递增,所以 ,即 .
令函数 ,则 ,
令 ,得 ,得 ,
所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ,
依题意可得 有两个零点 ,不妨设 ,则 ,
令函数 ,则 ,
所以 在 上单调递减.
因为 ,所以当 时, ;
当 时, .
所以 ,即 ,
所以由 有两个不相等的正根 ,且 ,
得 ,则 ,
,则 ,即 ,
所以 ,
因为 ,所以 .
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容: 高考全部内容.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量 ，且 ，则 ()
A. -3 B. C. -2 D. 2
2. 设集合 ，则 的元素个数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 若 ，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
4. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 为 上一点， ，且 ，则 的离心率为( )
A. B. C. D.
5. 某元宇宙平台举办“星际文明探索”虚拟文化节，参与者通过完成“星球解谜”“文明共建”“跨服协作”等任务获得互动积分(单位:分). 为筛选“核心探索者”(享受专属虚拟道具与后续活动优先资格)，平台将所有参与者积分的第 80 百分位数定为核心资格门槛线. 活动结束后,平台从 10 万参与者中随机抽取 100 人的积分数据,将所得数据按照 , 本估计总体参与者的积分分布，可知此次“核心探索者”的核心资格门槛线约为( )
A. 84 分 B. 85 分 C. 86 分 D. 82 分
6. 已知数列 满足 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 对任意的 ， 恒成立， ，则 ( )
A. B.
C. 为偶函数 D. 为奇函数
8. 在高为 5 的正三棱台 中， 分别为侧棱 ， 的中点,记平面 、平面 、平面 交于点 ,则三棱台 与三棱锥 的体积之差为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 设复数 ，则()
A. B. 的虚部是 -3
C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第一象限
10. 已知函数 ,则( )
A. 当 的最小正周期为 时，
B. 当 在 上单调时,
C. 当 在 上恰有两个零点时,
D. 当 时, 在 上的值域为
11. 若 ,则( )
A. 当 时, B. 当 时,
C. 当 时, D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若 ，则 _____.
13. 已知圆 的半径为 5,且圆心 与抛物线 的焦点关于 的准线对称,直线 与 相交于 两点，则 _____.
14. 如图，下列有 5 个圆，每个圆内的上、下、左、右、中五个方位均有 1 个数字，现从这 5 个圆中各选一个方位, 并记下该方位圆内的数字, 要求所得 5 个数字来自不同的方位 (例) 如第 1 个圆选了左方位上的数字，后面 4 个圆均不能在左方位上选数字)，且这 5 个数字之积为 0 ，然后将这 5 个数字排成一个 5 位数，则共有_____种情况(在排 5 位数的过程中， 若数字相同，但来自不同的圆，也视为不同的情况).
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 在 中，角 所对的边分别为 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 面积的最大值.
16. 如图，在三棱锥 中， ， ， ， ， 分别是 的中点， 为 上靠近点 的四等分点， 为 上靠近点 的四等分点.
(1)证明: 四点共面.
(2)证明:平面 平面 .
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. 学校编程社团组织“代码调试挑战”，成员连续完成两段独立的基础代码调试记为完成一次挑战,且两段代码均调试成功才算一次挑战成功. 已知成员 在每次挑战中调试第一段代码成功的概率为 . 若第一段代码调试成功,成员 信心提升,则调试第二段代码成功的概率为 ; 若第一段代码调试未成功,成员 会更谨慎,则调试第二段代码成功的概率为 .
(1)求成员 在一次挑战中调试第二段代码成功的概率.
(2)该社团组织规定每个成员每次挑战成功可获 100 元奖励，每次挑战只调试成功两段代码中的一段可获 50 元奖励. 若成员 进行 2 次“代码调试挑战”，每次挑战成功与否相互独立， 设成员 获得的奖励总金额为随机变量 ，求 的数学期望 .
18. 已知双曲线 上的点与坐标原点 之间距离的最小值为 2,点 在 上,且 .
(1)求 的标准方程.
(2)过点 的直线 交 于异于顶点的 ， 两点，且 ， ，设 的左、右顶点分别为 ,直线 与 交于点 .
(i) 证明: 点 在定直线上.
(ii) 证明: .
19. 已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程.
(2)当 时,记 为数列 的前 项和,证明: .
(3)当 时,函数 有两个零点 . 证明:
1. C
依题意可知 ,解得 .
2. B
由题可得: ,所以 的元素个数为 3 .
3. A
由 ,函数 单调递增,当 时, ,
当 时, ,故 .
要使 恒成立,则 ,即 .
故选: A
4. B
由椭圆的定义知 ,则 .
设焦距为 ,
由题可知, ,即 ,解得 .
所以椭圆 的离心率为 .
5. A
此次“核心探索者”的核心资格门槛线约为 ,
因为样本中积分数据在 的频率为 0.05 ,
样本中积分数据在 的频率为 ,
所以样本数据的第 80 百分位数在区间 内,
所以 ,解得 .
6. D
依题意, ,
令 ,得 ,
,
所以
,
当 时上式也符合,所以 ,则 ,
所以 .
7. D
B: 令 ,则 ,所以 ,故 错误. A: 令 ,则 ,即 ,所以 , 故 A 错误.
C: 令 ,则 ,即 ,
所以 ,显然 ,所以 不是偶函数,故 错误.
D: 令 ,则
,
所以 为奇函数,故 正确.
8. C
因为 ,则 , 设 的重心分别为 ，
可知 为正三棱台 的高,即 ,
则三棱台 的体积 .
取 的中点 ,过点 与 平行的直线与 交于点 ,
以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示:
则 ,
可得 ,
因为 分别为侧棱 的中点,则
可得 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,可得 ;
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,可得 ;
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,可得 ;
设 ,则 ,
由题意可得: ,解得 ,
即 ,则三棱锥 的体积 ;
所以三棱台 与三棱锥 的体积之差为 .
9.
.
因为 ,所以 ,所以 正确;
的虚部为 1,所以 错误;
因为 ,所以 正确;
在复平面内对应的点为 ,位于第二象限,所以 错误.
故选:AC.
10. BCD
易知函数
A,当 的最小正周期为 时,可知 ,解得 ,即 错误;
B,当 时,可知 ,
若 在 上单调,则需满足 ，解得 ， 正确；
C,结合 中分析可知当 在 上恰有两个零点时,需满足 ,解得 ,即 C 正确;
D,当 时可知 ,若 ,则 , 所以 ,可知 在 上的值域为 ,即 正确.
11. ACD
对 : 由 且 ,则 可化为 ,
令 ,则有 ,
令 ,则 ,
则当 时, ,当 时, ,
故 在 上单调递增,在 上单调递减,
则 时, ,
即 恒成立,故 在 上单调递增,
令 ,则 ,
则当 时, ,当 时, ,
故 在 上单调递增,在 上单调递减,
则当 时, ,即 ,
则当 时, ,当 时, ,
由 ,则 ,又 ,则 ,故 ,
又因为 在 上单调递增,故 ,故 A 正确;
对 若 ,则 ,
故当 时， 可为 0 ，故 B 错误；
对 : 由 知,当 时, ,且 ,
则 ,
令 ,
则 ,
故 在 上单调递增,即有 ,
即 ,故 正确;
对 D: 要使得 ,只需 ,
即 ,取 ,
假设 ,由 知, ,且 ,
则只需使得 ,
令 ,
,则 在 上单调递减,
又 ,
故存在 ,使得 ,
即 ,使得 ,故 正确.
12.
由 ,所以 ,所以 .
13. 6
由抛物线 ,可得焦点坐标 ,准线方程: ,
易知点 关于 的对称点坐标为 ,
所以圆 的方程为 ,
圆心 到直线 的距离 ,
所以
14. 2304
因为这 5 个数字之积为 0 , 并排成一个 5 位数,
所以第 4 个圆的上方位被选，
则左方位有 种选择,右方位有 种选择,下方位有 种选择,正中位有 种选择,
且 0 不能在万位上,
先排万位有 种,剩下的有 ,
所以共有 种.
15. (1)
(2)
(1)因为 ,
由正弦定理可得 ,
由余弦定理可得 ,即 ,可得 ,
又因为 ,所以 .
(2)因为 ，由余弦定理可得 ，
即 ,可得 ,
又因为 ,即 ,可得 ,
当且仅当 时,等号成立,
所以 面积的最大值为 .
16.(1)因为 分别是 的中点，所以 .
因为 为 上靠近点 的四等分点， 为 上靠近点 的四等分点，
所以 ,所以 ,所以 四点共面.
(2)因为 所以 ,所以 .
因为 平面 ,所以 平面 .
因为 平面 ,所以平面 平面 .
(3)连接 . 因为 ，所以 ，
则由 (2) 得平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ,所以 平面 .
以 为坐标原点,以 所在直线分别为 轴,
以过点 且平行于 的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 .
设平面 的法向量为 ,则
令 ,则 .
易得 为平面 的一个法向量.
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17.
(2)
(1)设事件 为 “第一段代码调试成功”，事件 为 “第二段代码调试成功”， 已知 ，则 ，
则 ,
即 .
(2)挑战成功(两段都成功)的概率 ;
第一段成功、第二段失败 ,
第一段失败、第二段成功 ,
所以只成功一段的概率 ,
两段都失败的概率 ,
设一次挑战的奖励为 ,则 ,
因为两次挑战相互独立,所以 .
18.(1)因为双曲线上的点与坐标原点 之间距离的最小值为 2,所以 ,
因为点 在 上,且 ,
所以 ,解得 ,即 ,
将点 坐标代入双曲线可得 ,解得
所以 的标准方程为 .
(2)(i)证明:由题意，设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
则 ,
又 ,则 ,
所以 ,
联立 ,得 ,
则 ,
所以
所以点 在定直线 上.
(ii) 证明: 设 ,则 ,
所以 ,
因为 在直线 上,所以 ,
因为 为 的根,不妨令 ,
则 ,所以 ,
则 ,
所以 ,
所以
则 ,
所以 ,即
19.(1) 依题意, ,
所以 .
所以曲线 在 处的切线方程为 .
(2)由题意可知 时， ,
所以
.
(3) 当 时, .
令 ,得 ,则 ,
即 ,
令函数 ,则 ,
因为 在 上单调递增,所以 ,即 .
令函数 ,则 ,
令 ,得 ,得 ,
所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ,
依题意可得 有两个零点 ,不妨设 ,则 ,
令函数 ,则 ,
所以 在 上单调递减.
因为 ,所以当 时, ;
当 时, .
所以 ,即 ,
所以由 有两个不相等的正根 ,且 ,
得 ,则 ,
,则 ,即 ,
所以 ,
因为 ,所以 .
同课章节目录