思想方法　第1讲　函数与方程思想 学案

　　高考命题中，以知识为载体，以能力立意，以思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值.高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决.高考中常用到的数学思想方法主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等.
第1讲　函数与方程思想
思想概述　函数的思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得以解决.
方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决.
方法一　运用函数相关概念的本质解题
　　在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题.常见问题有求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质.
例1　(1)已知函数f(x)=满足对任意的实数x1，x2且x1≠x2，都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
思路分析　[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0→f(x)为减函数→每一段都单调递减→x=1左侧的函数值不小于右侧的函数值.
答案　C
解析　对任意的实数x1，x2且x1≠x2，
都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0，
即<0恒成立，
可得函数图象上任意两点连线的斜率小于0，即函数f(x)是减函数，可得
解得≤a<.
批注　在函数的第一段中，虽然没有x=1，但当x=1时，本段函数有意义，故可求出其对应的“函数值”，且这个值是本段的“最小值”，为了保证函数是减函数，这个“最小值”应不小于第二段的最大值，即f(1)，这是解题的一个易忽视点.
(2)对于函数f(x)(x∈D)，若存在常数T(T>0)，使得对任意的x∈D，都有f(x+T)≤f(x)成立，我们称函数f(x)为“T同比不增函数”.若函数f(x)=kx+cos x是“同比不增函数”，则实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
思路分析　f(x)为“同比不增函数”→f≤f(x)恒成立→分离参数求最值.
答案　B
解析　因为函数f(x)=kx+cos x是“同比不增函数”，
所以f ≤f(x)，
即k+cos≤kx+cos x，
故≤cos x-cos
=cos x-
=sin x+cos x=sin恒成立，
又因为sin=-1，
因此≤-1，故k≤-，即实数k的取值范围为.
批注　本题关键是理解“T同比不增函数”的含义，对于恒成立问题，一般是分离参数，转化成求函数的最值问题.
[规律方法]　解决本类题目的关键是理解函数相关概念的本质，也可以结合函数图象加以理解，严格按定义推导即可.
方法二　利用函数性质解不等式、方程问题
　　函数与方程、不等式相互联系，借助函数的性质可以解决方程的解的个数、参数取值范围以及解不等式问题.
例2　(1)已知函数f(x+2)=log3(3x+3-x)，若f(a-1)≥f(2a+1)成立，则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞，-2]
B.
C.(-∞，-2]∪[0，+∞)
D.(-∞，-2]∪
思路分析　解不等式问题→比较两个函数值的大小→判断f(x)的单调性.
答案　B
解析　设g(x)=f(x+2)=log3(3x+3-x)，
则其定义域为R，
因为g(-x)=log3(3-x+3x)=g(x)，
所以g(x)为偶函数，
所以f(x+2)的图象关于直线x=0对称，
所以f(x)的图象关于直线x=2对称.
设y=3x+3-x，
则y'=3xln 3-3-xln 3=(3x-3-x)ln 3，
令y'>0，则3x-3-x>0，得x>0，
所以y=3x+3-x在(0，+∞)上单调递增，
因为函数y=log3x为增函数，
所以g(x)在[0，+∞)上单调递增，
所以f(x)在[2，+∞)上单调递增，
因为f(a-1)≥f(2a+1)，
所以|a-1-2|≥|2a+1-2|，
所以(a-3)2≥(2a-1)2，化简得(a+2)(3a-4)≤0，
解得-2≤a≤.
所以实数a的取值范围为.
批注　本题关键是利用函数的奇偶性及单调性脱掉f列出不等式，然后解不等式.
(2)设x，y为实数，满足(x-1)3+2 025(x-1)=-1，(y-1)3+2 025(y-1)=1，则x+y=　　　　.
思路分析　观察两方程形式特征→借助函数f(t)=t3+2 025t的单调性、奇偶性→f(x-1)=f(1-y)→求出x+y.
答案　2
解析　令f(t)=t3+2 025t，则f(t)为奇函数且在R上是增函数.
由f(x-1)=-1=-f(y-1)=f(1-y)，
可得x-1=1-y，则x+y=2.
批注　本题关键是根据函数的特点构造函数，然后利用函数的单调性求解.
[规律方法]　函数与方程的相互转化：对于方程f(x)=0，可利用函数y=f(x)的图象和性质求解问题.
方法三　构造函数解决数学问题
　　在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简、化难为易的效果.
例3　已知ε>0，x，y∈，且ex+εsin y=eysin x，则下列关系式恒成立的为(　　)
A.cos x≤cos y B.cos x≥cos y
C.sin x≤sin y D.sin x≥sin y
思路分析　ex+εsin y=eysin x→=→由ex+ε>ex放缩等式→与的关系→构造f(x)=，x∈→利用函数的性质求解.
答案　A
解析　构造f(x)=，x∈，
则f'(x)=，
当x∈时，cos x>sin x，
f'(x)=>0，
所以f(x)=在上单调递增，
因为ex>0，ey>0，
当=>0，eε>1时，
则sin x>sin y>0，所以>>0，
所以0又y=cos x在上单调递减，
所以cos x当=<0，eε>1时，
则sin x所以-当x=y=0时，满足ex+εsin y=eysin x，
此时cos x=cos y.
综上所述，cos x≤cos y.
批注　本题注意到ε>0，主要是先由>ex放缩，然后根据题目结构再构造函数，利用函数的性质求解.
[规律方法]　在构造函数求解数学问题的过程中，要确定合适的变量，揭示函数关系使问题明晰化.
专题强化练
[分值：73分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2025·石家庄模拟)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A.y=f(|x|) B.y=f(x2)
C.y=x·f(x) D.y=f(x)+x
答案　D
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(-x)=-f(x)，
又因为f(|-x|)=f(|x|)，所以y=f(|x|)是偶函数，A不符合题意；
令F(x)=f(x2)，则F(-x)=f(x2)=F(x)，所以F(x)是偶函数，B不符合题意；
令M(x)=x·f(x)，则M(-x)=(-x)·f(-x)=x·f(x)=M(x)，所以M(x)是偶函数，C不符合题意；
令N(x)=f(x)+x，则N(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-[f(x)+x]=-N(x)，所以N(x)是奇函数，D符合题意.
2.(2025·北京海淀区模拟)已知f(x)=ln，b∈R，则“b=-1”是“f(x)是奇函数”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　当b=-1时，f(x)=ln，
定义域为(-1，1)，关于原点对称，
且f(-x)=ln=-ln=-f(x)，因此f(x)是奇函数，充分性成立.
如果f(x)是奇函数，则f(x)的定义域必须关于原点对称，因此b=-1，必要性成立，
所以“b=-1”是“f(x)是奇函数”的充要条件.
3.(2025·上海模拟)定义在R上的函数f(x)为奇函数，其导数为f'(x)，且当x∈(-∞，0]时，f'(x)<1，则不等式f(x)-f(2 026)≥x-2 026的解集是(　　)
A.(2 026，+∞) B.[2 026，+∞)
C.(-∞，2 026] D.(-∞，2 026)
答案　C
解析　令g(x)=f(x)-x，当x∈(-∞，0]时，g'(x)=f'(x)-1<0，
所以g(x)在(-∞，0]上单调递减，又因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，y=x为定义在R上的奇函数，所以g(x)为定义在R上的奇函数，
则g(x)在(0，+∞)上单调递减，即函数g(x)在R上单调递减，
所以由f(x)-f(2 026)≥x-2 026，可得f(x)-x≥f(2 026)-2 026，
即g(x)≥g(2 026)，所以x≤2 026.
4.(2025·贵阳模拟)已知定义在上的函数f(x)=x3+tan x+3，则不等式f(x-1)+f>6的解集是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　设g(x)=f(x)-3=x3+tan x，x∈，则g(-x)=-g(x)，所以g(x)=f(x)-3为奇函数.
易知y=x3，y=tan x在区间上单调递增，
所以g(x)在区间上单调递增.
因为不等式f(x-1)+f>6，
可得f(x-1)-3+f-3>0，
所以g(x-1)+g>0，
所以g(x-1)>-g=g.
因为函数f(x)的定义域为，
所以x-1∈，且∈，
所以x∈，
又函数g(x)在区间上单调递增，
所以由g(x-1)>g得，x-1>-，
解得x>，综上，5.(2025·曲靖模拟)已知x1是函数f(x)=xln x-2 025的零点，x2是函数g(x)=ln x+x-ln 2 025的零点，则x1x2的值为(　　)
A. B. C. D.2 025
答案　D
解析　由题意可得
可得x2+ln x2=ln(x1ln x1)=ln x1+ln(ln x1)，
因为函数y=x+ln x在(0，+∞)上单调递增，
所以x2=ln x1，则x1x2=x1ln x1=2 025.
6.(2025·昭通模拟)已知函数f(x)=(-x3+ax2-x+a)log2(x+2b)，若f(x)≤0，则a，b满足的关系式为(　　)
A.a-2b=1 B.a+2b=1
C.a=2b D.a=-2b
答案　B
解析　f(x)=(-x3+ax2-x+a)log2(x+2b)=[x2(a-x)+(a-x)]log2(x+2b)
=(x2+1)(-x+a)log2(x+2b)，又x2+1>0，
所以f(x)≤0等价于(-x+a)log2(x+2b)≤0，
又y=log2(x+2b)在定义域(-2b，+∞)上单调递增，且零点为1-2b，
y=-x+a在定义域上单调递减，且零点为a，
所以函数y=log2(x+2b)与函数y=-x+a的零点重合，
则a=1-2b，即a+2b=1.
7.(2025·天津模拟)已知f(x)=x-+a，g(x)=x3-3x+1，若 x1∈[1，2]， x2∈[0，2]，使f(x1)=g(x2)成立，则实数a的取值范围为(　　)
A.[-1，1] B.
C. D.
答案　D
解析　由题意可知，函数f(x)在[1，2]上的值域是函数g(x)在[0，2]上的值域的子集，
而函数f(x)=x-+a在[1，2]上单调递增，所以函数f(x)的值域为，
又函数g(x)的导函数为g'(x)=3x2-3，
当x∈[0，1)时，g'(x)<0，所以函数g(x)在区间[0，1)上单调递减，
当x∈(1，2]时，g'(x)>0，所以函数g(x)在区间(1，2]上单调递增，
所以函数g(x)在区间[0，2]上的最小值为g(1)=-1，
而g(0)=1，g(2)=3，
所以函数g(x)在区间[0，2]上的值域为[-1，3]，
所以 -1≤a≤，
即实数a的取值范围为.
8.(2025·天津模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2时，>0恒成立，f(3)=-6，则不等式f(x)+2x>0的解集为(　　)
A.(-3，0)∪(3，+∞) B.(-∞，-3)∪(3，+∞)
C.(-3，0)∪(0，3) D.(-∞，-3)∪(0，3)
答案　A
解析　构造函数g(x)=，x≠0，
则g(-x)===g(x)，
故函数g(x)为偶函数，
当x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2时，
>0恒成立，
不妨设x1则=-<0，
即g(x1)故函数g(x)在(0，+∞)上单调递增，在(-∞，0)上单调递减，
因为f(3)=-6，则g(3)=g(-3)==-2，
当x>0时，由f(x)+2x>0，得>-2，即g(x)>g(3)，解得x>3；
当x<0时，由f(x)+2x>0，得<-2，即g(x)当x=0时，易知f(x)+2x=0.
综上所述，不等式f(x)+2x>0的解集为(-3，0)∪(3，+∞).
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·长沙模拟)已知函数f(x)=e2|x|+cos 2x(x∈R)，则下列判断正确的是(　　)
A.函数f(x)的图象关于y轴对称
B.函数f(x)的最小值为2，无最大值
C.函数f(x)在(-π，π)上单调递增
D.不等式f(x-1)答案　ABD
解析　由题意得f(x)的定义域关于原点对称，f(-x)=e2|-x|+cos(-2x)=e2|x|+cos 2x，即f(-x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，即函数f(x)的图象关于y轴对称，故A正确；
当x≥0时，f(x)=e2x+cos 2x，f'(x)=2e2x-2sin 2x>0，所以f(x)在[0，+∞)上单调递增，因为f(0)=2，且f(x)是偶函数，所以函数f(x)的最小值为2，无最大值，故B正确；
由A，B选项可知，f(x)在(-π，0]上单调递减，在(0，π)上单调递增，故C错误；
不等式f(x-1)，故D正确.
10.(2025·淄博检测)定义在(0，+∞)上的函数f(x)，其导函数为f'(x)，且满足f'(x)>f(x)>0，若0A.f(x2)>f(2-x1)
B.x1f(x2)C.ln f(x1)-ln f(x2)D.2f(2)>3f
答案　ACD
解析　A选项，因为0则x1+x2>2=2，即x2>2-x1>1，
因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x2)>f(2-x1)，A正确；
B选项，设f(x)=e2x，f'(x)=2e2x>f(x)>0，
当x1=，x2=2时，x1f(x2)=f(2)=e4>2e=2f =x2f(x1)，B错误；
C选项，令g(x)=(x>0)，
则g'(x)=>0，
可知g(x)在(0，+∞)上单调递增，
因为0即<，
又因为f(x)>0，则0<<=，
可得ln所以ln f(x1)-ln f(x2)D选项，由C可知<，
则f(x2)>f(x1)，
令h(x)=ex-x-1，h'(x)=ex-1，
当x>0时，h'(x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)>h(0)=e0-0-1=0，所以当x>0时，ex>x+1，
所以f(x2)>f(x1)=f(x1)>(x2-x1+1)f(x1)>(2-x1)f(x1)，
所以f(x2)>(2-x1)f(x1)，
当x1=，x2=2时，f(2)>f ，2f(2)>3f ，D正确.
11.(2025·济南模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e-x(x-1)，则(　　)
A.当x<0时，f(x)=ex(x+1)
B.函数f(x)有2个零点
C.函数f(x)在点(-1，0)处的切线方程为x-ey+1=0
D. x1，x2∈R，都有|f(x1)-f(x2)|<2
答案　ACD
解析　对于A，当x<0时，则-x>0，f(-x)=ex(-x-1)，
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-[ex(-x-1)]=ex(x+1)，故A正确；
对于B，当x>0时，
令f(x)=e-x(x-1)=0，解得x=1，
由f(x)是定义在R上的奇函数，
所以当x=-1时，f(x)=0，又f(0)=0，故函数f(x)有3个零点，故B错误；
对于C，当x<0时，f(x)=ex(x+1)，
f'(x)=ex(x+2)，所以f'(-1)=，
故所求切线方程为y-0=(x+1)，即x-ey+1=0，故C正确；
对于D，当x<0时，f(x)=ex(x+1)，f'(x)=ex(x+2)，
当-20，所以函数f(x)在(-2，0)上单调递增，
当x<-2时，f'(x)<0，所以函数f(x)在(-∞，-2)上单调递减，f(x)min=f(-2)=-e-2，
且当x→-∞时，f(x)→0，
当x→0-时，f(x)→1，所以f(x)的值域为[-e-2，1)，
由f(x)是定义在R上的奇函数，故当x>0时，f(x)的值域为(-1，e-2]，因此 x1，x2∈R，都有|f(x1)-f(x2)|<2，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.已知f(x)是定义在R上的函数，若f(x)-x2是奇函数，f(x)-2x是偶函数，则f(1)的值为　　　　.
答案　
解析　由于函数y=f(x)-x2是奇函数，函数y=f(x)-2x为偶函数，
所以
化简得解得f(1)=.
13.(2025·南京模拟)已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))-1的所有零点构成的集合为　　　　.
答案　{-1，1，4}
解析　因为函数f(x)=
所以f(f(x))-1=0等价于
或
解得f(x)=0或f(x)=2，
即或或或
解得x=-1或x=1或x=4.
14.已知f(x)，g(x)(g(x)≠0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0，且f(-2)=0，则不等式>0的解集为　　　　　.
答案　(-∞，-2)∪(0，2)
解析　∵f(x)和g(x)(g(x)≠0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x).
∵当x<0时，f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0，
∴'=<0，
令h(x)=，则h(x)在(-∞，0)上单调递减，
∵h(-x)==-=-h(x)，
∴h(x)为奇函数，
根据奇函数的性质可得，函数h(x)在(0，+∞)上单调递减，
∵f(-2)=-f(2)=0，h(2)=0，
∴h(-2)=-h(2)=0.
h(x)的大致图象如图，由图可知，
h(x)=>0的解集为(-∞，-2)∪(0，2).