思想方法 第2讲 数形结合思想 学案
文档属性
| 名称 | 思想方法 第2讲 数形结合思想 学案 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 365.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-25 00:00:00 | ||
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文档简介
第2讲 数形结合思想
思想概述 数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
方法一 利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题.
例1 (1)已知函数f(x)=函数F(x)=f(x)-b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且满足x1A.(2，+∞) B.
C. D.[2，+∞)
思路分析 函数F(x)=f(x)-b有四个不同的零点→y=f(x)的图象与y=b的图象有四个不同的交点→画出y=f(x)的图象与y=b的图象，结合函数图象，可得x1+x2=-2，x3x4=1，-=-=+ =+→利用单调性求解即可.
答案 B
解析 f(x)=
=
由二次函数的对称性，可得x1+x2=-2，
由x3=-x4 ，可得x3x4=1，
函数F(x)=f(x)-b有四个不同的零点，
等价于y=f(x)的图象与y=b的图象有四个不同的交点，
画出y=f(x)的图象与y=b的图象，如图.
由图可得1∴1∴-=-
=+ =+，
令t=，则t∈，
∴+=+t的取值范围是.
(2)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A.(-∞，0] B.(-∞，1]
C.[-2，1] D.[-2，0]
思路分析 作出函数y=|f(x)|的图象和函数y=ax的图象→结合图象可知直线y=ax介于切线l与x轴之间→利用导数求出直线l的斜率，数形结合即可求解.
答案 D
解析 由题意可作出函数y=|f(x)|的图象和函数y=ax的图象，如图所示.
由图象可知，函数y=ax的图象是过原点的直线，
函数y=|f(x)|在区间(-∞，0]上的解析式为y=x2-2x，
求其导数可得y'=2x-2，当x=0时，y'=-2，
故y=x2-2x在原点处的切线l的斜率为-2，
当直线y=ax介于l与x轴之间时，符合题意，
故直线y=ax的斜率a的取值范围是[-2，0].
[规律方法] 方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点的横坐标；不等式f(x)方法二 利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题
向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等.
例2 若|a|=|b|=|c|=2，且a·b=0，(a-c)·(b-c)≤0，则|a+b-c|的取值范围是( )
A.[0，2+2] B.[0，2]
C.[2-2，2+2] D.[2-2，2]
思路分析 作以O为圆心，2为半径的圆→a，b，c的终点在圆上→∠AOB=90°→点C在劣弧AB上→作a+b=→求||的最值.
答案 D
解析 ∵|a|=|b|=|c|=2，且a·b=0，∴a，b，c的终点在圆上，且a⊥b，如图所示，令=a，
=b，=c，=a+b，
∵(a-c)·(b-c)≤0，
∴点C在劣弧AB上运动，
∴|a+b-c|表示C，D两点间的距离||.
||的最大值是||=||=2，
||的最小值为||-2=2-2.
∴|a+b-c|的取值范围是[2-2，2].
[规律方法] 应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.
方法三 几何动态问题中的数形结合
对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解.
例3 已知点P∈，则点P到动直线x-y-m=0(m∈R)的最大距离的最小值为 .
思路分析 由函数y=xln x与y=-xln x的图象可知，点P位于图中阴影部分区域→点P到直线x-y-m=0(m∈R)的最大距离的最小值为函数y=-xln x上切线斜率为1的点到直线x-y-1=0的距离的一半→求解即可.
答案
解析 由|y|≤≤|ln x|，
得0当y≥0时，y≤-xln x，当y<0时，y≥xln x，
令F(x)=xln x，F(x)的定义域为(0，+∞)，
令F'(x)=ln x+1=0，解得x=，
由F'(x)>0，可得x>，
由F'(x)<0，可得0所以F(x)在上单调递减，在上单调递增，
则F(x)min=F=ln=-.
作出函数F(x)=xln x与G(x)=-xln x的图象如图，
由此可知，点P位于图中阴影部分区域，
则点P到直线x-y-m=0(m∈R)的最大距离的最小值为函数y=-xln x上切线斜率为1的点到直线x-y-1=0的距离的一半.
y=-xln x y'=-ln x-1，
设-ln x0-1=1，得x0=e-2，
则点(e-2，2e-2)到直线x-y-1=0的距离为==.
故点P到动直线x-y-m=0(m∈R)的最大距离的最小值为×=.
[规律方法] 几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数解析式求解，但一味地强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单.
专题强化练
[分值：73分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2025·长沙检测)已知a是单位向量，向量b满足|a-b|=3，则|b|的最大值为( )
A.2 B.4 C.3 D.1
答案 B
解析 设=a，=b，
因为|a-b|=3，
即|-|=||=3，
即||=3，
所以点B在以A为圆心，3为半径的圆上，如图所示.
又a是单位向量，则||=1，
故||的最大值为||+||=1+3=4，即|b|的最大值为4.
2.(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )
A.[-1，1]∪[3，+∞) B.[-3，-1]∪[0，1]
C.[-1，0]∪[1，+∞) D.[-1，0]∪[1，3]
答案 D
解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)=0.
又f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(2)=0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x-1)的大致图象如图(2)所示.
当x≤0时，要满足xf(x-1)≥0，则f(x-1)≤0，
得-1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x-1)≥0，则f(x-1)≥0，
得1≤x≤3.
故满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1，0]∪[1，3].
3.(2025·北京模拟)已知定点A(3，0)，B(0，4)，若点C在圆O：x2+y2=4上运动，则2|CA|+|CB|的最小值为( )
A.2 B.6
C.2+2 D.2+2
答案 A
解析 设点C(x，y)，
则|CB|==2，
设点D(0，t)，且|CD|=|CB|，
∴==，
解得t=1，∴存在点D(0，1)，使得|CD|=|CB|，
∴2|CA|+|CB|=2=2(|CA|+|CD|)≥2|AD|(当且仅当A，C，D三点共线且点C在点A，D之间时取等号)，
∴(2|CA|+|CB|)min=2|AD|=2=2.
4.(2025·德阳期末)已知函数f(x)=|2x-3|，若关于x的方程[f(x)]2-2mf(x)+3=0有4个不同的实数根，则实数m的取值范围是( )
A.(-∞，-)∪(，+∞)
B.(-∞，-)∪(，2)
C.(，+∞)
D.(，2)
答案 D
解析 令t=f(x)=|2x-3|，则关于t的方程t2-2mt+3=0在(0，3)内有两个不同的实数根，
则
解得5.已知椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x-4)2+(y-3)2=1上任意一点，则|MN|-|MF1|的最小值为( )
A.5+3 B.5-3
C.3+5 D.3-5
答案 D
解析 如图，M为椭圆C上任意一点，N为圆E上任意一点，
则|MF1|+|MF2|=4，|MN|≥|ME|-1，当且仅当M，N，E三点共线且点N在点M，E之间时，等号成立，
∴|MN|-|MF1|=|MN|-(4-|MF2|)=|MN|+|MF2|-4≥|ME|+|MF2|-5≥|EF2|-5，
当且仅当M，N，E，F2四点共线且点M，N在点F2，E之间时，等号成立.
∵F2(1，0)，E(4，3)，
则|EF2|==3，
∴|MN|-|MF1|的最小值为3-5.
6.已知函数f(x)=若对任意的b∈(-1，+∞)，关于x的方程f(x)=b都有实数根，则实数a的取值范围是( )
A.(-∞，0] B.(-∞，0]∪[1，+∞)
C.(-∞，0]∪[1，2) D.(-∞，0]∪[1，log23]
答案 D
解析 ∵y=的定义域为(-∞，2)∪(2，+∞)，∴a≤2.
∵y===1+在(-∞，a)上单调递减，且当x→-∞时，y→1，
y=2x-2在[a，+∞)上单调递增，且当x→+∞时，y→+∞，
∴可作出y=(x<2)和y=2x-2的图象，如图所示，
∵对于任意的b∈(-1，+∞)，关于x的方程f(x)=b都有实数根，
∴当a=2时，y=2x-2≥2，则当b∈[1，2)时，方程f(x)=b没有实数根，不符合题意；
当a<2时，令2a-2≤-1或
解得a≤0或1≤a≤log23.
综上所述，实数a的取值范围为(-∞，0]∪[1，log23].
7.已知函数f(x)=cos ωx-sin ωx(ω>0)，若f(x)在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 f(x)=cos ωx-sin ωx
=2cos，
令t=ωx+，由x∈[0，2π]，
则t∈，
因为f(x)在区间[0，2π]上有且仅有4个零点和1个极大值点，
即y=2cos t在上有且仅有4个零点和1个极大值点.
作出y=2cos t的图象(如图所示)，
则≤2πω+<4π，解得≤ω<，故ω的取值范围是.
8.(2025·北京海淀区模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-|x-k|恰有2个零点，则实数k的取值范围是( )
A.[-1，e) B.(-∞，-1]∪[e，+∞)
C.(-1，1] D.(-∞，-1)∪[1，+∞)
答案 C
解析 由题意知，要使得g(x)=f(x)-|x-k|恰有2个零点，即g(x)=0有两个实数根.
当x>0时，g(x)=|ln x|-|x-k|，
令g(x)=0，可得|ln x|=|x-k|；
当x≤0时，g(x)=ex-|x-k|，
令g(x)=0，可得|x-k|=ex.
在同一坐标系下，作出函数y=|ln x|，y=ex(x≤0)和y=|x-k|的图象，
如图所示，
由函数y=ln x，可得y'=，
则当x=1时，y=0，y'=1，
故函数y=ln x在x=1处的切线方程为y=x-1.
又由函数y=-ln x，可得y'=-，
则当x=1时，y=0，y'=-1，
故函数y=-ln x在x=1处的切线方程为y=-x+1，
所以函数y=|ln x|的图象与y=|x-1|的图象只有一个公共点，
结合图象得，当k≤-1时，g(x)恰有3个零点；
当-1当k>1时，g(x)恰有3个零点，
要使得g(x)恰有2个零点，则满足-1所以实数k的取值范围为(-1，1].
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·昆明模拟)某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则( )
A.三项都参加的有1人
B.只参加拔河的有3人
C.只参加4人足球的有2人
D.只参加羽毛球的有4人
答案 BC
解析 根据题意，设A={x|x是参加拔河的同学}，B={x|x是参加4人足球的同学}，C= {x|x是参加羽毛球的同学}，
则card(A)=8，card(B)=7，card(C)=5，
又card(A∩B)=4，card(A∩C)=card(B∩C)=3，
所以card(A∩B∩C)=12-[(8+7+5)-(4+3+3)]=2，
所以三项都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人.
10.(2025·大连模拟)如图所示，线段AB是☉C的弦，其中AB=6，AC=5，点D为☉C上任意一点，则以下结论正确的有( )
A.||≤10
B.·=18
C.当·=18时，sin∠DAB=
D.·的最大值是36
答案 AB
解析 对于A，||=|+|≤||+||=10，当且仅当A，C，D共线时取等号，A正确；
对于B，过点C作CE⊥AB于点E，交☉C于点F，G，则E是AB的中点，AE=3，CE=4，
·=||||=18，B正确；
对于C，当·=18时，
||||cos∠DAB=18，
解得||cos∠DAB=3，
由选项B知，||cos∠DAB=||，此时点D与点F，G之一重合，
当点D与点F重合时，DE=9，AD=3，sin∠DAB=，
当点D与点G重合时，DE=1，AD=，sin∠DAB=，C错误；
对于D，·=·(+)=·+·=18+·≤18+||||=48，
当且仅当与同向共线时取等号，D错误.
11.已知函数f(x)=若f(x)=a有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且满足x1A.0B.x1x2=1
C.x1+x2+x3+x4的取值范围是
D.2x1+x2的取值范围是[2，3)
答案 ABD
解析 函数f(x)的图象如图所示，方程f(x)=a的根可以转化为函数f(x)与y=a图象交点的横坐标，由图可知0由题意可知-log2x1=log2x2，即log2x1x2=0，解得x1x2=1，故B正确；
函数y=x2-8x+13图象的对称轴为直线x=4，所以x3+x4=8，又x1x2=1，
所以x1+x2+x3+x4=8++x2，
由图知1函数g(x2)=8++x2在(1，2)上单调递增，g(1)=10，g(2)=，所以x1+x2+x3+x4的取值范围是，故C错误；
2x1+x2=+x2，函数h(x2)=+x2在上单调递减，在上单调递增，h=2，h(1)=3，h(2)=3，
所以2x1+x2的取值范围是[2，3)，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.若关于x的方程a|x|-x2+m=0(0答案 (-1，+∞)
解析 方程a|x|-x2+m=0化为a|x|=x2-m，在同一坐标系里画出函数y=a|x|(0-1时，两个函数的图象有两个交点，故所求实数m的取值范围是(-1，+∞).
13.若函数f(x)=-k(x-1)-4有两个零点，则实数k的取值范围是 .
答案
解析 令f(x)=-k(x-1)-4=0，
则=k(x-1)+4，
又因为y=≥0，
即x2+y2=1(y≥0)，表示单位圆位于x轴上及上方的部分.
而y=k(x-1)+4表示过点(1，4)且斜率为k的直线，
所以将问题转化为半圆x2+y2=1(y≥0)与直线y=k(x-1)+4有两个交点，
当直线与半圆相切时，=1，
解得k=，
当直线过点(-1，0)时，-2k+4=0，解得k=2，
综上，实数k的取值范围是.
14.已知平面向量a，b满足|a|=|b|=a·b=1，2|c|2=b·c，则|c-a|2+|c-b|2的最小值是 .
答案 -
解析 令=a，=b，=c，OB的中点为D，OD的中点为F，AB的中点为E，
由|a|=|b|=a·b=1，得a·b=|a||b|cos〈a，b〉=1×2cos〈a，b〉=1，
即cos〈a，b〉=，即∠AOB=60°，
所以AB==，
即有AO2+AB2=OB2，
即∠OAB=90°，∠ABO=30°，
故EF==，
由2|c|2=b·c，
即2·-·=2·=2·(-)=2·=0，即有OC⊥CD，故点C的轨迹为以OD为直径的圆，
由CB2=BE2+CE2-2BE·CEcos∠BEC，
CA2=AE2+CE2-2AE·CEcos(180°-∠BEC)，
故CA2+CB2=AE2+BE2+2CE2，
则|c-a|2+|c-b|2=CA2+CB2=AE2+BE2+2CE2=+2CE2，又CE≥EF-OD=-，
当且仅当F，C，E三点共线，且点C在点F，E之间时，等号成立，
故|c-a|2+|c-b|2=+2CE2≥+2=-.
思想概述 数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
方法一 利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题.
例1 (1)已知函数f(x)=函数F(x)=f(x)-b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且满足x1
C. D.[2，+∞)
思路分析 函数F(x)=f(x)-b有四个不同的零点→y=f(x)的图象与y=b的图象有四个不同的交点→画出y=f(x)的图象与y=b的图象，结合函数图象，可得x1+x2=-2，x3x4=1，-=-=+ =+→利用单调性求解即可.
答案 B
解析 f(x)=
=
由二次函数的对称性，可得x1+x2=-2，
由x3=-x4 ，可得x3x4=1，
函数F(x)=f(x)-b有四个不同的零点，
等价于y=f(x)的图象与y=b的图象有四个不同的交点，
画出y=f(x)的图象与y=b的图象，如图.
由图可得1
=+ =+，
令t=，则t∈，
∴+=+t的取值范围是.
(2)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A.(-∞，0] B.(-∞，1]
C.[-2，1] D.[-2，0]
思路分析 作出函数y=|f(x)|的图象和函数y=ax的图象→结合图象可知直线y=ax介于切线l与x轴之间→利用导数求出直线l的斜率，数形结合即可求解.
答案 D
解析 由题意可作出函数y=|f(x)|的图象和函数y=ax的图象，如图所示.
由图象可知，函数y=ax的图象是过原点的直线，
函数y=|f(x)|在区间(-∞，0]上的解析式为y=x2-2x，
求其导数可得y'=2x-2，当x=0时，y'=-2，
故y=x2-2x在原点处的切线l的斜率为-2，
当直线y=ax介于l与x轴之间时，符合题意，
故直线y=ax的斜率a的取值范围是[-2，0].
[规律方法] 方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点的横坐标；不等式f(x)
向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等.
例2 若|a|=|b|=|c|=2，且a·b=0，(a-c)·(b-c)≤0，则|a+b-c|的取值范围是( )
A.[0，2+2] B.[0，2]
C.[2-2，2+2] D.[2-2，2]
思路分析 作以O为圆心，2为半径的圆→a，b，c的终点在圆上→∠AOB=90°→点C在劣弧AB上→作a+b=→求||的最值.
答案 D
解析 ∵|a|=|b|=|c|=2，且a·b=0，∴a，b，c的终点在圆上，且a⊥b，如图所示，令=a，
=b，=c，=a+b，
∵(a-c)·(b-c)≤0，
∴点C在劣弧AB上运动，
∴|a+b-c|表示C，D两点间的距离||.
||的最大值是||=||=2，
||的最小值为||-2=2-2.
∴|a+b-c|的取值范围是[2-2，2].
[规律方法] 应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.
方法三 几何动态问题中的数形结合
对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解.
例3 已知点P∈，则点P到动直线x-y-m=0(m∈R)的最大距离的最小值为 .
思路分析 由函数y=xln x与y=-xln x的图象可知，点P位于图中阴影部分区域→点P到直线x-y-m=0(m∈R)的最大距离的最小值为函数y=-xln x上切线斜率为1的点到直线x-y-1=0的距离的一半→求解即可.
答案
解析 由|y|≤≤|ln x|，
得0
令F(x)=xln x，F(x)的定义域为(0，+∞)，
令F'(x)=ln x+1=0，解得x=，
由F'(x)>0，可得x>，
由F'(x)<0，可得0
则F(x)min=F=ln=-.
作出函数F(x)=xln x与G(x)=-xln x的图象如图，
由此可知，点P位于图中阴影部分区域，
则点P到直线x-y-m=0(m∈R)的最大距离的最小值为函数y=-xln x上切线斜率为1的点到直线x-y-1=0的距离的一半.
y=-xln x y'=-ln x-1，
设-ln x0-1=1，得x0=e-2，
则点(e-2，2e-2)到直线x-y-1=0的距离为==.
故点P到动直线x-y-m=0(m∈R)的最大距离的最小值为×=.
[规律方法] 几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数解析式求解，但一味地强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单.
专题强化练
[分值：73分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2025·长沙检测)已知a是单位向量，向量b满足|a-b|=3，则|b|的最大值为( )
A.2 B.4 C.3 D.1
答案 B
解析 设=a，=b，
因为|a-b|=3，
即|-|=||=3，
即||=3，
所以点B在以A为圆心，3为半径的圆上，如图所示.
又a是单位向量，则||=1，
故||的最大值为||+||=1+3=4，即|b|的最大值为4.
2.(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )
A.[-1，1]∪[3，+∞) B.[-3，-1]∪[0，1]
C.[-1，0]∪[1，+∞) D.[-1，0]∪[1，3]
答案 D
解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)=0.
又f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(2)=0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x-1)的大致图象如图(2)所示.
当x≤0时，要满足xf(x-1)≥0，则f(x-1)≤0，
得-1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x-1)≥0，则f(x-1)≥0，
得1≤x≤3.
故满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1，0]∪[1，3].
3.(2025·北京模拟)已知定点A(3，0)，B(0，4)，若点C在圆O：x2+y2=4上运动，则2|CA|+|CB|的最小值为( )
A.2 B.6
C.2+2 D.2+2
答案 A
解析 设点C(x，y)，
则|CB|==2，
设点D(0，t)，且|CD|=|CB|，
∴==，
解得t=1，∴存在点D(0，1)，使得|CD|=|CB|，
∴2|CA|+|CB|=2=2(|CA|+|CD|)≥2|AD|(当且仅当A，C，D三点共线且点C在点A，D之间时取等号)，
∴(2|CA|+|CB|)min=2|AD|=2=2.
4.(2025·德阳期末)已知函数f(x)=|2x-3|，若关于x的方程[f(x)]2-2mf(x)+3=0有4个不同的实数根，则实数m的取值范围是( )
A.(-∞，-)∪(，+∞)
B.(-∞，-)∪(，2)
C.(，+∞)
D.(，2)
答案 D
解析 令t=f(x)=|2x-3|，则关于t的方程t2-2mt+3=0在(0，3)内有两个不同的实数根，
则
解得
A.5+3 B.5-3
C.3+5 D.3-5
答案 D
解析 如图，M为椭圆C上任意一点，N为圆E上任意一点，
则|MF1|+|MF2|=4，|MN|≥|ME|-1，当且仅当M，N，E三点共线且点N在点M，E之间时，等号成立，
∴|MN|-|MF1|=|MN|-(4-|MF2|)=|MN|+|MF2|-4≥|ME|+|MF2|-5≥|EF2|-5，
当且仅当M，N，E，F2四点共线且点M，N在点F2，E之间时，等号成立.
∵F2(1，0)，E(4，3)，
则|EF2|==3，
∴|MN|-|MF1|的最小值为3-5.
6.已知函数f(x)=若对任意的b∈(-1，+∞)，关于x的方程f(x)=b都有实数根，则实数a的取值范围是( )
A.(-∞，0] B.(-∞，0]∪[1，+∞)
C.(-∞，0]∪[1，2) D.(-∞，0]∪[1，log23]
答案 D
解析 ∵y=的定义域为(-∞，2)∪(2，+∞)，∴a≤2.
∵y===1+在(-∞，a)上单调递减，且当x→-∞时，y→1，
y=2x-2在[a，+∞)上单调递增，且当x→+∞时，y→+∞，
∴可作出y=(x<2)和y=2x-2的图象，如图所示，
∵对于任意的b∈(-1，+∞)，关于x的方程f(x)=b都有实数根，
∴当a=2时，y=2x-2≥2，则当b∈[1，2)时，方程f(x)=b没有实数根，不符合题意；
当a<2时，令2a-2≤-1或
解得a≤0或1≤a≤log23.
综上所述，实数a的取值范围为(-∞，0]∪[1，log23].
7.已知函数f(x)=cos ωx-sin ωx(ω>0)，若f(x)在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 f(x)=cos ωx-sin ωx
=2cos，
令t=ωx+，由x∈[0，2π]，
则t∈，
因为f(x)在区间[0，2π]上有且仅有4个零点和1个极大值点，
即y=2cos t在上有且仅有4个零点和1个极大值点.
作出y=2cos t的图象(如图所示)，
则≤2πω+<4π，解得≤ω<，故ω的取值范围是.
8.(2025·北京海淀区模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-|x-k|恰有2个零点，则实数k的取值范围是( )
A.[-1，e) B.(-∞，-1]∪[e，+∞)
C.(-1，1] D.(-∞，-1)∪[1，+∞)
答案 C
解析 由题意知，要使得g(x)=f(x)-|x-k|恰有2个零点，即g(x)=0有两个实数根.
当x>0时，g(x)=|ln x|-|x-k|，
令g(x)=0，可得|ln x|=|x-k|；
当x≤0时，g(x)=ex-|x-k|，
令g(x)=0，可得|x-k|=ex.
在同一坐标系下，作出函数y=|ln x|，y=ex(x≤0)和y=|x-k|的图象，
如图所示，
由函数y=ln x，可得y'=，
则当x=1时，y=0，y'=1，
故函数y=ln x在x=1处的切线方程为y=x-1.
又由函数y=-ln x，可得y'=-，
则当x=1时，y=0，y'=-1，
故函数y=-ln x在x=1处的切线方程为y=-x+1，
所以函数y=|ln x|的图象与y=|x-1|的图象只有一个公共点，
结合图象得，当k≤-1时，g(x)恰有3个零点；
当-1
要使得g(x)恰有2个零点，则满足-1
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·昆明模拟)某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则( )
A.三项都参加的有1人
B.只参加拔河的有3人
C.只参加4人足球的有2人
D.只参加羽毛球的有4人
答案 BC
解析 根据题意，设A={x|x是参加拔河的同学}，B={x|x是参加4人足球的同学}，C= {x|x是参加羽毛球的同学}，
则card(A)=8，card(B)=7，card(C)=5，
又card(A∩B)=4，card(A∩C)=card(B∩C)=3，
所以card(A∩B∩C)=12-[(8+7+5)-(4+3+3)]=2，
所以三项都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人.
10.(2025·大连模拟)如图所示，线段AB是☉C的弦，其中AB=6，AC=5，点D为☉C上任意一点，则以下结论正确的有( )
A.||≤10
B.·=18
C.当·=18时，sin∠DAB=
D.·的最大值是36
答案 AB
解析 对于A，||=|+|≤||+||=10，当且仅当A，C，D共线时取等号，A正确；
对于B，过点C作CE⊥AB于点E，交☉C于点F，G，则E是AB的中点，AE=3，CE=4，
·=||||=18，B正确；
对于C，当·=18时，
||||cos∠DAB=18，
解得||cos∠DAB=3，
由选项B知，||cos∠DAB=||，此时点D与点F，G之一重合，
当点D与点F重合时，DE=9，AD=3，sin∠DAB=，
当点D与点G重合时，DE=1，AD=，sin∠DAB=，C错误；
对于D，·=·(+)=·+·=18+·≤18+||||=48，
当且仅当与同向共线时取等号，D错误.
11.已知函数f(x)=若f(x)=a有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且满足x1
C.x1+x2+x3+x4的取值范围是
D.2x1+x2的取值范围是[2，3)
答案 ABD
解析 函数f(x)的图象如图所示，方程f(x)=a的根可以转化为函数f(x)与y=a图象交点的横坐标，由图可知0
函数y=x2-8x+13图象的对称轴为直线x=4，所以x3+x4=8，又x1x2=1，
所以x1+x2+x3+x4=8++x2，
由图知1
2x1+x2=+x2，函数h(x2)=+x2在上单调递减，在上单调递增，h=2，h(1)=3，h(2)=3，
所以2x1+x2的取值范围是[2，3)，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.若关于x的方程a|x|-x2+m=0(0
解析 方程a|x|-x2+m=0化为a|x|=x2-m，在同一坐标系里画出函数y=a|x|(0
13.若函数f(x)=-k(x-1)-4有两个零点，则实数k的取值范围是 .
答案
解析 令f(x)=-k(x-1)-4=0，
则=k(x-1)+4，
又因为y=≥0，
即x2+y2=1(y≥0)，表示单位圆位于x轴上及上方的部分.
而y=k(x-1)+4表示过点(1，4)且斜率为k的直线，
所以将问题转化为半圆x2+y2=1(y≥0)与直线y=k(x-1)+4有两个交点，
当直线与半圆相切时，=1，
解得k=，
当直线过点(-1，0)时，-2k+4=0，解得k=2，
综上，实数k的取值范围是.
14.已知平面向量a，b满足|a|=|b|=a·b=1，2|c|2=b·c，则|c-a|2+|c-b|2的最小值是 .
答案 -
解析 令=a，=b，=c，OB的中点为D，OD的中点为F，AB的中点为E，
由|a|=|b|=a·b=1，得a·b=|a||b|cos〈a，b〉=1×2cos〈a，b〉=1，
即cos〈a，b〉=，即∠AOB=60°，
所以AB==，
即有AO2+AB2=OB2，
即∠OAB=90°，∠ABO=30°，
故EF==，
由2|c|2=b·c，
即2·-·=2·=2·(-)=2·=0，即有OC⊥CD，故点C的轨迹为以OD为直径的圆，
由CB2=BE2+CE2-2BE·CEcos∠BEC，
CA2=AE2+CE2-2AE·CEcos(180°-∠BEC)，
故CA2+CB2=AE2+BE2+2CE2，
则|c-a|2+|c-b|2=CA2+CB2=AE2+BE2+2CE2=+2CE2，又CE≥EF-OD=-，
当且仅当F，C，E三点共线，且点C在点F，E之间时，等号成立，
故|c-a|2+|c-b|2=+2CE2≥+2=-.
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